专题4 特殊平行四边形中的数学思想-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

34 专题四　特殊平行四边形中的数学思想 平行四边形相关题目主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明,以这几 种图形的性质与判定为中心展开,可以与三角形、全等三角形、勾股定理、角的平分线、垂直平分 线、直角三角形斜边上的中线、中位线、一次函数等知识相结合,考查综合运用这些知识的能力. 在学习过程中,如果我们能够运用方程思想、转化思想、分类讨论思想、类比思想,那么就能顺利 解决这些问题. 类型一 方程思想 1. 在▱ABCD 中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F.若AE=4,AF=6,且▱ABCD 的周 长为40,则▱ABCD 的面积为 ( ) A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 2. 如图,在边长为3的正方形 ABCD 中, ∠CDE=30°,DE⊥CF,则BF的长是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 第2题 第3题 3. 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于 点O,过点O 作OE⊥AC,交AD 于点E.若 AB=6,BC=10,则AE 的长为 . 4. (青岛中考)如图,在菱形ABCD 中,BC= 10,面积为60,对角线AC 与BD 相交于点 O,过点A 作AE⊥BC,交边BC 于点E,连 接EO,则EO= . 第4题 5. 如图,在矩形ABCD 中,过对角线AC 的中 点O 作直线l⊥AC,分别与AB,CD 交于点 E,F.若AD=4,AB=6,求CF 的长. 第5题 类型二 转化思想 6. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,P 是AD 上不与点A 和点D 重合的一个动点, 过点P 分别作AC 和BD 的垂线,垂足分别 为E,F,则PE+PF 的值为 ( ) 第6题 A. 12 5 B. 24 5 C. 5 D. 28 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 35 7. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3, AC=4,P 为边BC 上一动点,PE⊥AB 于 点E,PF⊥AC 于点F,M 为EF 的中点,则 PM 长度的最小值为 . 第7题 8. 如图,在菱形ABCD 中,E,F 分别是BC, CD 上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE= 23°,求∠FEC 的度数. 第8题 答案讲解 9. 如图,在▱ABCD 中,O 是对角线 AC 的中点,过点O 作OE⊥BC,交 BC 于点E,过点O 作FG⊥AB,分 别交AB,CD 于点F,G. (1) 若BC=5,OE=3,求▱ABCD 的面积; (2) 若∠ACB=45°,试探究AF,OF,EG 之 间的数量关系,并加以证明. 第9题 类型三 分类讨论思想 10. 在矩形ABCD 中,AB=8,AD=7,点E 在 边AB 上,AE=5.若P 是矩形ABCD 边上 的一点,且与点A,E 构成以AE 为腰的等 腰三角形,则等腰三角形AEP 的底边长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 答案讲解 11. 如图,在菱形ABCD 中,AB=4, ∠DAB=120°,动点P 从点A 出 发,以每秒2个单位长度的速度沿 对角线AC 向终点C 运动.设点P 的运动 时间为t秒.在点P 出发的同时,有一点Q 从点C 出发,以每秒6个单位长度的速度 沿折线C-D-A-B 运动,当其中一点到 达终点时,另一点随之停止运动,则当PQ 与菱形ABCD 的边垂直时,求t的值. 第11题 12. 新考法 新定义题 定义:如果四边形的某 条对角线平分一组对角,那么把这条对角 线叫作“美妙线”,该四边形叫作“美妙四边 形”.如图,在四边形ABDC 中,对角线BC 平分∠ACD 和∠ABD,那么对角线BC 叫 作“美妙线”,四边形ABDC 就叫作“美妙四 边形”. (1) 有下列四边形:平行四边形、矩形、菱 形、正方形.其中,是“美妙四边形”的有 个. (2) 已知四边形ABCD 是“美妙四边形”, AB=3+ 3,∠BAD=60°,∠ABC=90°, 求四边形ABCD 的面积(画出图形并写出 解答过程). 