专题5 平行线中的图形变换-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

38 专题五　平行线中的图形变换 图形变换的方式主要有三种,分别是平移、翻折、旋转,它们的共同特征是只改变图形的位 置,不改变图形的形状和大小.平行线中的图形变换问题的难度往往较大,利用图形变换前、后的 对应角相等以及平行线的性质探究角之间的关系是解答问题的关键. 类型一 平移变换 1. 已知直线PQ∥MN,在△ABC 和△DEF 中,∠BCA = ∠EDF =90°,∠ABC = ∠BAC=45°,∠DFE=30°,∠DEF=60°. (1) 若△ABC,△DEF 按如图①所示的方 式摆放,求∠PDE 的度数; (2) 将图①中的△ABC 固定,△DEF 沿着 AC 方向平移,边DF 与直线PQ 相交于点 G,∠FGQ 和∠GFA 的平分线GH,FH 相 交于点H(如图②),求∠GHF 的度数. 第1题 2. 如图,MN∥PQ,点B 在MN 上,点C 在PQ 上,点A 在点B 的左侧,点D 在点C 的右 侧,直线 DE 平分∠ADC,直线BE 平分 ∠ABC,直线DE,BE 交于点E,∠CBN= 100°. (1) 若∠ADQ=130°,求∠BED 的度数; (2) 将线段AD 向左平移,使得点D 在点C 的左侧,其他条件不变,若∠ADQ=n°,求 ∠BED 的度数(用含n的代数式表示). 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 39 类型二 翻折变换 答案讲解 3. 如 图 ① 是 长 方 形 纸 带 ABCD, ∠CFE=50°,将纸带沿EF 折叠成 图②,再沿GE 折叠成图③,则图③ 中∠DEF 的度数是 . 第3题 4. 如图,直线AB∥CD,直线l与直线AB,CD 相交于点E,F,∠PEF=75°,P 是射线EA 上的一个动点(不包括端点E),将△EPF 沿 PF 折 叠,使 顶 点 E 落 在 点 Q 处.若 ∠CFQ=13∠PFC ,则∠EFP= . 第4题 5. 已知AB∥CD,E 是AB,CD 之间的一点,连 接AE,DE. (1) 如图①,∠BAE,∠CDE,∠AED 之间 的等量关系为 (直接写出 结果). (2) 如图②,若∠BAE,∠CDE 的平分线 AF,DF 交于点F,探究∠AFD 与∠AED 之间的数量关系,并说明理由. (3) 将图②中的射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G(如图③).若∠AGD 的余角等于 2∠AED 的补角,求∠BAE 的度数. 第5题 类型三 旋转变换 6. 如 图,在 Rt△AOB 和 Rt△COD 中, ∠AOB=∠COD=90°,∠B=40°,∠C= 60°,点D 在边OA 上,将图中的△COD 绕点 O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一 周,在旋转的过程中,第 秒时,边 CD 恰好与边AB 平行. 第6题 第7题 7. “烂漫樱花地,最美英雄城”长江主题灯光秀 在武汉展演,在两条笔直且平行的景观道 AB,CD 上放置P,Q 两盏激光灯(如图),光 线PB1 按顺时针方向以每秒3°的速度从 PB 旋转至PA 便立即回转,并不断往返旋 转;光线QC1按顺时针方向以每秒1°的速度 从QC 旋转至QD 就停止旋转,此时光线 PB1也停止旋转.若光线QC1先转20秒,光 线PB1才开始旋转,当光线PB1 的旋转时 间为 秒时,PB1∥QC1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 8. 如图①是一盏可折叠台灯.图②、图③是其 平面示意图,支架AB,BC 为固定支撑杆,支 架OC 可绕点C 旋转调节.已知灯体顶角 ∠DOE=52°,顶角平分线OP 始终与OC 垂直. (1) 如图②,当支架OC 旋转至水平位置时, OD 恰好与BC 平行,求支架BC 与水平方 向的夹角θ的度数; (2) 若将图②中的OC 绕点C 顺时针旋转 15°到如图③的位置,求此时OD 与水平方向 的夹角∠OQM 的度数. 第8题 答案讲解 9. 如图①,Rt△DEF 与Rt△ABC 的 斜边在同一直线上,∠EDF=30°, ∠ABC=45°,∠ACB=∠E=90°, CD 平分∠ACB.△ABC 不动,将△DEF 绕 点D 按逆时针方向旋转,记∠ADF 为a (0°<a<180°),在旋转过程中: (1) 如图②,当a= °时,DE∥BC; 当a= °时,EF∥AB. (2) 将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转到 如图③的位置,边DE 与BC 的延长线交于 点P,边DF 与AC 交于点Q,求∠BPD+ ∠AQD 的度数. (3) 当顶点C 不在△DEF 内部时,a的度数 范围是 (三角形的内部不包含三角 形的边). (4) 在旋转过程中,当a= 时, △DEF 的一边与AC 平行. