1.3 第4课时 用“HL”判定两个直角三角形全等-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

66 第4课时 用“HL”判定两个直角三角形全等 1. 定理: 边和一条 边分别 相等的 两 个 直 角 三 角 形 全 等 (简 写 成 “ ”). 2. 如图,在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,∠C= ∠C'=90°, 如果 AB= , AC= , 那么Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,点C,E,B,F 在一条直线上, AB⊥CF 于点B,DE⊥CF 于点E,AC=DF, AB=DE.求证:CE=BF. 典例1图 利用“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEF,可 得BC=EF,进一步得出CE=BF. 解答: 解有所悟:(1) “HL”只适用于直角三角形,对于 一般三角形不适用;(2) 用“HL”证明两个直角三 角形全等,在书写时,两个三角形符号“△”前要 加上“Rt”. 典例2 如图,在△ABC 中,AO 平分∠BAC 交 BC 于点O,OE⊥AC 于点E,OF⊥AB 于点F, 延长AB到点D,使OC=OD.求证:∠C=∠D. 典例2图 先证△OAE≌△OAF,得到OE=OF,再 利用“HL”证Rt△OCE≌Rt△ODF 即可. 解答: 解有所悟:判定两个三角形全等时,如果已知条件 不全,可结合判定方法确定出所缺条件,先推导出 所缺条件,再证明. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 67 [基础过关] 1. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等 的是 ( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一个锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 一条直角边和一个锐角分别相等 2. 如图,BE,CD 是△ABC 的高,且BD=CE, 直接判定△BCD≌△CBE 的依据是 ( ) A. SSS B. ASA C. SAS D. HL 第2题 第3题 3. 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 在AB上, 且AD=AC,DE⊥AB 交BC 于点E,连接 AE.若∠B=28°,则∠AEC的度数为 ( ) A. 28° B. 59° C. 60° D. 62° 4. 如图,AC=BC,AE=CD,AE⊥CD 于点 E,BD⊥CD 于点D.若AE=7,BD=2,则 DE 的长是 ( ) A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 第4题 第5题 5. 如图,点 D 在BC 上,DE⊥AB 于点E, DF⊥BC 交AC 于点F,BD=CF,BE= CD.若∠AFD=145°,则∠B 的度 数 为 . 第6题 6. 如图,有两个长度相同的梯 子靠在一面竖直的墙上,其 中左边梯子竖直方向的高 度AC 与右边梯子水平方 向的长度DF 相等.若DF=6m,DE=8m, AD=4m,则BF= m. 7. 如图,点A,D,B,E 在同一条直线上,AC= EF,AD=BE,∠C=∠F=90°,∠ABC= 65°,求∠ADF 的度数. 第7题 [综合提升] 答案讲解 8. 如图,在△ABC 中,∠A=90°,点D 在边AC 上,过点D 作DE⊥BC, 垂足 为 E.如 果 AD =DE,且 ∠BDE=2∠ABC,那么∠CDE 的度数是 . 第8题 答案讲解 9. 如图,AD 是△ABC 的高,AD= BD=8,E 是AD 上的一点,BE= AC=10,AE=2,BE 的延长线交 AC 于点F,求EF 的长. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD=90°.在△BDE 和 △CDF 中, ∠BED=∠CFD, ∠B=∠C, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △CDF (AAS).∴ BE=CF. 第4课时　用“HL”判定 两个直角三角形全等 知识梳理 1. 斜 直角 HL 2. A'B' A'C' 典例演练 典例1 ∵ AB⊥CF,DE⊥CF,∴ ∠ABC=∠DEF= 90°.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴ BC=EF.∴ BC- BE=EF-BE,即CE=BF. 典例2 ∵ OE⊥AC,OF⊥AB,∴ ∠AEO=∠AFO= 90°.∵ AO 平分∠BAC,∴ ∠EAO=∠FAO.在△OAE 和△OAF 中, ∠AEO=∠AFO, ∠EAO=∠FAO, AO=AO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAE≌△OAF (AAS).∴ OE =OF.∵ ∠AEO = ∠AFO =90°, ∴ ∠CEO=∠DFO=180°-90°=90°.在Rt△OCE 和 Rt△ODF 中, OC=OD, OE=OF, ∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODF (HL).∴ ∠C=∠D. 预学训练 1. D 2. D 3. B 4. B 5. 55° 6. 18 7. ∵ AD=BE,∴ AD+BD=BE+BD,即 AB= ED.在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中, AB=ED, AC=EF, ∴ Rt△ABC≌Rt△EDF(HL).∴ ∠ABC=∠EDF= 65°.∴ ∠ADF=180°-∠EDF=180°-65°=115°. 8. 36° 9. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ AD⊥BC.∴ ∠ADC= ∠BDE=90°.在Rt△ACD 和Rt△BED 中, AC=BE, AD=BD, ∴ Rt△ACD≌Rt△BED(HL).∴ CD=ED=AD- AE=8-2=6,∠CAD=∠EBD.∵ ∠ADC=90°, ∴ ∠C + ∠CAD =90°.∴ ∠C + ∠EBD =90°. ∴ ∠BFC=180°-(∠C+∠EBD)=90°.∴ BF⊥ AC.∵ S△ABC =S△ABD +S△ACD,∴ 1 2AC×BF = 1 2AD×BD+ 1 2CD×AD.∴ AC×BF=AD×BD+ CD×AD.∴ 10BF=8×8+6×8.∴ BF=11.2. ∴ EF=BF-BE=11.2-10=1.2. 1.4 线段垂直平分线与角平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质 知识梳理 1. 到线段两端的距离 2. 到线段两端距离相等 3. 到 线段两端距离相等 典例演练 典例1 C 典例2 (1) ∵ DE 是AB 的垂直平分线,∴ BE= AE.∵ GF 是AC 的垂直平分线,∴ GA=GC.∵ BC= BE+EG+GC,∴ BC=AE+EG+AG=△AEG 的周 长=12.(2) ∵ ∠BAC=125°,∴ ∠B+∠C=180°- ∠BAC=180°-125°=55°.∵ DE 是AB 的垂直平分线, ∴ ∠ADE=∠BDE=90°.在Rt△ADE 和Rt△BDE 中, AE=BE, DE=DE, ∴ Rt△ADE≌Rt△BDE(HL).∴ ∠DAE= ∠B.同理,可证 Rt△AFG≌Rt△CFG,∴ ∠FAG= ∠C.∴ ∠EAG=∠BAC-∠DAE-∠FAG=∠BAC- (∠B+∠C)=125°-55°=70°. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. D 5. 20 6. 2 7. 如图,点P 即为所求. 第7题 8. ∵ P 是∠AOB 的平分线上的一点,∴ ∠POC= ∠POD.∵ PC⊥OA,PD⊥OB,∴ ∠PCO=∠PDO= 90°.在 △PCO 和 △PDO 中, ∠PCO=∠PDO, ∠POC=∠POD, OP=OP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PCO≌△PDO(AAS).∴ PC=PD,CO=DO. ∴ 点P 在CD 的垂直平分线上,点O 在CD 的垂直平分 线上.∴ OP 是CD 的垂直平分线. 9. ∵ AD 垂直平分BC,∴ BD=DC,AB=AC.∵ AB+ BD=DE,∴ AC+DC=DE.又∵ DE=DC+CE, ∴ AC=CE.∴ 点C在线段AE 的垂直平分线上. 10. 设∠CAE=x,则∠EAB=3x.∵ AC 的垂直平分线 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