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 37 类型四 类比思想 13. ★在正方形ABCD 中,E,F 分别是边BC, CD 上的动点. (1) 如图①,若AE⊥BF,垂足为M,求证: AE=BF. (2) 如图②,G 是边AD 上的一点,且GE⊥ BF,垂足为M. ① 判断GE 与BF 是否相等,并说明理由; ② 如图③,若GE 垂直平分BF,交对角线 AC 于点N,写出线段MN,NG,ME 之间 的数量关系,并说明理由. 第13题 答案讲解 14. 四边形ABCD 和四边形BEFG 均 为正方形. (1) 如图①,连接AG,CE,试判断 AG 和CE 之间的数量关系和位置关系,并 加以证明. (2) 如图②,将正方形BEFG 绕点B 按顺 时针方向旋转β(0°<β<180°),连接AG 并 延长,与CE 相交于点M,连接MB,当β发 生变化时,∠EMB 的度数是否发生变化? 若不变化,求出∠EMB 的度数;若发生变 化,请说明理由. (3) 如图③,在(2)的条件下,过点A作AN⊥ MB,交MB 的延长线于点N,请探究线段 CM 和BN 之间的数量关系. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 △ADN.∴ ∠BAE=∠DAN,AE=AN.∴ ∠EAN= ∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=∠DAB=90°. ∵ ∠MAN =45°,∴ ∠EAM =∠EAN -∠MAN = 45°.∴ ∠EAM =∠MAN.在△EAM 和△NAM 中, AE=AN, ∠EAM=∠NAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAM ≌ △NAM.∴ ME = MN.∵ ME=BM+BE=BM+DN,∴ BM+DN= MN. 第12题 专题三　实数的运算技巧 1. C 2. (1) 3 (2) 1 (3) -2 (4) 1 3. -2 4. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+4=3. (2) 原式=5+53-2×5= 20 3-10=- 10 3. (3) 原式= -9+116- 5 16=-9 1 4. (4) 原式=-1+6427× 3 4× 3 4÷ -1+98× 4 9- 1 4 =-1+43÷ -34 =-279. 5. B 6. C 7. A 8. (1) 交换律和结合律 (2) 乘法 分配律 9. (1) 7 (2) -6 (3) 458 (4) -1 (5) -24 (6) 59 10. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314. (3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32. (4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×(6-6)= -47 ×0=0.(6) 原式=5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89= 401 1599× (1510+89)+89= 4011599×1599+89=401+ 89=490. 11. ∵ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷ 124= 23 - 34 + 16 - 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24-512×24=-8, ∴ 1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 12. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 13. (1) 原式= (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045=[(-2022)+ (-2022)+(-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) ∵ 1-122= 1 2× 3 2 ,1- 1 32= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,∴ 原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× …×20222023× 2024 2023× 2023 2024× 2025 2024= 1 2 × 2025 2024= 2025 4048. 专题四　特殊平行四边形中的数学思想 1. D 2. C 3. 34 5 4. 10 5. 连接AF.∵ O 是AC 的中点,l⊥AC,∴ AF=CF. ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠D=90°,AB=DC=6.设 AF=CF=x,则DF=6-x.