1.3 第2课时 用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

60 第2课时 用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等 1. 基本事实:两角及其 分别相等的 两个 三 角 形 全 等 (简 写 成 “角 边 角”或 “ ”). 2. 如图,在△ABC 和△A'B'C'中, 如果 ∠B= , BC= , ∠C= , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 那么△ABC≌△A'B'C'. 3. “角边角”的推论:两角分别相等且其中 相等的两个三角形全等(简写成 “角角边”或“ ”). 4. 如图,在△ABC 和△A'B'C'中, 如果 ∠A= , ∠B= , BC= , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 那么△ABC≌△A'B'C'. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,AC 是△ABC 和△ADC 的公共 边,下列条件不能判定△ABC≌△ADC 的是 ( ) 典例1图 A. AB=AD,∠2=∠1 B. AB=AD,∠3=∠4 C. ∠2=∠1,∠3=∠4 D. ∠2=∠1,∠B=∠D 利用 基 本 事 实“SAS”“ASA”和 推 论 “AAS”逐一判断. 解答: 解有所悟:判定两个三角形全等时,必须有边的参 与.一般地,若有两边一角对应相等,则角要是两边 的夹角才能得全等. 典例2 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,E 为CD 的中点,连接AE,BE,且BE⊥AE,延长 AE 交BC 的延长线于点F.求证: (1) AD=FC; (2) AB=BC+AD. 典例2图 (1) 证明△ADE≌△FCE 即可.(2) 由 (1),可知AD=FC,要证明AB=BC+AD,只 需证明AB=FB.通过证明△ABE≌△FBE 可以得到该结论. 解答: 解有所悟:证明“a=b+c”型问题,通常将“b+c”转 化为一条新线段d,再证明线段a,d 所在的两个三 角形全等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 61 [基础过关] 1. 如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具 打碎成四块,他要带其中一块碎片到商店去 配一块与原来一样的三角形模具,他应该带 去的是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第1题 第2题 2. 如图,AC 和BD 相交于点O,若OA=OD, 用“AAS”证明△AOB≌△DOC,还需增加 下列条件中的 ( ) A. AB=CD B. ∠B=∠C C. OB=OD D. ∠AOB=∠COD 3. 如图,∠1=∠2,补充下列条件后,仍不能判 定△ABD 和△ACD 全等的是 ( ) A. ∠BAD=∠CADB. ∠B=∠C C. BD=CD D. AB=AC 第3题 第4题 第5题 4. 如图,点D 在AB 上,点E 在AC 上.有下列 5个 条 件:① AB=AC;② ∠B=∠C; ③ ∠BFD=∠CFE;④ BE=CD;⑤ AE= AD.其中,能使△ABE≌△ACD 的序号组 合是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③⑤ 5. 如图,点E 在△ABC 的外部,点D 在边BC 上,DE 交AC 于点F,连接AD.若∠1= ∠2=∠3,AC=AE,则有 ( ) A. △ABD≌△AFDB. △AFE≌△ADC C. △AEF≌△DFC D. △ABC≌△ADE 6. 如 图,AE∥BD,若 要 用“角 边 角”判 定 △AEC≌△DCE,则需添加的一组平行线 是 . 第6题 第7题 7. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,BE⊥ AC 于点E,AD 与BE 相交于点F,BF= AC.若 BC=7,DF=3,则 AF 的 长 为 . 8. 如 图,AB =AE,∠C = ∠F,∠EAC = ∠BAF.求证:AC=AF. 第8题 9. 如图,CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B, E,AE,BC 相交于点F,连接DF.若AB= BC=8,CF=2,求图中涂色部分的面积. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 10. 某同学用10块高度都是5cm的相同长方 体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木 墙之间刚好可以放进一把三角尺 ABD (∠ABD=90°,BD=BA),点B 在CE 上, 点A,D 分别与木墙的顶端重合. (1) 求证:△ACB≌△BED; (2) 求两堵木墙之间的距离. 第10题 [综合提升] 11. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F 是AD 上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4, BF=3,EF=2,则AD 的长为 ( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 第11题 第12题 12. 