专题2 幂的运算性质的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

8 CD∥GR.∴ ∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.∴ ∠1+∠2= ∠EGR+∠FGR=∠3.∵ ∠1=30°,∠3=75°,∴ ∠2= 45°.(2) ∵ FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,∴ 可设 ∠CFN=∠GFN=β,∠AEM=∠NEM=α.如图②,过 点G 作GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.又∵ AB∥CD, ∴ NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF= ∠CFN =β, ∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM=α,∠PGF= ∠DFG=180°-2β.∴ ∠FNE=∠QNF-∠QNE=β- 2α,∠FGE = ∠PGE + ∠PGF =α +180°-2β. 又∵ ∠FNE+ 12 ∠FGE=54° ,∴ β-2α+ 1 2 (α+ 180°-2β)=54°,解得α=24°.∴ ∠AEN=2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:∵ FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设∠CFK =∠GFK =n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵ AB∥CD,∴ GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE = ∠AEG =2m,∠JGF = ∠CFG =2n,∠IHK = ∠CFK=n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE- ∠JGF =2m-2n =2(m- n),∠EHF=∠IHL- ∠IHK=m-n.∴ ∠EGF=2∠EHF. 第14题 专题二　幂的运算性质的应用 1. A 解析:(-0.125)2020×26060=(-0.125)2020× (23)2020=(-0.125)2020×82020=(-0.125×8)2020= (-1)2020=1. 2. (1) -25.(2) 5 6. (3) 8.(4) 4. 3. (1) 1;1.(2) anbn;anbncn.(3) -132. 4. (1) 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32)2n=62÷92n= 36÷(9n)2=36÷22=9.(2) ∵ x2n=2,∴ (x2n)2=22, (x2n)3=23.∴ x4n=4,x6n=8.∴ (3x3n)2-4(x2)2n= 9x6n-4x4n=9×8-4×4=56. 5. ∵ 2x=3,∴ (23x+3×22x)2=(23x+3+2x)2=(25x+3)2= 210x+6=210x×26=(2x)10×26=310×26. 6. ∵ x2a =2,y3a =3,∴ 原 式 = (x2a)3 +y6a - (x6ay3a)·y3a=(x2a)3+(y3a)2-(x2a)3·(y3a)2=23+ 32-23×32=8+9-8×9=-55. 7. A 8. b<a 9. (1) C.(2) ∵ x63=(x7)9=29=512,y63=(y9)7= 37=2187,2187>512,∴ x63<y63.∴ x<y. 10. A 11. (1) ∵ 5a=3,∴ (5a)2=32=9.(2) ∵ 5a=3,5b=8, 5c=72,∴ 5a-b+c=5 a×5c 5b = 3×72 8 =27. (3) c=2a+b. 12. (1) ∵ 3x+1×7x+1=213x-7,∴ (3×7)x+1= 213x-7.∴ 21x+1=213x-7.∴ x+1=3x-7,解得x= 4.(2) ∵ 2÷8x×16x=25,∴ 2÷(23)x×(24)x=25. ∴ 2÷23x×24x=25.∴ 21-3x+4x=25.∴ 1-3x+4x=5, 解得x=4. 13. ∵ 9n+1-32n=72,∴ 9n×9-9n=72.∴ 8×9n= 72.∴ 9n=9.∴ n=1. 14. ∵ 3x+2·4x+2=1442x+3,∴ (3×4)x+2=1442x+3. ∴ 12x+2=(122)2x+3.∴ 12x+2=124x+6.∴ x+2=4x+ 6,解得x=-43. 15. ∵ 3×9m×271-m=9,即3×32m×33-3m=34-m=32, ∴ 4-m=2,解得 m=2.∴ 原式=-m6÷m5= -m=-2. 利用转化思想解决问题 转化思想是把一种数学问题合理地转化成另一种 数学问题并得到有效解决的数学思想.在幂的运算中 转化思想的应用十分广泛,如将不同底数的幂转化为 同底数的幂、将不同指数的幂转化为同指数的幂、将一 般底数的幂转化为特殊底数的幂等.本题是先通过转 化,得同底数的幂,然后根据“同底数的幂相等(底数不 为0且不为±1),其指数相等”建立方程. 16. ∵ 2a ×22b =8,∴ 2a+2b =23.∴ a+2b=3. ∵ (5a)2×(52b)2÷(53a)b=1,∴ 52a×54b÷53ab=1. ∴ 52a+4b-3ab=50.∴ 2a+4b-3ab=0.∴ 2(a+2b)- 3ab=0.∴ 2×3-3ab=0,解得ab=2. 17. B 18. 9 19. ∵ 20212026的末位数字为1,20224=2022×2022× 2022×2022 的 末 位 数 字 为 6,∴ 20222024 = (20224)506的末位数字是6.∴ 20212026+20222024 的末 位数字为7. 20. 31001×71002×131003=(31001×71001)×7×131000× 133=211001×7× (134)250×133=211001× (169× 169)250×7×133.