专题2 全等三角形的基本模型-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

28 专题二　全等三角形的基本模型 全等三角形的判定是初中数学证明题最基础的内容,寻找条件证明三角形全等时,可以借助 常见基本模型,如对称模型、平移模型、旋转模型、一线三等角模型、“手拉手”模型、半角模型等, 根据基本模型,可以很快确定全等三角形,从而完成证明. 类型一 对称模型 1. 如图,AD⊥BC 于点D,BE⊥AC 于点E, DC=EC=4cm,AC=6cm,则BD 的长为 ( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 第1题 第2题 2. 新考法 开放题 如图,P 是∠BAC 的平分 线AD上的一点,请添加一个条件: , 使得△ABP≌△ACP. 3. 如图,点A,B,C,D 在同一条直线上,点E, F 分别在直线AB的两侧,且AE=BF,AE∥ BF,AC=BD.求证:DE=CF. 第3题 类型二 平移模型 4. 如图,E,B,F,C四点在同一条直线上,EB= CF,∠A=∠D,添加以下条件之一,仍不能 证明△ABC≌△DEF 的是 ( ) 第4题 A. ∠E=∠ABC B. AB=DE C. AB∥DE D. DF∥AC 5. 如图, BD∥CE,AB=BC,BD=CE. (1) 求证:△ABD≌△BCE; (2) 若∠DBE=65°,求∠D 的度数. 第5题 类型三 旋转模型 第6题 6. 新考法 开放题 如图,∠1= ∠2,AE=AC,要使△ADE≌ △ABC,则可添加的一个条 件是 (写出一个 即可). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 29 7. 如 图,AD =AE,AB =AC,∠BAC = ∠DAE,B,D,E 三点在同一条直线上, ∠1=22°,∠2=30°,求∠DAE 的度数. 第7题 类型四 一线三等角模型 第8题 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC, AB>BC,点 D 在边BC 上, CD=2BD,点E,F 在线段AD 上,∠1= ∠2= ∠BAC.若 △ABC 的面积为21,则△CAF 与△BDE 的面积之和是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 答案讲解 9. ★如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, AC=BC,直线 MN 经过点C,且 AD⊥MN 于点D,BE⊥MN 于 点E. (1) 当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置 时,求证: ① △ADC≌△CEB; ② DE=AD+BE. (2) 当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置 时,求证:DE=AD-BE. (3) 当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置 时,试问:DE,AD,BE 具有怎样的数量关 系? 请说明理由. 第9题 类型五 “手拉手”模型 第10题 10. 如图,△ABC 和△ADE 都 是等 腰 三 角 形,∠BAC= ∠DAE=90°,BD,CE 交于 点F,连接 AF,有下列结 论:① BD=CE;② BD⊥ EF;③ AF 平分∠CAD;④ ∠AFB=45°. 其中正确的结论是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 30 答案讲解 11. ★ 新考法 探究题 (1) 问题发 现:如图①,△ABC 和△EDC 都 是等边三角形,点B,D,E 在同一 条直线上,连接AE. ① ∠AEC 的度数为 ; ② 线段AE,BD之间的数量关系为 . (2) 拓展探究:如图②,△ABC 和△EDC 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE= 90°,点B,D,E 在同一条直线上,CM 为 △EDC 中DE 边上的高,连接AE.试求 ∠AEB 的度数及判断线段CM,AE,BM 之间的数量关系,并说明理由. (3) 解决问题:如图③,△ABC 和△EDC 都是等腰三角形,∠ACB=∠DCE=36°, 点B,D,E 在同一条直线上,连接AE.请 写出∠EAB+∠ECB 的度数. 第11题 类型六 半角模型 答案讲解 12. 在正方形 ABCD 中,∠MAN= 45°,它的两边分别交线段CB,DC 于点M,N. (1) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时(如图①),求证:BM+DN=MN; (2) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图②),试判断线段BM,DN 和MN 之间有怎样的数量关系,并说明理由. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 8 5. 原式= 1x+1. 由题意,得x≠-1,0,1,∴ x只能取3, 此时原式= 1 3+1 = 3-12 . 分式的化简求值中,因忽视分式有意义的条件而致错 分式的化简求值中,涉及灵活选择字母的值代入 求值时,应注意考虑分式有意义的条件下字母的取值 范围,避免出现选择的字母的值使分式无意义的情 况.例如:本题中,将原分式化简后,不能直接从提供的 四个数中直接选择一个作为x 的值代入,而应先讨论 当原分式有意义时x 的取值范围,进而选择x 的值代 入求值. 6. 原式=a-2a+2.∵ a=9+|-2|- 12 -1 =3+2-2= 3,∴ 原式=3-23+2= 1 5. 7. 原式=x-2x .∵ x≠0且x-2≠0,∴ x≠0且x≠ 2.∵ x是满足x≤2的合适的非负整数,∴ x=1.∴ 原 式=1-21 =-1. 8. 原式=2-xx+2.∵ x2=4,x+1≠0,x+2≠0,∴ x= 2.当x=2时,原式=0. 9. 原式= 1a+b.b 的值不唯一,如当a=-1时,取b=2, 原式= 1-1+2=1. 10. A 11. -4 12. 2 3 13. 原式=x2-2x-1.∵ x2-2x-3=0,∴ x2-2x= 3.∴ 原式=3-1=2. 14. 原式=a 2+3a 2 .∵ a2+3a-2=0,∴ a2+3a=2. ∴ 原式=22=1. 15. B 16. 22 17. 1 18. 原式=-m+2n2mn .