1.3 第3课时 用“SSS”判定两个三角形全等-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

63 第3课时 用“SSS”判定两个三角形全等 1. 基本事实:三边分别 的两个三角形 全等(简写成“边边边”或“ ”). 2. 如图,在△ABC 和△A'B'C'中, 如果 AB= , BC= , AC= , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 那么△ABC≌△A'B'C'. 3. 三角形具有 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,C 是AE 的中点,AB=CD,CB= ED.求证:AB∥CD. 典例1图 根据“SSS”推出△BAC≌△DCE,得到 ∠A=∠DCE,从而证得AB∥CD. 解答: 解有所悟:已知三组线段相等,常考虑利用“SSS”证 明三角形全等. 典例2 如图,AB=AC,BD=CD,过点D 作 DE⊥AB 交AB 的延长线于点E,DF⊥AC 交 AC 的延长线于点F,垂足分别为E,F.求证: (1) ∠DBE=∠DCF; (2) BE=CF. 典例2图 (1) 将问题转化为证明∠ABD,∠ACD 所在的两个三角形全等.(2) 证明△BDE≌ △CDF 即可. 解答: 解有所悟:待证的两个角所在的三角形缺少三角形 全等的条件,可考虑将待证的两个角转化为与这两 个角相邻的两个补角(或其他角),进而证明转化后 的角所在的三角形全等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 64 [基础过关] 1. 如图,AB=A1B1,BC=B1C1,AC=A1C1, 且∠A=110°,∠B=40°,则∠C1的度数为 ( ) 第1题 A. 110° B. 40° C. 30° D. 20° 2. 我国传统工艺中,油纸伞的制作非常巧妙, 其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开 示意图,AE=AF,GE=GF,则△AEG≌ △AFG 的依据是 ( ) 第2题 A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 3. 一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角 形的三边长为5,10,y.若由“SSS”可以判定 这两个三角形全等,则x+y的值为 ( ) A. 15 B. 19 C. 24 D. 25 4. 下列图形中,具有稳定性的是 ( ) A B C D 5. 如 图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°, ∠BAD=46°,则∠ACD 的度数是 ( ) 第5题 A. 120° B. 125° C. 127° D. 104° 6. 如图,AB=CD,AE=DF,CE=BF,有下列 结论:① △ABE≌△DCF;② ∠B=∠C; ③ ∠CDF=∠BAE;④ ∠BEA=∠CFD; ⑤ CF=BE.其中,正确的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第6题 第8题 7. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC 的是 ( ) A. AB=3,BC=4,AC=8 B. AB=4,BC=3,∠A=30° C. ∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D. ∠C=90°,∠A=∠B=45° 8. 如图,AB=DC,若要用“SSS”证明△ABC≌ △DCB,需要补充一个条件,这个条件是 . 9. 如图,在4×4的正方形网格中,∠1+∠2= . 第9题 第10题 10. 如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这 样做的依据是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 65 11. 如图,E,F 是线段BC 上两点,AB=DC, AF=DE,BE =CF.求 证:△ABF ≌ △DCE. 第11题 12. 如图,在△ABC 和△DEB 中,点C 在边 BD 上,边AC 交边BE 于点F.若AC= BD,AB=DE,BC=EB,求证:∠AFB= 2∠ACB. 第12题 13. 如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, ∠AEB=105°,求∠DAE 的度数. 第13题 [综合提升] 答案讲解 14. 如图,在△ABC 中,点D,F 分别 在边BC,AC 上,若 BC=ED, AC=CD,AB=CE,且∠ACE= 180°-∠ABC-2m,则在下列角中,大小为 m 的角是 ( ) A. ∠CDF B. ∠ABC C. ∠CFD D. ∠CFE 第14题 第15题 15. 如图,要使六边形木架(用6根木条钉成)不 变形,至少要再钉 根木条. 答案讲解 16. 如图,AB=AC,BD=CD,过点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F.