第2章 四边形-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

2 第24题 等腰三角形存在性问题的解决方法 解决动点类问题中的等腰三角形存在性问题的关 键是采用分类讨论的方法,分类标准可以是等腰三角 形的顶点,也可以是腰.在题干条件没有限制的情况 下,一般都是分三种情况讨论的,进而结合勾股定理或 与线段长、角度等有关的数量关系进行求解. 第2章　四 边 形 一、 1. B 2. C 3. C 4. D 5. D 6. D 7. D 8. D 9. A “将军饮马”模型中的易错问题 对于“将军饮马”的问题,除了通过轴对称的相关 概念构造辅助线解题外,还需要注意如本题中双动点 情况下,应结合“垂线段最短”的相关知识进行解题,即 该种情况下,应同时满足“三点共线”“垂线段最短”的 要求,才能保证路径最短. 10. B 解析:由已知条件可得,点P 从点A 运动到点D 需12s,点Q 从点C 运动到点B(或从点B 运动到点C)需 4s.设点P,Q的运动时间为ts.① 当0≤t≤4时,过点Q 作QH⊥AD 于点H,过点C 作CG⊥AD 于点G,如图① 所示.由题可知,AP=tcm,CQ=3tcm=GH.∵ PD∥CQ, PQ=CD,∴ 四边形CQPD 是等腰梯形.∴ ∠QPH= ∠D=∠B=60°.∴ ∠HQP=∠GCD=90°-60°=30°. ∵ PQ=CD=AB=6cm,∴ PH=12PQ=3cm ,DG= 1 2CD=3cm.∵ AP+PH+GH+DG=AD=BC= 12cm,∴ t+3+3t+3=12,解得t=1.5.当四边形 CQPD 是平行四边形时,如图②所示,此时PD=CQ= 3tcm.∴ t+3t=12,解得t=3.∴ 当t为1.5或3时, PQ=CD.② 当4<t≤8时,若四边形CQPD 是平行四边 形,如图③所示,此时BQ=3(t-4)cm,AP=tcm. ∵ AD=BC,PD=CQ,∴ BQ=AP.∴ 3(t-4)=t,解 得t=6.由①知,若四边形CQPD 是以CD,PQ 为腰的等 腰梯形,则PD>6cm,这种情况在4<t≤8时不存在. ∴ 当t为6时,PQ=CD.③ 当8<t≤12时,若四边形 CQPD 是平行四边形,如图④所示,此时CQ=3(t-8) cm,PD=(12-t)cm.∴ 3(t-8)=12-t,解得t=9. ∴ 当t为9时,PQ=CD.综上所述,线段PQ=CD 出现 的次数是4. 第10题 二、 11. 平行四边形的不稳定性 12. 5 13. 答案不唯 一,如AB=CD 14. 30 15. 24 16. 12 求不规则图形面积的常见方法 求不规则图形面积的常见方法:相加法、相减法、 重新组合法、割补法等.通过本题,我们还可以总结出 通过平移、轴对称、中心对称等几何变换来构造常见的 规则图形,进而求面积的方法. 17. 15 4 18. 2 10 5 解析:连接AC,CG.设AG 与CD 交于点 P.∵ 四边形DEFG 和四边形ABCD 是正方形,∴ AD= CD,DG=DE,∠ADC=∠EDG=90°.∴ ∠ADG= ∠CDE.在 △ADG 和 △CDE 中, AD=CD, ∠ADG=∠CDE, DG=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CDE.∴ ∠DAG=∠DCE.∵ ∠APD= ∠CPH,∴ ∠AHC=∠ADC=90°.∵ AB=2,DE=2, ∴ 易得AC=22,DF=2.∴ CD=DF.∵ ∠ADC= 90°,∠FDG=45°,∴ ∠CDG=45°=∠FDG.∵ DG= DG,∴ △CDG≌△FDG.∴ ∠DGC=∠DGF=90°, ∠DCG=∠DFG=45°,CG=FG=DE= 2.∴ C,G,F 三点共线,∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°.∴ AG= AC2+CG2= 8+2= 10.∵ S△ACG= 1 2AC ·CG= 1 2AG ·CH,∴ CH=AC ·CG AG = 22×2 10 =2105 . 三、 19. (1) 当n=6时,(6-2)×180°=720°,∴ 这个多 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 边形的内角和为720°.(2) 由题意得,(n-2)×180°= 360°×3,解得n=8.∴ n的值为8. 20. (1) A1(0,-3),B1(-3,-4),C1(-2,-2).(2) 如 图,△A1B1C1 即为所求.(3) △A1B1C1 的面积为2× 3-12×2×1- 1 2×2×1- 1 2×3×1= 5 2. 第20题 21. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, AB=CD.∵ CD=DE,∴ AB=DE.∴ 四边形ABDE 是平行四边形.(2) CE=4OF.理由:由(1),得四边形 ABDE 是平行四边形.∴ BF=EF.∵ 四边形ABCD 是 平行四边形,∴ OB=OD.∴ OF 是△BDE 的中位线. ∴ DE=2OF.∵ CD=DE,∴ CE=2DE.∴ CE=4OF. 22. (1) ∵ 在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点, ∴ AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.∵ CE∥AD, ∴ ∠ECD=∠ADB=90°.∵ AE⊥AD,∴ ∠EAD= 90°.∴ ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴ 四 边 形 ADCE 是矩形.(2) ∵ 在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,BC=4,∴ BD=CD=12BC=2. 