第1章 直角三角形-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

1 第1章　直角三角形 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是BC 边上的高,E 是BC 的中点,连接AE,则图 中的直角三角形共有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第1题 第3题 2. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A-∠B= 10°,则∠A 的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 如图,△ABC 是等边三角形,D 是AC 的中 点,DE⊥BC,CE=3,则AC 的长为 ( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 4. 有下列条件:① ∠A+∠B=∠C;② ∠A∶ ∠B∶∠C=1∶2∶3;③ ∠A=90°-∠B; ④ ∠A=∠B=∠C;⑤ ∠A=2∠B= 3∠C.其中,能确定△ABC 是直角三角形 的有 ( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角 大小 的 实 践 探 究 活 动.如 图,当 张 角 为 ∠BAF 时,顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm,此时底部边缘A 处与C 处间的距 离AC 为24cm,小组成员调整张角的大小 继续探究,最后发现当张角为∠DAF 时(D 是点B 的对应点),顶部边缘D 处到桌面的 距离DE 为20cm,则C 处与E 处之间的距 离CE 为 ( ) 第5题 A. 9cm B. 18cm C. 21cm D. 24cm 6. 下列各选项中的两个直角三角形不一定全 等的是 ( ) A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形 B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形 C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形 D. 有一个锐角及这个锐角的对边对应相等 的两个直角三角形 7. 新考向 数学文化 (南通中考)“赵爽弦图” 巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所 示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角 形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边的长分别为m, n(m>n).若小正方形的面积为5,(m+n)2= 21,则大正方形的面积为 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 第7题 第8题 8. 如图,∠AOB=30°,P 是∠AOB 的平分线 上的一点,PM⊥OB于点M,PN∥OB 交OA 于点N,若PM=2,则PN 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注:标“★”的题目设有 “方法点金”或“易错提 示”,详见“答案与解析”. 拍 照 批 改 2 9. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,O 是∠CAB, ∠ACB 的平分线的交点,且 BC=8cm, AC=10cm,则点O 到边AB 的距离为 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 第9题 第10题 答案讲解 10. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠EAC 的平分线BP,AP 交于点P,延长 BA,BC,作 PM⊥BE 于点 M, PN⊥BF 于点N,有下列结论:① CP 平分 ∠ACF;② ∠ABC+2∠APC =180°; ③ ∠ACB=2∠APB;④ S△PAC=S△MAP+ S△NCP.其中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 新考法 条件开放题 如图,在△ABC 和 △DFE 中,∠A=∠D=90°,AC=DE, 若要 用 “斜 边、直 角 边 (HL)”证 明 Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充的一个 条件是 . 