如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且 BC=CD,根据图中所标注的数据计算图中 实线所围成的图形的面积为 ( ) A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 答案讲解 13. 如图,两座建筑物AB,CD 相距 160m,小月从点B 沿BC 走向点 C,行走ts后到达点E,此时她分 别仰望两座建筑物的顶点A,D,两条视 线的夹角正好为90°,且EA=ED.若建筑 物AB 的高为60m,小月行走的速度为 1m/s,则t的值为 ( ) A. 50 B. 60 C. 80 D. 100 第13题 第14题 答案讲解 14. 如图,在四边形ABCD 中,点B, E,D 在同一条直线上,AB∥CD, ∠1=∠2,AD=EC.若AB=2, BE=3,则CD 的长为 . 答案讲解 15. 如图,M 是线段AB 上一点,ED 是过点M 的一条直线,∠AEC= 90°,过点B 作BF∥AE 交ED 于 点F,且∠DBF=∠CAE,EM=FM.求 证:CD=2EM. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 19 1.3 全等三角形的判定 第1课时　用“SAS”判定两个三角形全等 知识梳理 1. 夹角 SAS 2. A'B' ∠B' B'C' 典例演练 典例1 添加条件不唯一,如BC=EF.∵ AC∥DF, ∴ ∠ACB=∠F.在△ABC 和△DEF 中, AC=DF, ∠ACB=∠F, BC=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SAS). 典例2 AD=GA 且AD⊥GA.理由:∵ BE,CF 分别是 AC,AB 边 上 的 高,∴ ∠BEC=∠BEA=∠AFC= ∠BFC=90°.∴ ∠BAC + ∠ACF =90°,∠BAC + ∠ABE=90°.∴ ∠ABE=∠ACF.在△ABD 和△GCA 中, BD=CA, ∠ABD=∠GCA, AB=GC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △GCA (SAS). ∴ AD=GA,∠ADB=∠GAC.∵ ∠ADB=∠AED+ ∠DAE,∠GAC = ∠GAD + ∠DAE,∴ ∠AED = ∠GAD=90°.∴ AD⊥GA. 预学训练 1. D 2. C 3. B 4. △AEB 5. 30° 6. 1<AD<5 7. 在△AMK 和△BKN 中, AM=BK, ∠A=∠B, AK=BN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AMK≌ △BKN(SAS). 8. ∵ ∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC, ∠DAM=∠DAC+∠NAM,∴ ∠BAD=∠NAM.在 △BAD 和△NAM 中, AB=AN, ∠BAD=∠NAM, AD=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌ △NAM(SAS).∴ ∠B=∠ANM. 9. (1) ∵ AB=CD,∴ AB+BC=CD+BC.∴ AC= BD.在 △ACE 和 △BDF 中, AE=BF, ∠A=∠DBF, AC=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BDF(SAS).(2) 由(1),得△ACE≌ △BDF,∴ ∠ACE=∠D.∴ EC∥FD. 10. C 11. A 解析:如图,在AC 上截取AE=AB=4,连接 PE.∵ AC=9,∴ CE=AC-AE=9-4=5.∵ P 是 ∠BAC 的平分线AD 上的一点,∴ ∠CAD=∠BAD.在 △APE 和△APB 中, AE=AB, ∠EAP=∠BAP, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APE≌ △APB(SAS).∴ PE=PB=2.∵ 在△CEP 中,5-2< PC<5+2,∴ 3<PC<7.∴ PC 的长不可能为3. 第11题 12. 2.4或2 13. 90 14. (1) ∵ AD∥EB,∴ ∠A=∠B.在△ACD 和△BEC 中, AD=BC, ∠A=∠B, AC=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△BEC(SAS).(2) CF⊥ DE.理由: ∵ △ACD≌△BEC,∴ CD=EC.∵ CF 平分 ∠DCE,∴ ∠DCF=∠ECF.在△CDF 和△CEF 中, CD=CE, ∠DCF=∠ECF, CF=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDF ≌ △CEF (SAS). ∴ ∠DFC= ∠EFC.又 ∵ ∠DFC+ ∠EFC=180°, ∴ ∠DFC=∠EFC=90°.∴ CF⊥DE. 第2课时　用“ASA”“AAS”判定 两个三角形全等 知识梳理 1. 夹边 ASA 2. ∠B' B'C' ∠C' 3. 一组等角的 对边 AAS 4. ∠A' ∠B' B'C' 典例演练 典例1 A 典例2 (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠ADE=∠FCE.∵ E 为 CD 的 中 点,∴ DE =CE.在 △ADE 和 △FCE 中, ∠ADE=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△FCE(ASA).∴ AD= FC.(2) ∵ △ADE≌△FCE,∴ AE=FE,AD=FC. ∵ BE⊥AE,∴ ∠AEB=∠FEB=90°.在△ABE 和 △FBE 中, AE=FE, ∠AEB=∠FEB, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △FBE (SAS).