第二十六章反比例函数暑期巩固提升训练题2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十六章 反比例函数 暑期巩固提升训练题 一、单选题 1．反比例函数的图象分布在（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．点，，均在的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，平面直角坐标系中菱形的点A在函数的图象上，点B，C在x轴上，点D在函数的图象上，对角线交点E在y轴上，则点E的坐标是（      ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A． B． C． D． 6．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D在x轴上，与y轴交于点，点，点，则的值为（   ） A． B．6 C． D． 8．在平面直角坐标系中，存在反比例函数，其函数图象上的第一象限上存在一点，若，则k的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．如图，点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，线段、与反比例函数（）的图像相交于点、，连接．则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 10．如图，一次函数的图象与双曲线交于点，点，则关于的不等式的解集为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．反比例函数的图象在各个象限内y随着x的增大而增大，那么k的取值范围 ． 12．某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 13．如图，在中，轴，，，反比例函数的图象经过点D，且与交于点．若，则k的值为 ． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则不等式的解集为 ． 15．已知函数的图象如图所示，有以下结论：①；②在每个分支上，y随x的增大而增大；③若点，点在图象上，则；④若点在图象上，则点也在图象上．其中正确的是 ．（只填序号） 三、解答题 16．已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 17．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点C与点B关于原点对称，求的面积； (3)观察图象，直接写出的解集． 18．小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，以为边作正方形，反比例函数的图象在第一象限经过点． (1)直接写出点、、的坐标及的值； (2)如图②，将直线向下平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交的图象于点，若，求直线的解析式； (3)如图③，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 20．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； (3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章 反比例函数 暑期巩固提升训练题2024-2025学年人教版九年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C D C C B C A 1．A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质；根据反比例函数的图象与系数关系直接判断． 【详解】解：反比例函数中，． 当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据反比例函数图象的性质，结合各点的横坐标代入计算对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点，，均在的图象上 ∴ 当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数与几何综合，两点距离计算公式，由菱形的性质可得，，设，则，可得，根据对角线交点E在y轴上，可得，则，利用两点距离计算公式建立方程求出，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 设，则， ∴， ∵对角线交点E在y轴上， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数的解析式． 根据点、的坐标可证，利用可证，根据全等三角形的性质可求出点的坐标是，从而可得，根据平行四边形的性质可以求出点的坐标是，把点的坐标，代入即可求出的值． 【详解】解：如下图所示， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ，， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 四边形是平行四边形， ， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是， ． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质．由点A在反比例函数图象上得，结合条件，将问题转化为求k关于的二次函数．利用二次函数的性质可得结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，k有最大值，最大值为2， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数系数与几何图形面积的关系是关键． 根据题意设，则，，由此得到，再利用三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、， ∴设， ∵线段、与反比例函数（）的图像相交于点、， ∴点的横坐标为，则纵坐标为，即， 点的纵坐标为，则横坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，不等式的解集，即为反比例函数的图象在一次函数图象的上方时的自变量的取值范围． 【详解】解：即， 由图象可知，关于的不等式的解集为：或， 即关于的不等式的解集为：或， 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在反比例函数中，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此列式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在各个象限内y随着x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 12．5小时 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，需结合工作周期（工作与校准时间的关联 ）建立等量关系，通过设未知数、列方程、求解约束条件下的整数解解决问题，理清工作时间、校准时间与总耗时的关系，准确建立方程是解题关键．先明确工作周期（小时工作小时校准 ），设工作周期数与额外工作时间，用其表示总耗时和包裹数，再根据平均速度公式列方程求解． 【详解】解：设机器人经历个完整工作周期（每个周期含小时工作、小时校准 ），之后又工作小时（ ）． 总耗时：每个周期小时，个周期耗时小时，加额外工作小时，故． 包裹数：每个周期工作小时，个周期工作小时，加额外工作小时，共工作小时，每小时分拣件，故． 由平均速度，得： 因，代入得，解得． 又为非负整数，故（时无实际工作意义，舍去 ）． 当时，，则： 故答案为： 小时． 13．6 【分析】本题主要考查坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、B坐标可得，，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可解答． 【详解】解：设， ∴， ∵在中，轴，，， ∴，，，， ∵反比例函数的图象经过点D，点， ∴， 解得， ∴． ∴， 故答案为：6． 14．或/或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟练掌握两函数图象的上下位置关系，求出交点B的坐标，是解题的关键． 根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系，求出交点B的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴，． ∴． ∴． ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 15．①②④ 【分析】根据反比例函数图象分布，性质，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的分布，性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵图象分布在二、四象限， ∴，且在每个分支上，y随x的增大而增大； 故①②正确； ∵若点，点在图象上， 则，， 则； 故③错误； ∵点在图象上， ∴， ∵， 故点也在图象上． ∴④正确； 故答案为：①②④． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 17．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为： (2)6 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）求出C的坐标，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过， ∴， ∴反比例函数表达式为， ∴， ∴， 把，坐标代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数表达式为： （2）解：∵点C与点B关于原点对称， ∴， 如图，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点， ∵直线为：， ∴， ∴， ∵， ∴设直线为，将两点代入得到， 解得， ∴直线为， ∵延长与x轴交于点， ∴， ∴， ∴ （3）解：根据图象得： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为：或 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析，然后求出时t的值，然后求出结果即可； （3）根据每50分钟循环一次，然后把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：， 当时，， 答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 19．(1)，，， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，一次函数、反比例函数与几何图形面积的计算等知识是关键． （1）根据一次函数与坐标轴交点得到坐标，得到，如图所示，过点作轴于点，则，根据正方形的性质可证，，得到，运用待定系数法得到反比例函数系数； （2）如图所示，连接，得到，由面积公式得到，直线的解析式为，则，把点代入，运用待定系数法即可求解； （3）过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点，可证，，得，运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵以为边作正方形， ∴，， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵将直线向下平移得到直线，则， ∴点到的距离等于点到的距离，且同底， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点的横坐标是． 20．(1) (2) (3)点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，反比例函数中平行四边形的存在性，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入，即可求解； （2）求出，利用，求出，可得，则，则，过点在轴下方作，过点作于点，则，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图，求解即可； （3）求出，直线的解析式为，由点为直线上一点，设，由点为第二、四象限的角平分线上一点，设， 分当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标列式即可求出坐标，再计算面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 将代入， 得：， ∴， 将代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 则， ∵轴于点，交反比例函数图象于点， ∴， 即， 解得：， 当时，，得， 则， 当时，， 则， ∴， 如图，过点在轴下方作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图的长，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：由第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，即直线与交第四象限的函数图象于点， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， 由将直线向下平移8个单位得直线， ∴直线的解析式为， 由点为直线上一点， ∴设， 由点为第二、四象限的角平分线上一点， ∴设， 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 此时如图，过点作直线于点，过点作轴交直线于点， 则， 当时，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 综上所述，点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$