第3章 图形与坐标-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

9 第3章　图形与坐标 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列说法中,不能确定物体位置的是 ( ) A. 北偏东60° B. A区6号 C. 东经120°,北纬37° D. 南大街16号 2. (贵州中考)为培养青少年的科学态度和科 学思维,某校创建了科技创新社团.小红将 “科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸 上,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的 坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的 象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第2题 第4题 3. (广元中考)若单项式-x2my3 与单项式 2x4y2-n 的和仍是一个单项式,则在平面直 角坐标系中,点(m,n)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图,一艘海洋科考船在点O 处用雷达发现 了A,B 两群鲸,若目标 A 的位置为(2, 90°),用方位角和距离可描述为在点O 的正 北方向,距离点O 2个单位长度.小明和小 美分别用两种方式表示目标B 的位置,小 明:目标B 的位置为(4,300°);小美:目标B 在点O 的南偏东30°方向,距离点O 4个单 位长度.下列判断正确的是 ( ) A. 只有小明正确 B. 只有小美正确 C. 两人均正确 D. 两人均不正确 5. (黄石中考)如图,A(1,0),B(4,m),将线段 AB 平移至CD,若C(-2,1),D(a,n),则 m-n的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 第5题 第8题 6. (雅安中考)在平面直角坐标系中,将点P (1,-1)向右水平移动2个单位长度后,得 到的点P1关于x轴的对称点的坐标是 ( ) A. (1,1) B. (3,1) C. (3,-1) D. (1,-1) 7. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 点(1,-a2)一定在第四象限 B. 若ab=0,则P(a,b)表示原点 C. 若点A 的坐标为(3,-1),则点A 到x轴 的距离为3 D. 若A(-3,-3),B(-3,3),则直线AB 平行于y轴 8. 如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是 (8,12),点C 的坐标是(8,2),AB=AC= 13,则点A 的坐标是 ( ) A. (3,6) B. (-4,5) C. (-4,6) D. (-4,7) 9. 已知A(-2,4),AB∥x轴,且AB=5,则点B 的坐标是 ( ) A. (3,4) B. (-7,4) C. (-2,9)或(-2,1) D. (3,4)或(-7,4) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 10 答案讲解 10. 新考向 数学文化 (日照中考) 数学家高斯推动了数学的发展,被 数学界誉为“数学王子”.相传,他 在计算1+2+3+4+…+100时,用到了 一种方法,将首尾两个数相加,进而得到 1+2+3+4+…+100=100× (1+100) 2 . 人们借助这样的方法,得到1+2+3+ 4+…+n=n (1+n) 2 (n 是正整数).如图, 平面直角坐标系中有一系列格点Ai(xi, yi),其中i=1,2,3,…,n,…,且xi,yi 是 整数.记an=xn+yn,如A1(0,0),即a1= 0,A2(1,0),即a2=1,A3(1,-1),即a3= 0,….以此类推,则下列结论中,正确的是 ( ) 第10题 A. a2023=40 B. a2024=43 C. a(2n-1)2=2n-6 D. a(2n-1)2=2n-4 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. (甘南中考)若点P(3m+1,2-m)在x 轴 上,则点P 的坐标是 . 12. 在平面直角坐标系中,若点A(a-2,a+1) 在y轴上,则点A 的坐标为 . 13. 如图所示为一片银杏叶标本,叶片上的两 点B,C 的坐标分别为(-3,2),(4,3),则 点A 的坐标为 . 第13题 14. 