基本不等式及求最值课后练习-2026届高三数学一轮复习

课后训—基本不等式及求最值- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 基础类型】 （公式直接应用） 1．（多选）设正实数、满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，正实数、满足，所以，即，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，由于，所以，故B正确； 对于C，，所以的最大值为，故C错误； 对于D，，当且仅当，即，时等号成立，故D正确； 故选：ABD （标准型双勾） 2．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2， 故选：D. （常数“1”的替换） （乘整体）3．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得. 【详解】因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：B （代入）4．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 【题组二 配凑法变形求最值】 （配凑常数或系数） 5．（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的配凑法求解即可. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 6．（1）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A （2）（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】变形应用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. （双勾型构造：二次商式） 7．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 8．若则函数的最大值为_______ 解析：，因为所以 当且仅当即时等号成立 所以的最大值为 【题组三 常数“1”的替换（构造变形）】 （分式和定无条件） 9.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 因此，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 10．若则的最小值为_________ 解析：因为所以 所以 因为， 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为 （条件等式：有和有积无常数） 11．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C （条件求值：复杂分式构造） 12．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为．故答案为： 【题组五 综合进阶】 （条件求值：有和有积有常数） 14．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． 15.（1）已知且，则的最大值为________ 【答案】2 解析：因为且 所以，解得当且仅当即时等号成立 所以的最大值为2 （2）设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： （多次应用基本不等式） 16．若，则的最小值为______ 【答案】4 解析 ：因为，所以 当且仅当等号成立 所以的最小值为4 17．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. （消元法、换元法、函数思想） 18．（2024浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为.故选：A. 19．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，，即， 于是， 当，即时取得等号， 即，时，的最小值为. 故选：C 20．已知且，则的最大值为________ 【答案】 解析：因为，所以 所以当且仅当等号成立 或当且仅当等号成立 所以的最大值为 【题组六 利用基本不等式解决恒成立、有解问题】 21．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 22．若命题为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为假命题， 故是真命题， 即在上恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 此时，故得. 故答案为：. 【题组七 基本不等式实际应用】 23．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【解题思路】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案. 【解答过程】由题意得，， 因为，故，， 即， 故选：B. 24．安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)千克，最大利润是元． 【来源】重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 【分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【详解】（1）根据题意知 ， 整理得； （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—基本不等式及求最值- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 基础类型】 1．（多选）设正实数、满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 2．若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 4．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【题组二 配凑法变形求最值】 （配凑常数或系数） 5．已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（1）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 （2）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． （双勾型构造：二次商式） 7．函数的最小值为 ． 8．若则函数的最大值为_______ 【题组三 常数“1”的替换（构造变形）】 （分式和定无条件） 9.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．若则的最小值为_________ （条件等式：有和有积无常数） 11．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 （条件求值：复杂分式构造） 12．已知，，且，则的最小值为 ． 13．（2025·重庆·模拟）若，且，则的最小值为 ． 【题组五 综合进阶】 （条件求值：有和有积有常数） 14．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15.（1）已知且，则的最大值为________ （2）设x、y为实数，若，则的最大值是 ． （多次应用基本不等式） 16．若，则的最小值为______ 17．已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （消元法、换元法、函数思想） 18．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 19．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知且，则的最大值为________ 【题组六 利用基本不等式解决恒成立、有解问题】 21．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．若命题为假命题，则实数的取值范围是 ． 【题组七 基本不等式实际应用】 23．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 24．安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$