由(1),可知四 边形ADCE 是矩形.∴ AE=CD=2,∠AEC=90°.在 Rt△AEC 中,AE=2,CE=3,由勾股定理,得 AC= AE2+CE2= 13.∵ EF⊥AC,由三角形的面积公 式,得S△AEC = 1 2AC ·EF= 12AE ·CE,∴ EF= AE·CE AC = 2×3 13 =6 1313 . 23. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠ADO=∠CBO.在△ADO 和 △CBO 中, ∠ADO=∠CBO, ∠AOD=∠COB, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADO ≌ △CBO. ∴ OD=OB.∴ 四边形ABCD 是平行四边形.∵ AB= BC,∴ 四边形ABCD 是菱形.(2) 与线段CE 相等的线 段有AE,DE,AG,CF.理由:由(1)知,四边形ABCD 是 菱形.∴ AB=BC=CD=AD,AC⊥BD.∵ AB=AC, ∴ AB=BC=CD=AD=AC.∴ △ABC 和△ADC 为等 边三角形.∵ CH⊥AD,∴ AH=DH,即CH 为AD 的 垂直平分线.∴ AE=DE.同理,CE=AE.∴ AE=DE= EC.∵ △ADC 为等边三角形,CH⊥AD,∴ ∠ACH= 1 2∠ACD=30°.∵ ∠FEC=75°,∴ ∠EFC=180°- ∠ACH-∠FEC=75°.∴ ∠EFC=∠FEC.∴ CF= CE.∵ △ABC 和△ADC 为等边三角形,∴ ∠BAC= ∠CAD=60°.∵ CE=AE,∴ ∠EAC=∠ECA=30°. ∴ ∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°- ∠EAC-∠ECA=120°.∴ ∠AEG=∠AEC-∠FEC= 45°.∴ △AGE 为等腰直角三角形.∴ AE=AG.∴ AG= EC. 24. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 为 正 方 形,∴ ∠BAE= ∠DAE=45°,AB =AD.在 △ABE 和 △ADE 中, AB=AD, ∠BAE=∠DAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △ADE.∴ BE = DE.(2) ① 如图,过点E 作EM⊥BC 于点M,EN⊥CD 于点N,易得四边形EMCN 是矩形.∴ ∠MEN=90°. ∵ E 是正方形ABCD 的对角线上的点,∴ EM=EN. ∵ EF⊥DE,∴ ∠DEF=90°.∴ ∠DEN=∠MEF= 90°-∠FEN.在△DEN 和△FEM 中, ∠DNE=∠FME=90°, EN=EM, ∠DEN=∠FEM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEN≌△FEM.∴ DE=EF.∵ 四边形DEFG 是 矩形,∴ 矩形DEFG 是正方形.② 如图,连接EG.∵ 四 边形 DEFG 和ABCD 是正方形,∴ DE=DG,AD= DC.∵ ∠CDG+ ∠CDE= ∠ADE+ ∠CDE=90°, ∴ ∠CDG= ∠ADE. 在 △ADE 和 △CDG 中, AD=CD, ∠ADE=∠CDG, DE=DG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CDG.∴ AE=CG, ∠DAE=∠DCG=45°.∵ ∠ACD=45°,∴ ∠ACG= ∠ACD+∠DCG=90°.∴ CE⊥CG.∴ 易得CE+CG= CE+AE=AC= 2AB=92.∵ CG=32,∴ CE= 62.∴ EG = CE2+CG2 = 72+18 =3 10. ∴ DE= 22EG=35.∴ 正方形DEFG 的边长为35. 第24题 第3章　图形与坐标 一、 1. A 2. A 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 第2章　四 边 形 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. (长沙中考)下列图形中,既是轴对称图形又 是中心对称图形的为 ( ) A. B. C. D. 2. (南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD 的 顶点A 在直线b上,若∠2=41°,则∠1的度 数为 ( ) A. 41° B. 51° C. 49° D. 59° 第2题 第3题 3. 如图,将一副三角尺放在▱ABCD 中,已知 ∠1=30°,则∠2的度数为 ( ) A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 4. 新情境 现实生活 大自然中有许多小动物 都是“数学家”.如图①,蜜蜂的蜂巢结构非 常精巧、实用且节省材料,多名学者通过观 测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六 边形.如图②,一个巢房的横截面为正六边形 ABCDEF,若对角线AD 的长为8mm,则正 六边形ABCDEF 的边长为 ( ) 第4题 A. 2mm B. 22mm C. 23mm D. 4mm 5. 如图,点A,B,C,D,E 在同一平面内,连接 AB,BC,CD,DE,EA,若∠BCD=100°,则 ∠A+∠B+∠D+∠E 的度数和为 ( ) A. 220° B. 240° C. 260° D. 280° 第5题 第6题 6. 如图,在正方形ABCD 中,等边三角形AEF 的顶点E,F 分别在边BC 和CD 上,则 ∠CEF 的度数为 ( ) A. 75° B. 60° C. 50° D. 45° 7. 