求证: (1) ∠B=∠C; (2) BE=CF. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 20 ∠CAF,即∠EAF=∠BAC.在△ABC 和△AEF 中, ∠C=∠F, ∠BAC=∠EAF, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △AEF (AAS). ∴ AC=AF. 9. ∵ CB⊥AD,AE⊥CD,∴ ∠ABF=∠CBD=90°, ∠FEC=90°.∴ ∠A+∠AFB=90°,∠C+∠EFC= 90°.又∵ ∠AFB=∠EFC,∴ ∠A=∠C.在△ABF 和 △CBD 中, ∠ABF=∠CBD, AB=CB, ∠A=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF ≌ △CBD (ASA).∴ BF=BD.∵ BF=BC-CF=8-2=6, ∴ BD=6.∴ 涂色部分的面积=12 ·CF·BD=12× 2×6=6. 10. (1) 由题意,得AB=BD,∠ABD=90°,AC⊥CE, DE⊥CE,∴ ∠BED = ∠ACB=90°.∴ ∠BDE + ∠DBE=90°,∠DBE+ ∠ABC=90°.∴ ∠BDE = ∠ABC.在 △ACB 和 △BED 中, ∠ACB=∠BED, ∠ABC=∠BDE, AB=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△BED(AAS).(2) 由题意,得AC=5×3= 15(cm),DE=7×5=35(cm),∵ △ACB≌△BED, ∴ DE=BC=35cm,BE=AC=15cm.∴ CE=EB+ BC=50cm.∴ 两堵木墙之间的距离为50cm. 11. B 12. B 13. D 14. 5 15. ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM = ∠FBM,∠AEM = ∠BFM.在△AEM 和△BFM 中, ∠EAM=∠FBM, ∠AEM=∠BFM, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM≌△BFM(AAS).∴ AE=BF.∵ EM=FM, ∴ EF=2EM.∵ ∠AEM = ∠BFM,∠AEC=90°, ∴ ∠BFM =90°.∴ ∠BFD =180°-90°=90°. ∴ ∠AEC = ∠BFD. 在 △ACE 和 △BDF 中, ∠CAE=∠DBF, AE=BF, ∠AEC=∠BFD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BDF(ASA).∴ CE= DF.∴ DF-CF=CE-CF,即CD=EF.∴ CD= 2EM. 第3课时　用“SSS”判定两个三角形全等 知识梳理 1. 相等 SSS 2. A'B' B'C' A'C' 3. 稳定性 典例演练 典例1 ∵ C 是AE 的中点,∴ AC=CE.在△BAC 和 △DCE 中, AB=CD, AC=CE, CB=ED, ∴ △BAC ≌ △DCE (SSS). ∴ ∠A=∠DCE.∴ AB∥CD. 典例2 (1) 如图,连接AD.在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠ABD= ∠ACD.∴ 180°-∠ABD=180°-∠ACD,即∠DBE= ∠DCF.(2) ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠E=∠F= 90°.在 △BDE 和 △CDF 中, ∠E=∠F, ∠DBE=∠DCF, BD=CD, ∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ BE=CF. 典例2图 预学训练 1. C 2. D 3. C 4. C 5. C 6. D 7. C 8. AC= DB 9. 45° 10. 三角形具有稳定性 11. ∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+EF.∴ BF=CE.在 △ABF 和△DCE 中, AB=DC, AF=DE, BF=CE, ∴ △ABF≌△DCE (SSS). 12. 在△ABC 和△DEB 中, AC=DB, AB=DE, BC=EB, ∴ △ABC≌ △DEB(SSS).∴ ∠ACB=∠DBE.∵ ∠AFB 是△BCF 的外角,∴ ∠AFB=∠ACB+∠DBE.∴ ∠AFB= 2∠ACB. 13. ∵ BD=CE,∴ BD-ED=CE-ED,即 BE= CD.在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, AE=AD, BE=CD, ∴ △ABE≌ △ACD(SSS).∴ ∠AEB=∠ADC=105°.∴ ∠AED= ∠ADE=180°-105°=75°.∴ ∠DAE=180°-∠AED- ∠ADE=180°-75°-75°=30°. 14. A 15. 3 16. (1) 连接AD.