∵ m+1+(n-3)2=0,∴ m+ 1=0,n-3=0.∴ m= -1,n=3.∴ 原 式 = - -1+2×32×(-1)×3= 5 6. 19. 原式=- 23b+a. 由 a+b=8, a-b=1, 解得 a=92 , b=72. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ a+ 3b=15.∴ 原式=-215. 20. 原式=-2a+4.∵ a 与2,3是三角形的三边长, ∴ 3-2<a<3+2,即1<a<5.∵ a为整数,∴ a=2或 3或4.又∵ a-2≠0且a-4≠0,∴ a≠2且a≠4. ∴ a=3.∴ 原式=-2×3+4=-6+4=-2. 21. 原式=2x2. 解不等式组 2(x-1)<x+1, 5x+3≥2x, 得-1≤x< 3.∵ x为整数,∴ x 的值为-1,0,1,2.∵ x≠0,x(x+ 1)≠0,(x+1)(x-1)≠0,x(x-1)≠0,∴ x≠0,-1,1, 即x只能取2.当x=2时,原式=222= 1 2. 分式的化简求值与解不等式(组)综合题的解法 解分式的化简求值与不等式(组)的综合题时,通常 先进行分式的化简,要注意分式的运算结果应是最简分 式或整式;再解不等式(组);最后代入,代入时应注意字 母取值的限制条件:字母的取值应使原分式及运算过程 中的所有分式都有意义,即所有分母均不为0. 专题二　全等三角形的基本模型 1. B 2. 答案不唯一,如∠B=∠C 3. ∵ 点A,B,C,D 在同一条直线上,AC=BD,∴ AC+ CD=BD+CD.∴ AD=BC.∵ AE∥BF,∴ ∠A= ∠B.在△ADE 和△BCF 中, AE=BF, ∠A=∠B, AD=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △BCF.∴ DE=CF. 4. B 5. (1) ∵ BD∥CE,∴ ∠ABD=∠C.在△ABD 和 △BCE 中, AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △BCE. (2) ∵ △ABD≌△BCE,∴ ∠A = ∠EBC.∴ AD∥ BE.∴ ∠D=∠DBE=65°. 6. AD=AB(答案不唯一) 7. ∵ ∠BAC=∠DAE,∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,即 ∠1= ∠CAE.在 △ABD 和 △ACE 中, AD=AE, ∠1=∠CAE, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACE.∴ ∠ABD=∠2= 30°.∴ ∠3= ∠1+ ∠ABD =52°.∵ AD =AE, ∴ ∠AED=∠3=52°.∴ ∠DAE=180°-2∠3=180°- 2×52°=180°-104°=76°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 8. B 9. (1) ① ∵ AD ⊥MN,BE⊥MN,∴ ∠ADC= ∠CEB=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACD+∠ECB=90°, ∠DAC+∠ACD=90°.∴ ∠DAC=∠ECB.在△ADC 和△CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB. ② 由①知,△ADC≌△CEB,∴ AD=CE,CD=BE. ∵ CD+CE=DE,∴ DE=AD+BE.(2) ∵ BE⊥MN, AD⊥MN,∴ ∠ADC=∠CEB=90°.∴ ∠CBE+ ∠ECB=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ECB+∠ACE= 90°.∴ ∠ACD = ∠CBE.在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠CBE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB.∴ AD=CE, CD=BE.∵ DE=CE-CD,∴ DE=AD-BE. (3) DE=BE-AD.理由:∵ BE⊥MN,AD⊥MN, ∴ ∠ADC=∠CEB=90°.∴ ∠CBE+∠ECB=90°. ∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ECB+∠ACE=90°.∴ ∠ACD= ∠CBE.在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠CBE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB.∴ AD=CE,CD=BE.∵ DE= CD-CE,∴ DE=BE-AD. 一线三等角模型 一般通过一线三等角模型找等角或进行角度转 换,证明三角形全等时还需要有一组边相等这个条件. 10. ①②④ 11. (1) ① 120°. 解析:∵ △ABC 和△EDC 都是等边 三角形,∴ CE=CD,CA=CB,∠CDE=∠ECD= ∠ACB=60°.∴ ∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即 ∠ECA=∠DCB.在△ECA 和△DCB 中, CE=CD, ∠ECA=∠DCB, CA=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECA ≌ △DCB.∴ ∠AEC= ∠BDC=180°- ∠CDE=120°. ② AE=BD. (2) ∠AEB=90°,CM+AE=BM.理由:∵ △ABC 和 △EDC都是等腰直角三角形,∴ EC=DC,CA=CB, ∠CED= ∠CDE =45°.∵ ∠ECD = ∠ACB =90°, ∴ ∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠DCB=90°.∴ ∠ECA= ∠DCB.在 △ECA 和 △DCB 中, EC=DC, ∠ECA=∠DCB, CA=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECA ≌ △DCB.∴ ∠CEA = ∠CDB =180°- ∠CDE=135°,AE=BD.∵ ∠CED=45°,∴ ∠AEB= ∠CEA-∠CEB=90°.∵ △EDC 是等腰直角三角形, CM 为△EDC 中DE 边上的高,∴ CM=EM=MD. ∵ MD+BD=BM,∴ CM+AE=BM.