在平面直角坐标系中,把点P(a-1,5)向 左平移3个单位长度得到点Q(2-2b,5), 则2a+4b+3的值为 . 15. 若将等腰直角三角形AOB 按如图所示的 方式放置,OB=2,则点A 关于原点对称的 点的坐标为 . 第15题 第17题 16. 新考法 新定义题 在平面直角坐标系中, 对于任意三点A,B,C 的“矩面积”,给出如 下定义:“水平底”a为任意两点横坐标的差 的最大值,“铅垂高”h为任意两点纵坐标的 差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如:三点 的坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2, -2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩 面积”S=ah=20.若A(1,2),B(-3,1), P(0,t),则A,B,P 三点的“矩面积”S 的 最小值为 . 17. (内蒙古中考)如图,在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为(8,4),连接OB,将OB 绕点 O 按逆时针方向旋转90°,得到OB',则点 B'的坐标为 . 答案讲解 18. 在平面直角坐标系中,对于点P (x,y),我们把P'(1-y,x-1)叫 作点P 的“友好点”.已知点A1的 “友好点”为A2,点A2 的“友好点”为A3, 点A3的“友好点”为A4……这样依次得到 点A1,A2,A3,…,An.若点A1 的坐标为 (2,1),则点A2023的坐标为 . 三、 解答题(共46分) 19. (8分)已知P(2m+4,m-1),请分别根据 下面的条件,求出点P 的坐标. (1) 点Q 的坐标是(2,-3),PQ∥y轴; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 11 (2) 点P 在第一、三象限的角平分线上. 20. (8分)如图,火车站的坐标为(2,2),文化馆 的坐标为(-1,3). (1) 请你根据题目条件,画出平面直角坐 标系; (2) 写出体育场、市场、超市的坐标; (3) 已知游乐场A、图书馆B、公园C 的坐 标分别为(0,5),(-2,-2),(2,-2),请在 图中标出A,B,C 的位置. 第20题 21. (8分)新考法 新定义题 对于平面直角 坐标系中的点M(a,b),如果点N 的坐标 为(ka,b+k),其中k为常数,且k≠0,那 么称 N 是点 M 的“k 系关联点”.如点 M(2,3)的“2系关联点”为N(2×2,3+2), 即N(4,5). (1) 若点P 的坐标为(-1,2),则它的“3系 关联点”的坐标为 ; (2) 若点P(m,-2)的“-1系关联点”为 Q(x,y),且满足x+y=-9,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 12 22. (10分)已知点P 的坐标为(2x-3,3-x). (1) 若点A(-3,4)与点P 的连线平行于 x轴,求点P 的坐标; (2) 若点P 关于x轴的对称点落在第三象 限,求x的取值范围; (3) 若点P 到两条坐标轴的距离相等,求 点P 的坐标. 答案讲解 23. ★(12分)如图,在平面直角坐标系 中,点A 的坐标为(3,3),点B 的 坐标为(-4,3),P 为线段AB 上 的任意一点(不与点A,B 重合),Q 是点P 关于y轴的对称点. (1) 请求出△ABO 的面积; (2) 设点P 的横坐标为a,则点Q 的坐标 为 ; (3) 设△OPA 和△OPQ 的面积相等,且点 P 在点Q 的右侧,请求出此时点 P 的 坐标; (4) 如果△OPA 的面积是△OPQ 的面积 的2倍,请直接写出此时点P 的坐标. 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 3 边形的内角和为720°.(2) 由题意得,(n-2)×180°= 360°×3,解得n=8.∴ n的值为8. 20. (1) A1(0,-3),B1(-3,-4),C1(-2,-2).(2) 如 图,△A1B1C1 即为所求.(3) △A1B1C1 的面积为2× 3-12×2×1- 1 2×2×1- 1 2×3×1= 5 2. 第20题 21. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, AB=CD.∵ CD=DE,∴ AB=DE.∴ 四边形ABDE 是平行四边形.(2) CE=4OF.理由:由(1),得四边形 ABDE 是平行四边形.∴ BF=EF.∵ 四边形ABCD 是 平行四边形,∴ OB=OD.∴ OF 是△BDE 的中位线. ∴ DE=2OF.