∴ AB=FB.∵ BF=BC+CF,AD=CF, ∴ AB=BC+AD. 预学训练 1. D 2. B 3. D 4. A 5. D 6. AC∥DE 7. 1 8. ∵ ∠EAC=∠BAF,∴ ∠EAC+∠CAF=∠BAF+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 ∠CAF,即∠EAF=∠BAC.在△ABC 和△AEF 中, ∠C=∠F, ∠BAC=∠EAF, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △AEF (AAS). ∴ AC=AF. 9. ∵ CB⊥AD,AE⊥CD,∴ ∠ABF=∠CBD=90°, ∠FEC=90°.∴ ∠A+∠AFB=90°,∠C+∠EFC= 90°.又∵ ∠AFB=∠EFC,∴ ∠A=∠C.在△ABF 和 △CBD 中, ∠ABF=∠CBD, AB=CB, ∠A=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF ≌ △CBD (ASA).∴ BF=BD.∵ BF=BC-CF=8-2=6, ∴ BD=6.∴ 涂色部分的面积=12 ·CF·BD=12× 2×6=6. 10. (1) 由题意,得AB=BD,∠ABD=90°,AC⊥CE, DE⊥CE,∴ ∠BED = ∠ACB=90°.∴ ∠BDE + ∠DBE=90°,∠DBE+ ∠ABC=90°.∴ ∠BDE = ∠ABC.在 △ACB 和 △BED 中, ∠ACB=∠BED, ∠ABC=∠BDE, AB=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△BED(AAS).(2) 由题意,得AC=5×3= 15(cm),DE=7×5=35(cm),∵ △ACB≌△BED, ∴ DE=BC=35cm,BE=AC=15cm.∴ CE=EB+ BC=50cm.∴ 两堵木墙之间的距离为50cm. 11. B 12. B 13. D 14. 5 15. ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM = ∠FBM,∠AEM = ∠BFM.在△AEM 和△BFM 中, ∠EAM=∠FBM, ∠AEM=∠BFM, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM≌△BFM(AAS).∴ AE=BF.∵ EM=FM, ∴ EF=2EM.∵ ∠AEM = ∠BFM,∠AEC=90°, ∴ ∠BFM =90°.∴ ∠BFD =180°-90°=90°. ∴ ∠AEC = ∠BFD. 在 △ACE 和 △BDF 中, ∠CAE=∠DBF, AE=BF, ∠AEC=∠BFD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BDF(ASA).∴ CE= DF.∴ DF-CF=CE-CF,即CD=EF.∴ CD= 2EM. 第3课时　用“SSS”判定两个三角形全等 知识梳理 1. 相等 SSS 2. A'B' B'C' A'C' 3. 稳定性 典例演练 典例1 ∵ C 是AE 的中点,∴ AC=CE.在△BAC 和 △DCE 中, AB=CD, AC=CE, CB=ED, ∴ △BAC ≌ △DCE (SSS). ∴ ∠A=∠DCE.∴ AB∥CD. 典例2 (1) 如图,连接AD.在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠ABD= ∠ACD.∴ 180°-∠ABD=180°-∠ACD,即∠DBE= ∠DCF.(2) ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠E=∠F= 90°.在 △BDE 和 △CDF 中, ∠E=∠F, ∠DBE=∠DCF, BD=CD, ∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ BE=CF. 典例2图 预学训练 1. C 2. D 3. C 4. C 5. C 6. D 7. C 8. AC= DB 9. 45° 10. 三角形具有稳定性 11. ∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+EF.∴ BF=CE.在 △ABF 和△DCE 中, AB=DC, AF=DE, BF=CE, ∴ △ABF≌△DCE (SSS). 12. 在△ABC 和△DEB 中, AC=DB, AB=DE, BC=EB, ∴ △ABC≌ △DEB(SSS).∴ ∠ACB=∠DBE.∵ ∠AFB 是△BCF 的外角,∴ ∠AFB=∠ACB+∠DBE.∴ ∠AFB= 2∠ACB. 13. ∵ BD=CE,∴ BD-ED=CE-ED,即 BE= CD.在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, AE=AD, BE=CD, ∴ △ABE≌ △ACD(SSS).∴ ∠AEB=∠ADC=105°.∴ ∠AED= ∠ADE=180°-105°=75°.∴ ∠DAE=180°-∠AED- ∠ADE=180°-75°-75°=30°. 14. A 15. 3 16. (1) 连接AD.在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, BD=CD, AD=AD, ∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠B=∠C.(2) ∵ DE⊥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