在Rt△ADF 中,∵ AF2= AD2+DF2,∴ x2=42+(6-x)2,解 得 x=133. ∴ CF=133. 6. B 7. 1.2 8. 连接AC.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC= CD=AD,AB∥CD.∵ ∠B=∠EAF=60°,∴ △ABC 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 等边三角形,∠BCD=180°-∠B=120°.∴ AB=AC, ∠B=∠BAC=∠ACF=60°.∴ ∠BAC=∠EAF. ∴ ∠BAE=∠CAF.又∵ AB=AC,∠B=∠ACF, ∴ △ABE≌△ACF.∴ AE=AF.又∵ ∠EAF=60°, ∴ △AEF 是 等 边 三 角 形.∴ ∠AEF=60°= ∠B. ∵ ∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,∴ ∠CEF= ∠BAE=23°. 9. (1) 连接BD.∵ 四边形ABCD 为平行四边形,∴ 易 得BD 过点O.∵ OE⊥BC,∴ S△OBC= 1 2BC ·OE= 1 2×5×3= 15 2.∴ S▱ABCD=4S△OBC=30.(2) AF+OF= 2EG.过点 E 作EH⊥EG,与 GC 的延长线交于点 H.∵ OE⊥BC,EH⊥EG,∴ ∠OEC=∠GEH=90°. ∴ ∠OEG + ∠GEC = ∠GEC + ∠CEH = 90°. ∴ ∠OEG=∠CEH.∵ ∠ACB=45°,∴ ∠COE=45°= ∠ACB.∴ OE=CE.在▱ABCD 中,AB∥CD,∵ FG⊥ AB,∴ FG⊥CD.∴ ∠EOG+∠ECG=360°-90°- 90°=180°.∵ ∠ECH +∠ECG=180°,∴ ∠EOG= ∠ECH.∴ △OEG ≌ △CEH.∴ OG =CH,EG = EH.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OA=OC,AB∥ CD.∴ ∠OAF = ∠OCG.∵ ∠AOF = ∠COG, ∴ △OAF≌△OCG.∴ AF=CG,OF=OG.∴ OF= CH.∵ CG +CH =GH,∴ AF +OF =GH. ∵ ∠GEH=90°,EG=EH,∴ 易 得 GH = 2EG. ∴ AF+OF=2EG. 10. 52或45 解析:如图,∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD = ∠B =90°.① 当 AP =AE =5 时, ∵ ∠BAD=90°,∴ △AEP 是等腰直角三角形.∴ 易得 底边PE=2AE=52.② 当P1E=AE=5时,∵ BE= AB - AE =8-5=3,∠B =90°,∴ P1B = P1E2-BE2=4.∴ 底 边 AP1= AB2+P1B2 = 45.综上所述,等腰三角形AEP 的底边长是52或 45. 第10题 11. 在 菱 形 ABCD 中,AB=BC=CD =AD =4, ∠DAB=120°,则∠B=∠D=60°.∴ △ABC,△ADC 均 为等边三角形.∴ AC=AB=4,∠ACD=∠DAC= ∠BAC=60°.如图①,当PQ⊥CD 时,则∠CPQ=30°. ∴ CP=2CQ,此时AP=2t,CQ=6t,CP=4-2t.∴ 4- 2t=2×6t,解得t=27. 如图②,当 PQ⊥AD 时,则 ∠APQ=30°.∴ AP=2AQ,此时AP=2t,CD+DQ= 6t,AQ=8-6t.∴ 2t=2×(8-6t),解得t=87. 如图③, 当PQ⊥AB 时,则∠APQ=30°.∴ AP=2AQ,此时 AP=2t,CD+AD+AQ=6t,AQ=6t-8.∴ 2t=2× (6t-8),解得t=85. 综上,当PQ 与菱形ABCD 的边垂 直时,t的值为27 或8 7 或8 5. 第11题 12. (1) 2.(2) 分两种情况讨论:① 当AC是“美妙线”时, 如图①.∵ AC 平分∠BAD,∠BAD=60°,∴ ∠BAC= ∠CAD=12∠BAD=30°.∵ ∠B=90°,∴ AC=2BC.设 BC=x,则AC=2x.∵ AB=3+3,∴ x2+(3+3)2= (2x)2.∴ x=±(3+1).∵ x>0,∴ x= 3+1. ∴ BC= 3+1.∵ AC 平 分 ∠BCD,∴ ∠ACD = ∠ACB.∵ ∠BAC = ∠DAC,AC =AC,∠ACB = ∠ACD,∴ △ABC≌△ADC.∴ S四边形ABCD=2S△ABC= 2×12× (3+3)×(3+1)=6+43.② 当BD 是“美妙 线”时,如图②,过点D 作DH⊥AB 于点H.∵ ∠ABC= 90°,BD 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABD = ∠CBD =45°. ∵ DH⊥AB,∴ ∠DHB=∠DHA=90°.∴ ∠HDB= 45°.∴ ∠HDB=∠HBD.