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 10 1.(3) 220-219+218-217+…-23+22-2+1= (-2)20+(-2)19+(-2)18+(-2)17+…+(-2)3+ (-2)2+(-2)+1=- 13 × (-2-1)[(-2)20+ (-2)19+(-2)18+(-2)17+…+(-2)3+(-2)2+ (-2)+1]=-13× [(-2)21-1]=13×2 21+13. 4. B 解析:∵ (x-2020)2+(x-2024)2=100, ∴ (x-2022+2)2+(x-2022-2)2=100,即(x- 2022)2+4(x-2022)+4+(x-2022)2-4(x- 2022)+4=100.∴ 2(x-2022)2+8=100.∴ 2(x- 2022)2=92.∴ (x-2022)2=46. 5. ∵ (x+y+1)(x+y-1)=8,∴ (x+y)2-12=8. ∴ (x+y)2=9.∴ x2+y2+2xy=9.∵ xy=2,∴ x2+ y2=9-2xy=9-2×2=5. 6. 4a2+b2+11>12a-2b.理由:∵ 4a2+b2+11- (12a-2b)=4a2-12a+b2+2b+11=(2a-3)2+(b+ 1)2+1≥1,∴ 4a2+b2+11>12a-2b. 7. (1) -3;-24.(2) 大;19.(3) ∵ -x2+5x+y+20= 0,∴ y=x2-5x-20.∴ y+x=x2-5x-20+x=x2- 4x-20=(x-2)2-24.∵ (x-2)2≥0,∴ 当x=2时, (x-2)2 的值最小,最小值是0.∴ (x-2)2-24≥ -24.∴ 当(x-2)2=0时,(x-2)2-24的值最小,最小 值是-24.∴ y+x 的最小值是-24.(4) ∵ a2+b2- 2a-8b+17=0,∴ (a-1)2+(b-4)2=0.∴ a=1,b= 4.∴ 边长c的取值范围是4-1<c<4+1,即3<c< 5.∵ a,b,c都是正整数,∴ c=4.∴ △ABC 的周长为 1+4+4=9. 8. B 解析:a2+b2+c2-ab-bc-ac=12 (2a2+2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ac)=12 [(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+ c2)+(b2-2bc+c2)]=12 [(a-b)2+(a-c)2+(b- c)2]=12× (1+1+4)=3. 9. (1) ①③.(2) ① ∵ ab=1,a+b=2,∴ a2+b2=(a+ b)2-2ab=22-2=2.② a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2= 22-2(ab)2=22-2×12=2.③ 猜想a2n+b2n=2. 10. C 解析:A. ∵ 正方形图案的面积为64,边长为x+ y,∴ (x+y)2=x2+2xy+y2=64,正确;B. 由图可知 (x-y)2=9,即x2-2xy+y2=9,正确;C. 由(x+y)2= x2+2xy+y2=64和(x-y)2=x2-2xy+y2=9,可得 x2+y2= 1 2 (64+9)=732 ,错误;D. 由x+y=8,x-y= 3,可得x2-y2=(x+y)(x-y)=8×3=24,正确. 11. (1) 设5-x=a,x-2=b,则ab=(5-x)(x-2)= 2,a+b=(5-x)+(x-2)=5-x+x-2=3.原 式=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=9-4=5. (2) ① x-1;x-3.② ∵ 长方形EMFD 的面积是48, ∴ MF·DF=(x-1)(x-3)=48.设x-1=a,x-3= b,∴ ab=(x-1)(x-3)=48,a-b=(x-1)-(x-3)= x-1-x+3=2.∴ (a+b)2=(a-b)2+4ab=22+4× 48=196.∴ a+b=±14.又∵ a+b>0,∴ a+b=14. ∴ 涂色部分的面积=(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+ b)(a-b)=14×2=28,即涂色部分的面积是28. 运用整体与部分之间的数量关系 探求整式的乘法运算 解答这类以几何图形为背景的整式乘法运算时, 需要我们正确抓住整体面积或体积与部分面积或体积 之间的数量关系,正确列出代数式表示各个部分的面 积或体积是解此类问题的关键,进而运用整体思想将 其转化,从而解决相关的实际问题. 