(3) ∵ △EDC 是 等 腰 三 角 形,∠DCE = 36°,∴ ∠CDE = 180°-∠DCE 2 =72°.∴ ∠CDB =180°- ∠CDE = 108°.同 (2),易 知 △ECA ≌ △DCB,∴ ∠CEA = ∠CDB=108°.∴ ∠EAC+∠ECA=72°.∵ △ABC是等 腰三角形,∠ACB=36°,∴ ∠CAB=180°-∠ACB2 = 72°.∴ ∠EAB+∠ECB=∠EAC+∠CAB+∠ECA+ ∠ACB=(∠EAC+∠ECA)+∠CAB+∠ACB=72°+ 72°+36°=180°. “手拉手”模型 有公共顶点的一对全等图形,称为“手拉手”模 型.运用该模型证明三角形全等的关键:(1) 共顶点,加 (减)共顶点的公共角得到一组对应角相等;(2) 利用两 组边相等或者等腰三角形、等边三角形、正方形、菱形 等得到两组对应边相等. 12. (1) 如图①,过点A 作AP⊥MN 于点P.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=AD,∠D=∠B=∠BAD= 90°.∵ ∠MAN=45°,∴ ∠BAM+∠DAN=90°-45°= 45°.在△ABM 和△ADN 中, AB=AD, ∠B=∠D, BM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌ △ADN.∴ AM=AN,∠BAM=∠DAN=12×45°= 22.5°.∵ AM = AN,AP ⊥ MN,∴ ∠NAP = 1 2∠MAN = 22.5° ,MN = 2PN.∴ ∠DAN = ∠NAP.∴ AN 为∠DAP 的平分线.∵ AP⊥MN, ∠D=90°,∴ DN=NP,即BM=DN=NP.∴ BM+ DN=MN.(2) 线段BM,DN 和MN 之间的数量关系是 BM+DN=MN.理由:如图②,延长CB 至点E,使得 BE=DN,连 接 AE.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴ AB=AD,∠D=∠DAB=∠ABC=90°=∠ABE.在 △ABE 和 △ADN 中, AB=AD, ∠ABE=∠D, BE=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 △ADN.∴ ∠BAE=∠DAN,AE=AN.∴ ∠EAN= ∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=∠DAB=90°. ∵ ∠MAN =45°,∴ ∠EAM =∠EAN -∠MAN = 45°.∴ ∠EAM =∠MAN.在△EAM 和△NAM 中, AE=AN, ∠EAM=∠NAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAM ≌ △NAM.∴ ME = MN.∵ ME=BM+BE=BM+DN,∴ BM+DN= MN. 第12题 专题三　实数的运算技巧 1. C 2. (1) 3 (2) 1 (3) -2 (4) 1 3. -2 4. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+4=3. (2) 原式=5+53-2×5= 20 3-10=- 10 3. (3) 原式= -9+116- 5 16=-9 1 4. (4) 原式=-1+6427× 3 4× 3 4÷ -1+98× 4 9- 1 4 =-1+43÷ -34 =-279. 5. B 6. C 7. A 8. (1) 交换律和结合律 (2) 乘法 分配律 9. (1) 7 (2) -6 (3) 458 (4) -1 (5) -24 (6) 59 10. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314. (3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32. (4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×(6-6)= -47 ×0=0.(6) 原式=5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89= 401 1599× (1510+89)+89= 4011599×1599+89=401+ 89=490. 11. ∵ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷ 124= 23 - 34 + 16 - 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24-512×24=-8, ∴ 1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 12. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 13. (1) 原式= (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045=[(-2022)+ (-2022)+(-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) ∵ 1-122= 1 2× 3 2 ,1- 1 32= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,∴ 原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× …×20222023× 2024 2023× 2023 2024× 2025 2024= 1 2 × 2025 2024= 2025 4048. 专题四　特殊平行四边形中的数学思想 1. D 2. C 3. 34 5 4. 10 5. 连接AF.∵ O 是AC 的中点,l⊥AC,∴ AF=CF. ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠D=90°,AB=DC=6.设 AF=CF=x,则DF=6-x.在Rt△ADF 中,∵ AF2= AD2+DF2,∴ x2=42+(6-x)2,解 得 x=133. ∴ CF=133. 6. B 7. 1.2 8. 连接AC.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC= CD=AD,AB∥CD.∵ ∠B=∠EAF=60°,∴ △ABC 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