第11题 第13题 12. ★ 分类讨论思想 已知AD 是△ABC 的 高,若 ∠BAD =60°,∠CAD =40°,则 ∠BAC 的度数是 . 13. 如图,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于点A, Q 是射线OM 上的一个动点,若 PA= 2cm,则PQ 长的最小值为 . 14. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, E,F 分别是AB,AC 的中点,若 AB= 10cm,AC=8cm,则四边形AEDF 的周长 为 cm. 第14题 15. (吉林中考)如图①所示为一个问题,根据 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深 度,其示意图如图②所示,其中AB=AB', AB⊥B'C 于点C,BC=0.5尺,B'C= 2尺.设AC 的长为x 尺,则可列方程为 . 第15题 16. 新考向 传统文化 《天工开物》中记载的 用于舂捣谷物的工具———碓的结构简图如 图所示.已知AB⊥CD 于点B,AB 与水平 线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4dm, OB=12dm,∠AOE=120°,则点C 到水平 线l的距离CF 为 dm. 第16题 第17题 17. 如图,在Rt△ABC 中,分别以这个三角形 的三边为边向外侧作正方形,面积分别记 为S1,S2,S3.若S3+S2-S1=18,则图中 涂色部分的面积为 . 18. (广州中考)如图, AD 是△ABC 的角平分 线,DE,DF 分别是△ABD 和△ACD 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 3 答案讲解 高,AE=12,DF=5,则点E 到直 线AD 的距离为 . 第18题 三、 解答题(共46分) 19. (6分)如图,点D 在△ABC 中,∠BDC= 90°,AB=13,AC=12,BD=4,CD=3,求 图中涂色部分的面积. 第19题 20. (6分)如图,每个小正方形的边长均为1. (1) 求四边形ABCD 的周长和面积. (2) ∠BCD 是直角吗? 请说明理由. 第20题 21. (8分)如图,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于 点F,BD=CD,BE=CF. (1) 求证:AD 平分∠BAC; (2) 已知AC=20,BE=4,求AB 的长. 第21题 22. (8分)新情境 游戏活动 “儿童散学归来 早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最 佳时节,某中学八年级的学生学习了“勾股 定理”后,为了测得风筝的垂直高度CE(如 图),他们进行了如下操作:① 测得水平距 离BD 的长为15米;② 根据手中剩余线的 长度计算出风筝线BC 的长为25米;③ 牵 线放风筝的学生的身高为1.6米. (1) 求风筝的垂直高度CE; (2) 如果该学生停留在原地,要使风筝沿 CD 方向下降12米到点M,那么他应该往 回收多少米的线? 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 4 23. (8分)如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,∠BAD=100°,∠ABC 的平分线交AC 于点E,过点E 作EF⊥AB,垂足为F,且 ∠AEF=50°,连接DE. (1) 求证:DE 平分∠ADC; (2) 若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD= 15,求△ABE 的面积. 第23题 答案讲解 24. ★(10分)分类讨论思想 如图,在 △ABC 中,∠B=90°,AB=8cm, BC=6cm,P,Q 是△ABC 边上的 两个动点,其中点P 从点A 开始沿A→B 方向运动,且速度为每秒1cm,同时点Q 从 点B 开始沿B→C 方向运动,且速度为每 秒2cm.设运动时间为ts. (1) 当t=2时,求PQ 的长; (2) 求运动时间为几秒时,△PQB 是等腰 三角形; (3) 若点Q 沿B→C→A 方向运动,则当点 Q 在边CA 上运动时,求能使△BCQ 成为 等腰三角形的t的值. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 1 1 复习进阶 第1章　直角三角形 一、 1. C 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 二、 11. 