专题五　平行线中的图形变换 1. (1) 如图①,过 点 E 作EK∥MN.∴ ∠BAC= ∠KEA.∵ ∠BAC=45°,∴ ∠KEA=45°.∵ PQ∥MN, EK∥MN,∴ PQ∥EK.∴ ∠PDE=∠DEK=∠DEF- ∠KEA.又∵ ∠DEF=60°,∴ ∠PDE=60°-45°= 15°.(2) 如图②,分别过点 F,H 作FL∥MN,HR∥ PQ.∴ ∠LFA = ∠BAC =45°,∠RHG = ∠QGH. ∵ FL∥MN,HR∥PQ,PQ∥MN,∴ FL∥PQ∥HR∥ MN.∴ ∠FGQ+∠GFL=180°,∠RHF=∠HFL= ∠HFA-∠LFA.∵ ∠FGQ 和∠GFA 的平分线GH, FH 相交于点 H,∴ ∠QGH = 12 ∠FGQ ,∠HFA= 1 2∠GFA.∵ ∠DFE =30°,∴ ∠GFA =180°- ∠DFE = 150°.∴ ∠HFA = 12 ∠GFA = 75°. ∴ ∠RHF=∠HFL=∠HFA-∠LFA=75°-45°= 30°,∠GFL=∠GFA-∠LFA=150°-45°=105°. ∴ ∠RHG=∠QGH=12∠FGQ= 1 2× (180°-105°)= 37.5°.∴ ∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°= 67.5°. 第1题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 2. (1) 如图①,过点E 作EF∥PQ.∵ ∠CBN=100°, ∠ADQ=130°,∴ ∠CBM=80°,∠ADP=50°.∵ DE 平 分∠ADC,BE 平分∠ABC,∴ ∠EBM=12∠CBM= 40°,∠EDP=12∠ADP=25°.∵ EF∥PQ,∴ ∠DEF= ∠EDP=25°.∵ EF∥PQ,MN∥PQ,∴ EF∥MN. ∴ ∠FEB=∠EBM =40°.∴ ∠BED=25°+40°= 65°.(2) 分三种情况讨论:① 当点E 在直线MN 与直线 PQ之间时,如图②,延长DE 交MN 于点H.∵ ∠CBN= 100°,∴ ∠ABC=180°-100°=80°.∵ ∠ADQ=n°,DE 平分∠ADC,BE 平分∠ABC,∴ ∠CDH=12∠ADQ= 1 2n° ,∠EBH = 12 ∠ABC =40°.∵ PQ ∥MN, ∴ ∠DHA=∠CDH = 12n°.∴ ∠BED=∠EHB+ ∠EBH=180°-∠DHA+∠EBH=180°-12n°+40°= 220°-12n°.② 当点E 在直线MN 的下方时,如图③,设 BE 交PQ 于点G,DE 交 MN 于点 H.同理①,易得 ∠EBH=∠ABG=12∠ABC=40° ,∠DHA=∠CDH= 1 2n°.∵ ∠DHA=∠EBH +∠BED,∴ ∠BED = 1 2n°-40°.③ 当点E 在直线PQ 上方时,如图④,设BE 交PQ 于点H.同理①,易得∠EDH=12n° ,∠EHP= ∠EBA = 12 ∠ABC=40°.∵ ∠EHP = ∠EDH + ∠BED,∴ ∠BED=40°-12n°. 综上所述,∠BED 的度 数为220°-12n° 或1 2n°-40° 或40°-12n°. 第2题 3. 30° 4. 42°或60° 解析:设∠CFQ=x.当点Q 在平行线AB, CD 之 间 时,如 图①,由 折 叠 可 得∠EFP=∠PFQ. ∵ ∠CFQ=13∠PFC ,∴ ∠PFQ=∠EFP=2∠CFQ= 2x.∵ AB∥CD,∴ ∠AEF+∠CFE=180°.∴ 75°+x+ 2x+2x=180°.∴ x=21°.∴ ∠EFP=42°.当点Q 在直 线CD 下 方 时,如 图 ②,由 ∠CFQ = 13∠PFC ,得 ∠PFC=3x,∴ ∠PFQ=4x.由 折 叠,得 ∠EFP = ∠PFQ=4x.∵ AB∥CD,∴ ∠AEF+∠CFE=180°. ∴ 3x+4x+75°=180°.∴ x=15°.∴ ∠EFP=4x= 60°.综上所述,∠EFP 的度数是42°或60°. 第4题 5. (1) ∠BAE + ∠CDE = ∠AED.(2) ∠AFD = 1 2∠AED. 理由:如图,过点F 作FH∥AB.∵ AB∥CD, ∴ FH ∥AB∥CD.∴ ∠BAF= ∠AFH,∠CDF= ∠DFH.∵ ∠BAE,∠CDE 的平分线AF,DF 交于点F, ∴ ∠BAF = 12 ∠BAE ,∠CDF = 12 ∠CDE. ∴ ∠AFD=∠AFH +∠DFH =∠BAF+∠CDF= 1 2 (∠BAE+∠CDE).由(1),得∠BAE+∠CDE= ∠AED,∴ ∠AFD=12∠AED. (3) 设DG 交AB 于点 P.