∴ DH=BH.∵ ∠A=60°, ∴ ∠ADH=30°.∴ AD=2AH.设AH=a,则AD=2a, ∴ DH= (2a)2-a2 = 3a.∴ BH= 3a.∴ a+ 3a=3+ 3.∴ a= 3.∴ DH=3.同理可得△ABD≌ △CBD.∴ S四边形ABCD=2S△ABD=2× 1 2AB ·DH=(3+ 3)×3=9+33.综上所述,四边形ABCD 的面积为6+ 43或9+33. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 13. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠ABE=∠C= 90°,AB=BC=AD=CD.∴ ∠ABM+∠CBF=90°. ∵ AE⊥BF,∴ ∠BMA=90°.∴ ∠ABM+∠BAE= 90°.∴ ∠BAE = ∠CBF.在 △ABE 和 △BCF 中, ∠BAE=∠CBF, AB=BC, ∠ABE=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△BCF.∴ AE=BF. (2) ① GE=BF.理由:如图①,过点G 作GH⊥BC 于点 H.∴ ∠GHB=∠GHE=90°.∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ ∠A=∠ABC=∠C=90°,AB=BC.∴ 四边形 ABHG 是矩形.∴ GH=AB=BC.∵ ∠GHE=90°, ∴ ∠HGE+∠GEH=90°.∵ GE⊥BF,∴ ∠EMB= 90°.∴ ∠CBF+∠GEH=90°.∴ ∠HGE=∠CBF.在 △HGE 和△CBF 中, ∠HGE=∠CBF, GH=BC, ∠GHE=∠C=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △HGE≌ △CBF.∴ GE=BF.② MN=NG+ME.理由:如图②, 连接BN,FN,过点N 作PQ⊥AB 于点P,交CD 于点 Q.∵ PQ⊥AB,∴ ∠BPN=∠APQ=90°.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD=AB=CD,∠DAP=∠D= 90°.∴ 四边形APQD 是矩形.∴ AP=DQ,PQ=AD= AB=CD,∠PQD=90°.∴ ∠NQF=90°.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ ∠BAC = 12 ∠BAD =45°. ∴ ∠ANP=45°.∴ ∠PAN=∠ANP.∴ PN=AP= DQ.∴ AB-AP=PQ-PN,即BP=NQ.∵ GE 垂直 平分BF,∴ BN=NF,BM=FM=12BF. 在Rt△BPN 和Rt△NQF 中, BN=NF, BP=NQ, ∴ Rt△BPN≌Rt△NQF. ∴ ∠PBN =∠QNF.∵ ∠BPN =90°,∴ ∠PBN+ ∠BNP=90°.∴ ∠QNF+∠BNP=90°.∴ ∠BNF= 90°.∴ △BNF 是等腰直角三角形.∴ ∠NFM=45°. ∵ GE ⊥BF,∴ ∠NMF =90°.∴ ∠MNF=45°. ∴ ∠NFM=∠MNF.∴ MN=FM=12BF. 由①,得 GE=BF,∴ MN=12GE.∴ MN=NG+ME. 第13题 利用正方形中的十字架模型解题 正方形中的十字架模型是以正方形一组对边上的 任意两点为端点的线段,若满足这个条件的两条线段互 相垂直,则这两条线段一定相等.反之,若满足这个条件 的两条线段相等,则这两条线段一定互相垂直.本题中 (1)是利用正方形中的十字架模型证明线段相等.本题 中(2)①是在(1)的基础上构造正方形中的全等三角形 模型来证明线段相等,是正方形中的十字架模型在非特 殊位置的应用,本题中(2)②是以正方形中的十字架模 型为基础的拓展应用,是以正方形中的十字架模型为基 础构造一线三直角模型和等腰直角三角形模型. 14. (1) AG=CE,AG⊥CE.∵ 四边形BEFG 和四边形 ABCD 为正方形,∴ GB=BE,∠ABG=90°,AB=BC, ∠ABC = 90°. 在 △ABG 和 △CBE 中, BG=BE, ∠ABG=∠CBE=90°, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△CBE.∴ AG= CE,∠BAG=∠BCE.如图①,延长 CE 交AG 于点 M.∴ ∠BEC=∠AEM.∴ ∠ABC=∠AME=90°. ∴ AG=CE,AG⊥CE.(2) ∠EMB 的度数不发生变 化.如图②,过点B 分别作BP⊥EC于点P,BH⊥AM 于 点H.∵ ∠ABC=∠EBG=90°,∴ ∠ABG=∠CBE.在 △ABG 和△CBE 中, AB=CB, ∠ABG=∠CBE, BG=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌ △CBE.