∵ CD=DE,∴ CE=2DE.∴ CE=4OF. 22. (1) ∵ 在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点, ∴ AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.∵ CE∥AD, ∴ ∠ECD=∠ADB=90°.∵ AE⊥AD,∴ ∠EAD= 90°.∴ ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴ 四 边 形 ADCE 是矩形.(2) ∵ 在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,BC=4,∴ BD=CD=12BC=2. 由(1),可知四 边形ADCE 是矩形.∴ AE=CD=2,∠AEC=90°.在 Rt△AEC 中,AE=2,CE=3,由勾股定理,得 AC= AE2+CE2= 13.∵ EF⊥AC,由三角形的面积公 式,得S△AEC = 1 2AC ·EF= 12AE ·CE,∴ EF= AE·CE AC = 2×3 13 =6 1313 . 23. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠ADO=∠CBO.在△ADO 和 △CBO 中, ∠ADO=∠CBO, ∠AOD=∠COB, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADO ≌ △CBO. ∴ OD=OB.∴ 四边形ABCD 是平行四边形.∵ AB= BC,∴ 四边形ABCD 是菱形.(2) 与线段CE 相等的线 段有AE,DE,AG,CF.理由:由(1)知,四边形ABCD 是 菱形.∴ AB=BC=CD=AD,AC⊥BD.∵ AB=AC, ∴ AB=BC=CD=AD=AC.∴ △ABC 和△ADC 为等 边三角形.∵ CH⊥AD,∴ AH=DH,即CH 为AD 的 垂直平分线.∴ AE=DE.同理,CE=AE.∴ AE=DE= EC.∵ △ADC 为等边三角形,CH⊥AD,∴ ∠ACH= 1 2∠ACD=30°.∵ ∠FEC=75°,∴ ∠EFC=180°- ∠ACH-∠FEC=75°.∴ ∠EFC=∠FEC.∴ CF= CE.∵ △ABC 和△ADC 为等边三角形,∴ ∠BAC= ∠CAD=60°.∵ CE=AE,∴ ∠EAC=∠ECA=30°. ∴ ∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°- ∠EAC-∠ECA=120°.∴ ∠AEG=∠AEC-∠FEC= 45°.∴ △AGE 为等腰直角三角形.∴ AE=AG.∴ AG= EC. 24. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 为 正 方 形,∴ ∠BAE= ∠DAE=45°,AB =AD.在 △ABE 和 △ADE 中, AB=AD, ∠BAE=∠DAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △ADE.∴ BE = DE.(2) ① 如图,过点E 作EM⊥BC 于点M,EN⊥CD 于点N,易得四边形EMCN 是矩形.∴ ∠MEN=90°. ∵ E 是正方形ABCD 的对角线上的点,∴ EM=EN. ∵ EF⊥DE,∴ ∠DEF=90°.∴ ∠DEN=∠MEF= 90°-∠FEN.在△DEN 和△FEM 中, ∠DNE=∠FME=90°, EN=EM, ∠DEN=∠FEM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEN≌△FEM.∴ DE=EF.∵ 四边形DEFG 是 矩形,∴ 矩形DEFG 是正方形.② 如图,连接EG.∵ 四 边形 DEFG 和ABCD 是正方形,∴ DE=DG,AD= DC.∵ ∠CDG+ ∠CDE= ∠ADE+ ∠CDE=90°, ∴ ∠CDG= ∠ADE. 在 △ADE 和 △CDG 中, AD=CD, ∠ADE=∠CDG, DE=DG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CDG.∴ AE=CG, ∠DAE=∠DCG=45°.∵ ∠ACD=45°,∴ ∠ACG= ∠ACD+∠DCG=90°.∴ CE⊥CG.∴ 易得CE+CG= CE+AE=AC= 2AB=92.∵ CG=32,∴ CE= 62.∴ EG = CE2+CG2 = 72+18 =3 10. ∴ DE= 22EG=35.∴ 正方形DEFG 的边长为35. 