专题1 分式的化简及求值-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

25 专题一　分式的化简及求值 分式的化简求值题全面考查了初中阶段代数式的运算及求值能力,一直是中考必考的知识 点,且常常以解答题的形式出现.分式的化简求值题一般都遵循“先化简,再求值”的原则.分式的 化简,要牢记运算法则和运算顺序,并能灵活应用. 类型一 化简分式,直接代值计算 1. 当x= 2-1时,代数式 1x-1+ 1 x+1 ÷ x+1 x2-1 的值是 ( ) A. 2-2 B. 2 2 C. 2 D. 2+2 2. (衡阳中考)已知x=5,则代数式 3x-4- 24 x2-16 的值为 . 3. 已知a= 5-1,则 2a2-4÷ 1- a a-2 = . 4. 先化简,再求值: 1 x-3÷ 1 x2-9- x x+1 · x2+x x2 ,其中x=2. 5. ★先化简 1 x+1+ 1 x2-1 ÷ xx-1,再从-1, 0,1,3中选择一个合适的数作为x 的值代 入求值. 6. 先化简,再求值:a+1-5+2aa+1 ÷a 2+4a+4 a+1 , 其中a=9+|-2|- 12 -1 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 26 7. 先化简,再求值:x+2+ 4x-2 ÷ x 3 x2-4x+4 , 其中x是满足x≤2的合适的非负整数. 8. 先化简,再求值: 3 x+1-x+1 ÷x 2+4x+4 x+1 , 其中x2=4. 答案讲解 9. 新考法 开放题 先化简 aa-b- b2 a2-ab ÷a 2+2ab+b2 a ,当a=-1 时,请你选择一个适当的数作为b的值代入 求值. 类型二 化简分式,整体代值计算 10. (武汉中考)已知x2-x-1=0,则 2x+1- 1 x ÷ x 2-x x2+2x+1 的值是 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 11. 已知x+y=2,xy=-2,则yx + x y = . 12. (成都中考)若3ab-3b2-2=0,则代数式 1-2ab-b 2 a2 ÷a-ba2b 的值为 . 13. 先化简,再求值:x 2-3 x-1-2 ÷ 1x-1,其中 x满足x2-2x-3=0. 答案讲解 14. 先化简,再求值: a2-4a2-4a+4- 1 2-a ÷ 2a2-2a,其中a满足a2+ 3a-2=0. 类型三 分式的化简求值与解方程(组)、不等 式(组)的综合题 15. 已知当x=-4时,分式x-b2x+a 无意义;当x= 2时,此分式的值为0,则 2ab 2 · 1 a-b- a b÷ b 4 的值是 ( ) A. 3 4 B. 8 3 C. 4 5 D. 4 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 27 16. 当|1-a|=3时,代数式 2- 1a+2 ÷ a-3 a2-4 的值为 . 17. 若实数x,y满足方程组 x+3y=0, 2x+3y=3, 则代 数式 xy x+y+2 ÷ 1x+y的值为 . 18. 先化简,再求值:2 m- 1 n ÷m 2+n2 mn - 5n m · m 2n+ 2n m+2 ,其中 m,n 满足 m+1+ (n-3)2=0. 19. 先化简,再求值:a 2-6ab+9b2 a2-2ab ÷ 5b 2 a-2b- a-2b -1a,其中a,b满足a+b=8,a-b=1. 答案讲解 20. 先化简,再求值:1-3a-10a-2 ÷ a-4 a2-4a+4 ,其中a与2,3是三角 形的三边长,且a为整数. 21. ★先化简,再求值: 2 x2+x÷1- x-1 x2-1 ,其 中x 是不等式组 2(x-1)<x+1, 5x+3≥2x 的整 数解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 7 17. x≤-0.5或x≥2 运用数形结合思想求解 运用数形结合思想,即借助图形使问题更加形象直 观.利用一次函数y=mx+n 与一次函数y=kx+b 的 图象,可以迅速地找出关于x的不等式(kx+b)(mx+ n)≤0的解集. 18. ①②③ 三、 19. (1) 50.