答案不唯一,如BC=FE 12. 20°或100° 因忽视对三角形形状的分类而致错 对于几何类问题,在题干没有配图的情况下,我们 需要提高警惕,相关问题可能存在多解的情况,即需要 分类讨论.本题因不明确△ABC 的形状,所以结合题 意需要考虑该三角形是锐角三角形还是钝角三角形, 即高AD 可能在三角形的内部,也可能在三角形的外 部,进而进行角度的计算,才能保证求得的结果准确. 13. 2cm 14. 18 15. x2+22=(x+0.5)2 16. (6- 23) 17. 4.5 18. 60 13 三、 19. ∵ ∠BDC=90°,BD=4,CD=3,∴ BC= BD2+CD2= 42+32 =5.∵ AB=13,AC=12, ∴ AC2+BC2=122+52=169,AB2=132=169. ∴ AC2+BC2=AB2.∴ △ABC 是 直 角 三 角 形,且 ∠ACB=90°.∴ 涂色部分的面积=S△ABC-S△BDC= 1 2AC ·BC-12BD ·CD=12×12×5- 1 2×4×3=24. 20. (1) 由勾股定理,可得AB= 12+72=52,BC= 42+22=25,CD= 22+12= 5,AD= 32+42= 5.故四边形ABCD 的周长为52+25+5+5=52+ 35+5.四边形ABCD 的面积为7×5-12× (1×7+4× 2+2×1+4×3)-3=17.5.(2) 是.理由:连接BD.由 (1)得,BC=2 5,CD= 5,∴ BC2=20,CD2=5. ∵ BD2=32+42=25,∴ CD2+BC2=BD2.∴ △BCD 是直角三角形,且∠BCD=90°. 21. (1) ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠E=∠DFC= 90°.在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中, BD=CD, BE=CF, ∴ Rt△BED≌Rt△CFD.∴ DE=DF.∵ DE⊥AB, DF⊥AC,∴ 点D 在∠BAC 的平分线上.∴ AD 平分 ∠BAC.(2) ∵ ∠AED=∠AFD=90°,AD=AD,DE= DF,∴ Rt△ADE≌Rt△ADF.∴ AE=AF.∵ AC=20, CF=BE=4,∴ AE=AF=20-4=16.∴ AB=AE- BE=16-4=12. 22. (1) 由题意,易知BD⊥CE,DE=AB=1.6米.在 Rt△CDB 中,由勾股定理,得 CD= BC2-BD2 = 252-152= 400=20(米).∴ CE=CD+DE=20+ 1.6=21.6(米).∴ 风筝的垂直高度CE 为21.6米. (2) 连接BM.由题意得,CM=12米.∴ DM=8米. ∴ BM= DM2+BD2= 82+152=17(米).∴ BC- BM=25-17=8(米).∴ 他应该往回收8米的线. 23. (1) 过点E 作EG⊥AD 于点G,EH⊥BC 于点 H.∵ EF⊥AB,∠AEF=50°,∴ ∠FAE=90°-50°= 40°.∵ ∠BAD=100°,∴ ∠CAD=180°-100°-40°= 40°.∴ ∠FAE=∠CAD=40°,即AC 为∠DAF 的平分 线.又∵ EF⊥AB,EG⊥AD,∴ EF=EG.∵ BE 是 ∠ABC 的平分线,EF⊥AB,EH⊥BC,∴ EF=EH. ∴ EG=EH.∵ EG⊥AD,EH⊥BC,∴ 点E 在∠ADC 的平分线上.∴ DE 平分∠ADC.(2) 设EG=x,由(1) 得,EF=EH=EG=x.∵ S△ACD=15,AD=4,CD=8, ∴ 1 2AD ·EG+12CD ·EH=15,即4x+8x=30,解得 x=2.5.∴ EF=x=2.5.∴ S△ABE= 1 2AB ·EF=12× 7×2.5=354. 24. (1) 当t=2时,BQ=2×2=4(cm),BP=AB-AP= 8-2×1=6(cm).∵ ∠B=90°,∴ PQ= BQ2+BP2= 42+62=2 13(cm).(2) 根据题意,得BQ=BP,即 2t=8-t,解得t=83 ,即运动时间为8 3s 时,△PQB 是等 腰三角形.(3) 分三种情况:① 当CQ=BQ 时,如图①,则 ∠C=∠CBQ.∵ ∠ABC=90°,∴ ∠CBQ+∠ABQ= 90°,∠A+∠C=90°.∴ ∠A=∠ABQ.∴ BQ=AQ. ∵ ∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,∴ AC= 82+62 =10(cm).∴ CQ=AQ= 12AC=5cm. ∴ BC+CQ=11cm.