第24题 第3章　图形与坐标 一、 1. A 2. A 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 9. D 10. B 二、 11. (7,0) 12. (0,3) 13. (-1,-3) 14. 15 15. (-1,-1) 16. 4 17. (-4,8) 18. (0,-1) 解析:由题意,得 A1(2,1),A2(0,1), A3(0,-1),A4(2,-1),A5(2,1),A6(0,1),….以此类 推,每4个点为一个循环.∵ 2023÷4=505(组)…… 3(个),∴ 点A2023的坐标与点A3的坐标相同,为(0,-1). 三、 19. (1) ∵ 点P 的坐标为(2m+4,m-1),点Q 的坐 标为(2,-3),且PQ∥y 轴,∴ 2m+4=2,解得 m= -1.∴ m-1=-2.∴ 点P 的坐标为(2,-2).(2) ∵ 点 P 在第一、三象限的角平分线上,∴ 2m+4=m-1,解得 m=-5.∴ 2m+4=-6,m-1=-6.∴ 点P 的坐标为 (-6,-6). 20. (1) 如图所示.(2) 体育场(-2,5),市场(6,5),超市 (4,-1).(3) 如图所示. 第20题 21. (1) (-3,5).(2) ∵ 点P(m,-2)的“-1系关联点” 为Q(x,y),∴ x=m×(-1)=-m,y=-2+(-1)= -3.又∵ x+y=-9,∴ -m+(-3)=-9,解得m= 6.∴ m 的值为6. 22. (1) ∵ 点A(-3,4)与点P(2x-3,3-x)的连线平 行于x轴,∴ 3-x=4,解得x=-1.∴ 2x-3=-5. ∴ 点P 的坐标为(-5,4).(2) ∵ 点P(2x-3,3-x)关 于x轴的对称点为(2x-3,x-3),且落在第三象限, ∴ 2x-3<0, x-3<0, 解得x<32.∴ x 的取值范围是x< 3 2. (3) ∵ 点P(2x-3,3-x)到两条坐标轴的距离相等, ∴ 2x-3=3-x或2x-3=-(3-x),解得x=2或x= 0.∴ 易得点P 的坐标为(1,1)或(-3,3). 23. (1) ∵ 点A 的坐标为(3,3),点B 的坐标为(-4,3), ∴ AB=3-(-4)=3+4=7.∴ S△ABO= 1 2×7×3= 10.5.(2) (-a,3).(3) ∵ △OPA 和△OPQ 的面积相 等,且点O 到直线AB 的距离是3,∴ 易得AP=PQ.设 此时点P 的坐标为(n,3),则点Q 的坐标为(-n,3). ∵ 点P 在点Q 的右侧,∴ AP=3-n,PQ=n-(-n)= 2n.∴ 3-n=2n,解得n=1.∴ 点P 的坐标为(1,3). (4) 点P 的坐标为(-1,3)或 35 ,3 . 平面直角坐标系中图形面积的计算方法 利用点的坐标计算几何图形的面积时,若图形为 规则图形,则先确定图形各顶点的坐标.若图形为不规 则图形,则先通过分割、平移、旋转等使图形变为规则 图形.如果图形的某些边落在坐标轴或平行于坐标轴 的直线上,往往以边为基础进行分析,根据点的坐标表 示出所需的线段或高,然后利用面积公式进行计算. 第4章　一次函数 一、 1. B 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. C 8. D 9. D 10. C 解析:如图,作点C(-2,0)关于y 轴的对称点G (2,0),作点C(-2,0)关于直线y=x+4的对称点D,连 接AD,连接DG 交AB 于点E,交y 轴于点F.∴ DE= CE,CF=GF.∴ CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG, 此时△CEF 的周长最小.由y=x+4,得A(-4,0), B(0,4),∴ OA=OB=4,△AOB 是等腰直角三角形. ∴ ∠BAC=45°.∵ 点 C,D 关 于 直 线 AB 对 称, ∴ ∠DAB=∠BAC=45°.∴ ∠DAC=90°.∵ C(-2, 0),∴ OC=2.∴ AC=OA-OC=2=AD.∴ D(-4, 2).由D(-4,2),G(2,0)可得直线DG 对应的函数表达 式为y=- 1 3x+ 2 3. 在y=- 1 3x+ 2 3 中,令x=0,得 y = 2 3 ,∴ F 0,23 . 由 y=x+4, y=- 1 3x+ 2 3 , 得 x=-52 , y= 3 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ E -52 ,3 2 .∴ 点 E 的 坐 标 为 -52 ,3 2 ,点F 的坐标为 0,23 . 第10题 二、 11. 答案不唯一,如y=-x+2 12. < 13. 9 14. x≤1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