(2) 14,补全频数直方图如图所示.(3) 从 左至右第五组所在扇形的圆心角的度数为360°×850= 57.6°. 第19题 20. (1) ∵ AC2+BC2=1602+1202=40000(m2), AB2=2002 =40000(m2),∴ AC2 +BC2 =AB2. ∴ △ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.(2) 甲方案所 修筑的水渠较短.∵ △ABC是直角三角形,∴ △ABC 的 面积=12AB ·CH=12AC ·BC.∴ CH=AC ·BC AB = 160×120 200 =96 (m).∵ AC+BC=160+120=280(m), CH+AH +BH =CH +AB=96+200=296(m), ∴ AC+BC<CH+AH+BH.∴ 甲方案所修筑的水渠 较短. 21. (1) 1 5. (2) 设当1 12≤x≤ 1 5 时,y与x之间的函数表 达式为y=kx+b(k≠0).将 16 ,17 ,15,20 代入,得 1 6k+b=17 , 1 5k+b=20 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 k=90, b=2. ∴ y=90x+2 112≤x≤ 1 5 .(3) 当x=112 时,y=90× 1 12+2=9.5.∴ 先匀速行 驶1 12 小时的速度为9.5÷112=114 (千米/时).∵ 114< 120,∴ 该辆汽车减速前没有超速. 用一次函数解决实际问题的方法 (1) 利用图表中的信息;(2) 采用待定系数法,求 出函数表达式;(3) 注意分段函数的应用;(4) 注意自 变量在不同阶段的取值范围. 22. (1) ∵ AB 平 分 ∠CAE,∴ ∠CAB = ∠BAE. ∵ AB∥DF,∴ ∠BAE = ∠DFE.∴ ∠CAB = ∠EFD.在 △CAB 和 △EFD 中, ∠ACB=∠FED, AC=FE, ∠CAB=∠EFD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CAB≌△EFD.∴ AB=FD.又∵ AB∥FD,∴ 四 边形 ABDF 是平行四边形.(2) 四边形 BGED 是正 方形. 23. (1) ∵ 点C(6,a)在直线y= 1 2x- 3 2 上,∴ a= 1 2×6- 3 2= 3 2.∵ 一次函数y=kx+b的图象过点 A(8,0)和点C 6,32 ,∴ 8k+b=0, 6k+b=32 , 解得 k=- 3 4 , b=6. ∴ 直线 AB 对应的函数表达式为y=- 3 4x+6. (2) ① ∵ 点M 在直线y=- 3 4x+6 上,且点M 的横坐 标为m,∴ 点M 的纵坐标为-34m+6.∵ 点N 在直线 y= 1 2x- 3 2 上,且点N 的横坐标为m,∴ 点N 的纵坐标 为1 2m- 3 2.∴ MN=-34m+6- 1 2m+ 3 2= 15 2- 5 4m.∵ C 6,32 ,线段EQ 的长度为l,∴ CQ=l+ 3 2.∵ 易知MN=CQ,∴ 15 2- 5 4m=l+ 3 2 ,即l=6- 5 4m 0≤m< 24 5 .② m 的值为215 或27 5. 在平面直角坐标系中用字母表示两点之间的 距离时,因忽略点的位置关系而致错 在平面直角坐标系中,当两点的坐标未知且连线 平行于y轴(或x 轴)时,我们可以用相同的未知数来 表示两点的坐标,此时若需要用字母表示两点之间的 距离,则需要提前预判两点的上下(或左右)位置关系. 若两点的位置关系不明确,则需要用绝对值表示,进而 进行求解,避免因绝对值的缺失而导致答案不完整. 2 整合提优 专题一　分式的化简及求值 1. A 2. 1 3 3. - 5-14 4. 原式=x+2.当x=2时,原式=2+2=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 5. 原式= 1x+1. 由题意,得x≠-1,0,1,∴ x只能取3, 此时原式= 1 3+1 = 3-12 . 