如图,DE 是△ABC 的中位线,AB=6,AC= 10,F是DE 的延长线上的一点,且∠AFC= 90°,则线段EF 的长为 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第7题 第8题 8. (丹东中考)如图,在矩形ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点O,∠ABD=60°,AE⊥ BD,垂足为E,F 是OC 的中点,连接EF, 若EF=23,则矩形ABCD 的周长是 ( ) A. 163 B. 83+4 C. 43+8 D. 83+8 答案讲解 9. ★ 模型思想 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O, AC=18,BD=24.P 和E 分别为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 6 BD,CD 上的动点,则PE+PC 的最小值为 ( ) A. 14.4 B. 16 C. 17 D. 18.6 第9题 第10题 答案讲解 10. 分类讨论思想 (自贡中考)如图, 在▱ABCD 中,∠B=60°,AB= 6cm,BC=12cm.点P 从点A 出 发,以1cm/s的速度沿A→D 运动,同时点 Q 从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→ C……往返运动,当点P 到达端点D 时, 点Q 随之停止运动.在此运动过程中,线段 PQ=CD 出现的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 新情境 科技民生 如图,登月探测器中, 机械臂伸缩自如,灵活性强,其主要机械原 理是运用了 . 第11题 12. 一个正n边形的一个外角的度数为72°,则 这个正n边形一共有 条对角线. 13. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AC 平 分∠DAB,要使四边形ABCD 为菱形,可 添加的一个条件为 (写 出一个即可). 第13题 第14题 14. 如图,在△ABC 中,分别取AB,AC 的中点 D,E,连接DE,过点A 作AF⊥DE,垂足 为 F,将 △ABC 分 割 后 拼 接 成 矩 形 BCHG.若DE=5,AF=3,则△ABC 的面 积是 . 15. 新考法 操作实践题 如图,以点A 为圆 心,5为半径画弧,再以点B 为圆心,5为半 径画弧,交前弧于M,N 两点.已知AB= 6,则以A,B,M,N 四点为顶点的四边形 的面积是 . 第15题 第16题 16. ★ 转化思想 如图,直线a,b垂直相交于点 O,曲线C 关于点O 成中心对称,点A 的对 称点是A',AB⊥直线a于点B,A'D⊥直 线b于点D.若OB=4,OD=3,则涂色部 分的面积之和为 . 17. 如图,在矩形ABCD 中,点E 在AD 边上, 点F 在BC 边上,且BF=DE,连接EF 交 对角线BD 于点O,BD=5,CD=3,连接 CE,若CE=CF,则EF 的长为 . 第17题 第18题 答案讲解 18. 如图 ,正方形DEFG 的顶点F 在 正方形ABCD 的边AD 的延长线 上,连接 AG,CE 交于点 H,若 AB=2,DE=2,则CH 的长为 . 三、 解答题(共46分) 19. (6分)已知一个多边形的边数为n. (1) 若n=6,求这个多边形的内角和; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 7 (2) 若这个多边形的内角和是它的外角和 的3倍,求n的值. 20. (6分)新考法 操作实践题 如图,在平面 直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标 分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1) 直接写出△ABC 关于原点O 的中心对 称图形△A1B1C1 的对称点A1,B1,C1 的 坐标; (2) 画出△ABC 关于原点O 的中心对称图 形△A1B1C1; (3) 由(1),求△A1B1C1的面积. 第20题 21. (8分)如图,在▱ABCD 中,AC,BD 相交 于点O,延长CD 到点E,使CD=DE,连 接AE. (1) 求证:四边形ABDE 是平行四边形; (2) 连接BE,交AD 于点F,连接OF,判 断CE 与OF 之间的数量关系,并说明 理由. 第21题 22. (8分)(兰州中考)如图,在△ABC 中,AB= AC,D 是BC 的中点,CE∥AD,AE⊥AD, EF⊥AC. (1) 求证:四边形ADCE 是矩形; (2) 若BC=4,CE=3,求EF 的长. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 8 23. (8分)(哈尔滨中考)四边形ABCD 的对角 线AC,BD 相交于点O,AD∥BC,OA= OC,AB=BC. (1) 如图①,求证:四边形ABCD 是菱形; (2) 如图②,AB=AC,CH⊥AD 于点H, 交BD 于点E,连接AE,点G 在AB 上,连 接EG 交AC 于点F,若∠FEC=75°,在不 添加任何辅助线的情况下,写出四条与线 段CE 相等的线段(线段CE 除外),并说明 理由. 第23题 答案讲解 24. (10分)如图①,四边形ABCD 为 正方形,E 为对角线AC 上的一 点,连接DE,BE. (1) 求证:BE=DE. (2) 如图②,过点E 作EF⊥DE,交边BC 于点F,以DE,EF 为邻边作矩形DEFG, 连接CG. ① 求证:矩形DEFG 是正方形; ② 若正方形 ABCD 的边长为9,CG= 32,求正方形DEFG 的边长. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级