∴ t=11÷2=5.5.② 当CQ=BC 时,如图②,则BC+CQ=12cm.∴ t=12÷2=6.③ 当 BC=BQ 时,如图③,过点B 作BE⊥AC 于点E,则易得 BE=AB ·BC AC = 6×8 10=4.8 (cm).∴ CE= BC2-BE2= 3.6cm.∴ CQ=2CE=7.2cm.∴ BC+CQ=13.2cm. ∴ t=13.2÷2=6.6.综上所述,当t 为5.5或6或 6.6时,△BCQ 为等腰三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 第24题 等腰三角形存在性问题的解决方法 解决动点类问题中的等腰三角形存在性问题的关 键是采用分类讨论的方法,分类标准可以是等腰三角 形的顶点,也可以是腰.在题干条件没有限制的情况 下,一般都是分三种情况讨论的,进而结合勾股定理或 与线段长、角度等有关的数量关系进行求解. 第2章　四 边 形 一、 1. B 2. C 3. C 4. D 5. D 6. D 7. D 8. D 9. A “将军饮马”模型中的易错问题 对于“将军饮马”的问题,除了通过轴对称的相关 概念构造辅助线解题外,还需要注意如本题中双动点 情况下,应结合“垂线段最短”的相关知识进行解题,即 该种情况下,应同时满足“三点共线”“垂线段最短”的 要求,才能保证路径最短. 10. B 解析:由已知条件可得,点P 从点A 运动到点D 需12s,点Q 从点C 运动到点B(或从点B 运动到点C)需 4s.设点P,Q的运动时间为ts.① 当0≤t≤4时,过点Q 作QH⊥AD 于点H,过点C 作CG⊥AD 于点G,如图① 所示.由题可知,AP=tcm,CQ=3tcm=GH.∵ PD∥CQ, PQ=CD,∴ 四边形CQPD 是等腰梯形.∴ ∠QPH= ∠D=∠B=60°.∴ ∠HQP=∠GCD=90°-60°=30°. ∵ PQ=CD=AB=6cm,∴ PH=12PQ=3cm ,DG= 1 2CD=3cm.∵ AP+PH+GH+DG=AD=BC= 12cm,∴ t+3+3t+3=12,解得t=1.5.当四边形 CQPD 是平行四边形时,如图②所示,此时PD=CQ= 3tcm.∴ t+3t=12,解得t=3.∴ 当t为1.5或3时, PQ=CD.② 当4<t≤8时,若四边形CQPD 是平行四边 形,如图③所示,此时BQ=3(t-4)cm,AP=tcm. ∵ AD=BC,PD=CQ,∴ BQ=AP.∴ 3(t-4)=t,解 得t=6.由①知,若四边形CQPD 是以CD,PQ 为腰的等 腰梯形,则PD>6cm,这种情况在4<t≤8时不存在. ∴ 当t为6时,PQ=CD.③ 当8<t≤12时,若四边形 CQPD 是平行四边形,如图④所示,此时CQ=3(t-8) cm,PD=(12-t)cm.∴ 3(t-8)=12-t,解得t=9. ∴ 当t为9时,PQ=CD.综上所述,线段PQ=CD 出现 的次数是4. 第10题 二、 11. 平行四边形的不稳定性 12. 5 13. 答案不唯 一,如AB=CD 14. 30 15. 24 16. 12 求不规则图形面积的常见方法 求不规则图形面积的常见方法:相加法、相减法、 重新组合法、割补法等.通过本题,我们还可以总结出 通过平移、轴对称、中心对称等几何变换来构造常见的 规则图形,进而求面积的方法. 17. 15 4 18. 2 10 5 解析:连接AC,CG.设AG 与CD 交于点 P.∵ 四边形DEFG 和四边形ABCD 是正方形,∴ AD= CD,DG=DE,∠ADC=∠EDG=90°.∴ ∠ADG= ∠CDE.在 △ADG 和 △CDE 中, AD=CD, ∠ADG=∠CDE, DG=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CDE.∴ ∠DAG=∠DCE.∵ ∠APD= ∠CPH,∴ ∠AHC=∠ADC=90°.∵ AB=2,DE=2, ∴ 易得AC=22,DF=2.∴ CD=DF.∵ ∠ADC= 90°,∠FDG=45°,∴ ∠CDG=45°=∠FDG.∵ DG= DG,∴ △CDG≌△FDG.∴ ∠DGC=∠DGF=90°, ∠DCG=∠DFG=45°,CG=FG=DE= 2.∴ C,G,F 三点共线,∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°.∴ AG= AC2+CG2= 8+2= 10.∵ S△ACG= 1 2AC ·CG= 1 2AG ·CH,∴ CH=AC ·CG AG = 22×2 10 =2105 . 三、 19. (1) 当n=6时,(6-2)×180°=720°,∴ 这个多 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