分式的化简求值中,因忽视分式有意义的条件而致错 分式的化简求值中,涉及灵活选择字母的值代入 求值时,应注意考虑分式有意义的条件下字母的取值 范围,避免出现选择的字母的值使分式无意义的情 况.例如:本题中,将原分式化简后,不能直接从提供的 四个数中直接选择一个作为x 的值代入,而应先讨论 当原分式有意义时x 的取值范围,进而选择x 的值代 入求值. 6. 原式=a-2a+2.∵ a=9+|-2|- 12 -1 =3+2-2= 3,∴ 原式=3-23+2= 1 5. 7. 原式=x-2x .∵ x≠0且x-2≠0,∴ x≠0且x≠ 2.∵ x是满足x≤2的合适的非负整数,∴ x=1.∴ 原 式=1-21 =-1. 8. 原式=2-xx+2.∵ x2=4,x+1≠0,x+2≠0,∴ x= 2.当x=2时,原式=0. 9. 原式= 1a+b.b 的值不唯一,如当a=-1时,取b=2, 原式= 1-1+2=1. 10. A 11. -4 12. 2 3 13. 原式=x2-2x-1.∵ x2-2x-3=0,∴ x2-2x= 3.∴ 原式=3-1=2. 14. 原式=a 2+3a 2 .∵ a2+3a-2=0,∴ a2+3a=2. ∴ 原式=22=1. 15. B 16. 22 17. 1 18. 原式=-m+2n2mn .∵ m+1+(n-3)2=0,∴ m+ 1=0,n-3=0.∴ m= -1,n=3.∴ 原 式 = - -1+2×32×(-1)×3= 5 6. 19. 原式=- 23b+a. 由 a+b=8, a-b=1, 解得 a=92 , b=72. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ a+ 3b=15.∴ 原式=-215. 20. 原式=-2a+4.∵ a 与2,3是三角形的三边长, ∴ 3-2<a<3+2,即1<a<5.∵ a为整数,∴ a=2或 3或4.又∵ a-2≠0且a-4≠0,∴ a≠2且a≠4. ∴ a=3.∴ 原式=-2×3+4=-6+4=-2. 21. 原式=2x2. 解不等式组 2(x-1)<x+1, 5x+3≥2x, 得-1≤x< 3.∵ x为整数,∴ x 的值为-1,0,1,2.∵ x≠0,x(x+ 1)≠0,(x+1)(x-1)≠0,x(x-1)≠0,∴ x≠0,-1,1, 即x只能取2.当x=2时,原式=222= 1 2. 分式的化简求值与解不等式(组)综合题的解法 解分式的化简求值与不等式(组)的综合题时,通常 先进行分式的化简,要注意分式的运算结果应是最简分 式或整式;再解不等式(组);最后代入,代入时应注意字 母取值的限制条件:字母的取值应使原分式及运算过程 中的所有分式都有意义,即所有分母均不为0. 专题二　全等三角形的基本模型 1. B 2. 答案不唯一,如∠B=∠C 3. ∵ 点A,B,C,D 在同一条直线上,AC=BD,∴ AC+ CD=BD+CD.∴ AD=BC.∵ AE∥BF,∴ ∠A= ∠B.在△ADE 和△BCF 中, AE=BF, ∠A=∠B, AD=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △BCF.∴ DE=CF. 4. B 5. (1) ∵ BD∥CE,∴ ∠ABD=∠C.在△ABD 和 △BCE 中, AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △BCE. (2) ∵ △ABD≌△BCE,∴ ∠A = ∠EBC.∴ AD∥ BE.∴ ∠D=∠DBE=65°. 6. AD=AB(答案不唯一) 7. ∵ ∠BAC=∠DAE,∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,即 ∠1= ∠CAE.在 △ABD 和 △ACE 中, AD=AE, ∠1=∠CAE, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACE.∴ ∠ABD=∠2= 30°.∴ ∠3= ∠1+ ∠ABD =52°.∵ AD =AE, ∴ ∠AED=∠3=52°.∴ ∠DAE=180°-2∠3=180°- 2×52°=180°-104°=76°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