∴ S△ABG =S△CBE,∠BAG= ∠BCE,AG= CE.∴ 1 2AG ·BH = 12CE ·BP,易 得∠ABC= ∠AMC.∴ BH=BP.又∵ BP⊥EC,BH⊥AM,∴ MB 为∠EMG 的 平 分 线.∵ ∠AMC = ∠ABC =90°, ∴ ∠EMB=12∠EMG= 1 2×90°=45°. (3) 如图③,在 NA 上截取NQ=NB,连接BQ.∴ △BNQ 为等腰直角 三角形.∴ 易得BQ= 2BN.∵ ∠AMN=45°,∠N= 90°,∴ △AMN 为等腰直角三角形.∴ AN =MN. ∴ MN-BN=AN-NQ,即BM=AQ.∵ 易得∠MBC+ ∠ABN=90°,∠BAN +∠ABN =90°,∴ ∠MBC= ∠BAN.在 △ABQ 和 △BCM 中, AQ=BM, ∠BAQ=∠CBM, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 ∴ △ABQ≌△BCM.∴ BQ=CM.∴ CM=2BN. 第14题 专题五　中点模型与角平分线模型 1. C 2. A 3. 135° 4. D 5. 3 4 解析:取BE 的中点H,连接FH,CH.∵ F 是 AE 的中点,H 是BE 的中点,∴ FH 是△ABE 的中位 线.∴ FH∥AB,FH=12AB.∵ 四边形ABCD 是平行 四边形,∴ AB∥CD,AB=CD.∴ FH∥DC.∵ E 是CD 的中点,∴ EC=12CD.∴ FH=EC.∴ 四边形FHCE 是平行四边形.∴ GE=GH=12EH.∵ BE=3,H 是 BE 的中点,∴ EH=32.∴ GE=34. 6. 连接BD,取BD 的中点P,连接EP,FP.∵ E,F,P 分别是DC,AB,BD 的中点,∴ EP 是△BCD 的中位线, PF 是△ABD 的中位线.∴ PF=12AD ,PF∥AD,EP= 1 2BC ,EP ∥BC.∴ ∠AHF = ∠PFE,∠BGF = ∠PEF.∵ AD =BC,∴ PE =PF.∴ ∠PEF = ∠PFE.∴ ∠AHF=∠BGF. 7. 4 8. (1) 连接EF,AE.∵ E,F 分别为BC,AC 的中点, ∴ EF 是△ABC 的中位线.∴ EF∥AB,EF=12AB. 又 ∵ AD=12AB ,∴ EF=AD.又∵ EF∥AD,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形.∴ AF 与DE 互相平分,∴ AP= FP.(2) 在Rt△ABC 中,∵ E 为BC 的中点,BC=10, ∴ AE=12BC=5. 又∵ 四边形AEFD 是平行四边形, ∴ DF=AE=5. 9. D 10. 41 2 解析:取AB 的中点E,连接CE.∵ ∠ACB= 90°,AC=4,BC=5,∴ AB= AC2+BC2= 42+52= 41.∵ E 是AB 的 中 点,∴ CE=AE= 12AB= 41 2 .∴ ∠A=∠ACE.∵ ∠BEC=∠A+∠ACE= 2∠A,∠ADC=2∠A.∴ ∠BEC=∠ADC.∴ ∠CDE= ∠CED.∴ CD=CE= 412 . 11. 2 2 解析:连接BE,DE.∵ ∠ABC=∠ADC=90°, E 是AC 的中点,∴ BE=AE=12AC ,DE=AE= 1 2AC.∵ AC=2,∴ BE=DE=1.∵ BE=AE, ∴ ∠ABE=∠BAE.∴ ∠BEC=2∠BAE.同理可得 ∠DEC=2∠DAC,∴ ∠BED=∠BEC+∠DEC= 2∠BAD=90°.∴ BD= BE2+ED2= 2.∵ F 是BD 的中点,∴ EF=12BD= 2 2. 12. (1) AC∥BE;1<AD<5.(2) 延长AD 至点H,使 AD=DH,连接CH,如图①所示.∵ D 是BC 的中点, ∴ BD =CD.又 ∵ ∠ADB = ∠HDC,AD =DH, ∴ △ABD≌ △HCD.∴ AB =CH,∠BAD = ∠H. ∵ EA=EF,∴ ∠EAF=∠EFA.∴ ∠EFA=∠H. ∵ ∠EFA=∠CFH,∴ ∠CFH=∠H.∴ CF=CH. ∴ AB=CF.(3) 延长FE 至点M,使 EF=EM,连接 BM,如图②所示.∵ E 为BC 边的中点,∴ BE=CE.又 ∵ ∠CEF=∠BEM,EF=EM,∴ △BEM≌△CEF. ∴ ∠M=∠CFE,BM=CF=6.∵ ∠BAC=90°,AD 平 分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=45°.∵ EF∥AD, ∴ ∠G= ∠BAD = 45°,∠CFE = ∠CAD = 45°. ∴ ∠CFE=∠G.∴ ∠G=∠M.∴ BG=BM.∵ BM= 6,∴ BG=6.∵ ∠CFE=∠AFG=∠G,∴ AG=AF. ∴ AB=6-AG.∵ AC=AF+CF=AG+6,∠BAC= 90°,△ABC 的面积=12AB ·AC=12 (6-AG)(6+ AG)=15,∴ AG=6. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