在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, BD=CD, AD=AD, ∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠B=∠C.(2) ∵ DE⊥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD=90°.在△BDE 和 △CDF 中, ∠BED=∠CFD, ∠B=∠C, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △CDF (AAS).∴ BE=CF. 第4课时　用“HL”判定 两个直角三角形全等 知识梳理 1. 斜 直角 HL 2. A'B' A'C' 典例演练 典例1 ∵ AB⊥CF,DE⊥CF,∴ ∠ABC=∠DEF= 90°.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴ BC=EF.∴ BC- BE=EF-BE,即CE=BF. 典例2 ∵ OE⊥AC,OF⊥AB,∴ ∠AEO=∠AFO= 90°.∵ AO 平分∠BAC,∴ ∠EAO=∠FAO.在△OAE 和△OAF 中, ∠AEO=∠AFO, ∠EAO=∠FAO, AO=AO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAE≌△OAF (AAS).∴ OE =OF.∵ ∠AEO = ∠AFO =90°, ∴ ∠CEO=∠DFO=180°-90°=90°.在Rt△OCE 和 Rt△ODF 中, OC=OD, OE=OF, ∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODF (HL).∴ ∠C=∠D. 预学训练 1. D 2. D 3. B 4. B 5. 55° 6. 18 7. ∵ AD=BE,∴ AD+BD=BE+BD,即 AB= ED.在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中, AB=ED, AC=EF, ∴ Rt△ABC≌Rt△EDF(HL).∴ ∠ABC=∠EDF= 65°.∴ ∠ADF=180°-∠EDF=180°-65°=115°. 8. 36° 9. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ AD⊥BC.∴ ∠ADC= ∠BDE=90°.在Rt△ACD 和Rt△BED 中, AC=BE, AD=BD, ∴ Rt△ACD≌Rt△BED(HL).∴ CD=ED=AD- AE=8-2=6,∠CAD=∠EBD.∵ ∠ADC=90°, ∴ ∠C + ∠CAD =90°.∴ ∠C + ∠EBD =90°. ∴ ∠BFC=180°-(∠C+∠EBD)=90°.∴ BF⊥ AC.∵ S△ABC =S△ABD +S△ACD,∴ 1 2AC×BF = 1 2AD×BD+ 1 2CD×AD.∴ AC×BF=AD×BD+ CD×AD.∴ 10BF=8×8+6×8.∴ BF=11.2. ∴ EF=BF-BE=11.2-10=1.2. 1.4 线段垂直平分线与角平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质 知识梳理 1. 到线段两端的距离 2. 到线段两端距离相等 3. 到 线段两端距离相等 典例演练 典例1 C 典例2 (1) ∵ DE 是AB 的垂直平分线,∴ BE= AE.∵ GF 是AC 的垂直平分线,∴ GA=GC.∵ BC= BE+EG+GC,∴ BC=AE+EG+AG=△AEG 的周 长=12.(2) ∵ ∠BAC=125°,∴ ∠B+∠C=180°- ∠BAC=180°-125°=55°.∵ DE 是AB 的垂直平分线, ∴ ∠ADE=∠BDE=90°.在Rt△ADE 和Rt△BDE 中, AE=BE, DE=DE, ∴ Rt△ADE≌Rt△BDE(HL).∴ ∠DAE= ∠B.同理,可证 Rt△AFG≌Rt△CFG,∴ ∠FAG= ∠C.∴ ∠EAG=∠BAC-∠DAE-∠FAG=∠BAC- (∠B+∠C)=125°-55°=70°. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. D 5. 20 6. 2 7. 如图,点P 即为所求. 第7题 8. ∵ P 是∠AOB 的平分线上的一点,∴ ∠POC= ∠POD.∵ PC⊥OA,PD⊥OB,∴ ∠PCO=∠PDO= 90°.在 △PCO 和 △PDO 中, ∠PCO=∠PDO, ∠POC=∠POD, OP=OP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PCO≌△PDO(AAS).∴ PC=PD,CO=DO. ∴ 点P 在CD 的垂直平分线上,点O 在CD 的垂直平分 线上.∴ OP 是CD 的垂直平分线. 9. ∵ AD 垂直平分BC,∴ BD=DC,AB=AC.∵ AB+ BD=DE,∴ AC+DC=DE.又∵ DE=DC+CE, ∴ AC=CE.∴ 点C在线段AE 的垂直平分线上. 10. 设∠CAE=x,则∠EAB=3x.∵ AC 的垂直平分线 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