∵ AB∥CD,∴ ∠APD = ∠CDG.∵ ∠AGD = ∠BAF+∠APD,∴ ∠AGD=∠BAF+∠CDG.∵ 射线 DC 沿 DE 翻 折 交 AF 于 点 G,∴ 易 得 ∠CDG = 2∠CDE.∴ ∠AGD=∠BAF+∠CDG=12∠BAE+ 2∠CDE = 12 ∠BAE +2 (∠AED - ∠BAE)= 2∠AED-32∠BAE. 由题意,得90°-∠AGD=180°- 2∠AED,∴ 90°- 2∠AED-32∠BAE =180°- 2∠AED.∴ ∠BAE=60°. 第5题 6. 10或28 解析:① 两个三角形在点O 的同侧时,如图 ①,设CD 与OB 相交于点E.∵ AB∥CD,∴ ∠CEO= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∠B=40°.∵ ∠C=60°,∠COD=90°,∴ ∠D=90°- 60°=30°.∴ ∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°. ∴ 旋 转 角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°= 100°.∵ 每秒旋转10°,∴ 旋转时间为100°÷10°= 10(秒);② 两个三角形在点O 的异侧时,如图②,延长 BO 与CD 相交于点E.∵ AB∥CD,∴ ∠CEO=∠B= 40°.∵ ∠C=60°,∠COD=90°,∴ ∠D=90°-60°= 30°.∴ ∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°.∴ 旋转 角为270°+10°=280°.∵ 每秒旋转10°,∴ 旋转时间为 280°÷10°=28(秒).综上所述,第10或28秒时,边CD 恰 好与边AB 平行. 第6题 7. 10或85 解析:设PB1 的旋转时间为t秒时,PB1∥ QC1.如图①,当0<t≤60时,PB1∥QC1,∵ AB∥CD, ∴ ∠BPB1=∠PB1Q.∵ PB1∥QC1,∴ ∠CQC1= ∠PB1Q.∴ ∠CQC1=∠BPB1.∴ 20+t=3t,解得t= 10;如图②,当60<t≤120时,PB1∥QC1,同理可得, ∠CQC1 = ∠BPB1,此 时 ∠APB1 = 3t°- 180°, ∴ ∠BPB1=180°-(3t°-180°)=360°-3t°.∴ 20+t= 360-3t,解得t=85;如图③,当120<t≤160时,PB1∥ QC1,同理可得,∠CQC1=∠BPB1,此时∠BPB1=3t°- 360°,∴ 20+t=3t-360,解得t=190(舍去).综上所述, 当光线PB1 的旋转时间为10或85秒时,PB1∥QC1. 第7题 8. (1) ∵ ∠DOE=52°,OP 平分∠DOE,∴ ∠DOP= 1 2 ∠DOE =26°.∵ OP ⊥OC,∴ ∠COP =90°. ∴ ∠COD=∠COP+∠DOP=90°+26°=116°.∵ OD∥ BC,∴ ∠C=180°-∠COD=180°-116°=64°.∵ 此时 OC旋转至水平位置,θ为BC 与水平方向的夹角,∴ θ= ∠C=64°.(2) 如图,过点C 作CG∥MN,过点O 作OF∥ CG,则 ∠COF = ∠OCG =15°.∵ ∠COD =116°, ∴ ∠FOQ= ∠COD + ∠COF =116°+15°=131°. ∵ CG∥MN,OF∥CG,∴ OF∥MN.∴ ∠OQM + ∠FOQ=180°.∴ ∠OQM =180°-∠FOQ=180°- 131°=49°. 第8题 9. (1) 15;60.(2) 如图①,设AC 与DE 的交点为H. ∵ ∠AQD= ∠QDH + ∠DHQ,∠DHQ = ∠CHP, ∠QDH=30°,∴ ∠AQD=∠CHP+30°.又∵ ∠BCA= 90°,∴ ∠BPD+∠CHP=90°.∴ ∠BPD+∠AQD= ∠BPD+∠CHP+30°=120°.(3) 0°<a≤60°或90°≤ a<180°. (4) 15°或105°或135°. 解析:当EF∥AC 时,如图②,设 AC 与DE 交于点M.∵ EF∥AC,∴ ∠DMA=∠E= 90°.∵ ∠A=45°,∴ ∠MDA=45°.∴ ∠ADF=45°- 30°=15°,即a=15°.当DE∥AC 时,如图③,∵ DE∥AC, ∴ ∠BDE=∠A=45°.又∵ ∠EDF=30°,∴ ∠ADF= 180°-45°-30°=105°,即a=105°.当DF∥AC 时,如图 ④,∵ DF∥AC,∴ ∠FDB=∠A=45°.∴ ∠ADF= 180°-45°=135°,即a=135°.综上所述,a=15°或105° 或135°. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