∵ 211001 的末位数字是1,(169× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 169)250 的末位数 字 是1,7×133 的 末 位 数 字 是9, ∴ 211001×(169×169)250×7×133 的末位数字是9,即 31001×71002×131003的末位数字是9. 专题三　整式的化简求值 1. B 2. A 3. -16 4. (1) 原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,当 x=1,y=-2时,原式=2×12+(-2)2=6.(2) 原式= (x-1)[(x2+3x+1)-(x2-x-1)]=(x-1)(x2+ 3x+1-x2+x+1)=(x-1)(4x+2),当x=12 时,原 式= 12-1 × 4×12+2 =-12×4=-2.(3) 原 式=4(x-y)2-(4x2-3xy)=4x2-8xy+4y2-4x2+ 3xy=4y2-5xy,当x=-2,y=- 1 2 时,原式=4× -12 2 -5×(-2)× -12 =-4. 5. 原式=4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+5x=4x2- 4x+1-9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数不唯一,如 当x=1时,原式=1+2=3. 6. ∵ |a-3|+(b+1)2=0,∴ a-3=0,b+1=0.∴ a= 3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+6b2= 3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17×3× (-1)=78. 7. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.∵ 单项 式-2xm+4y2 和 x3y 的 积 与 7x6y3 是 同 类 项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,∴ m+7=6,解得m= -1.∴ 原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 8. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.∵ 化简后不含x2 项, ∴ 2k-2=0,解得k=1.(2) 原式=-4k+20.当k= 1时,原式=-4+20=16. 9. (1) M=(x+2)2+(2-x)(2+x)-2=x2+4x+4+ 4-x2-2=4x+6.(2) ∵ (x+1)2-x2=5,∴ x2+2x+ 1-x2=5.∴ 2x+1=5.∴ x=2.将x=2代入 M,得 M=4×2+6=14. 10. 原式=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2= xy2+xy.令 2x+3y=5①, 3x-6y=11②, ①×2+②,得7x=21,解 得x=3.把x=3代入②,得y=- 1 3. 当x=3,y= -13 时,原式=3× -13 2 +3× -13 =-23. 11. D 12. A 13. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.∵ (a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,∴ 原式=2. 14. ∵ mn=2,m-3n=-1,∴ 3mn(m+n)-12mn2= 3mn(m+n-4n)=3mn(m-3n)=3×2×(-1)=-6. 15. 原式=x2+5x-3x-15+x2-x-3x+3=2x2- 2x-12.∵ x2-x-2=0,∴ x2-x=2.∴ 原式= 2(x2-x)-12=2×2-12=-8. 16. (1) 理由:∵ 7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,∴ 该多项式的值为常数,与a 和b 的取值无 关.∴ 小阳的说法正确.(2) 2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 =2x2+ax-5y+b-2bx2+ 3x+5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).∵ 无论x, y 取 何 值,多 项 式 2x2 + ax - 5y + b - 2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不变,∴ 2-2b=0,a+ 3=0.∴ a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 17. (1) B 是A 的“好多项式”.理由:(x-2)(x+3)= x2-2x+3x-6=x2+x-6,∵ x2+x-6的项数比A 的项数多1,∴ B 是A 的“好多项式”.(2) 2.(3) (x2- x+3m)(x2+x+m)=x4+x3+mx2-x3-x2-mx+ 3mx2+3mx+3m2=x4+(4m-1)x2+2mx+3m2.∵ B 是A 的“极好多项式”,∴ 4m-1=0或m=0,解得m= 1 4 或0.∴ m 的值是14 或0. 专题四　乘法公式及其应用 1. (1) 20242-2023×2025=20242-(2024-1)× (2024+1)=20242-(20242-1)=20242-20242+1= 1.(2) 1882-376×88+882=1882-2×188×88+882= (188-88)2=1002=10000. 2. (1) 原式=(10-1)×(10+1)×(100+1)=(102- 1)×(100+1)=(100-1)×(100+1)=1002-1= 10000-1=9999.(2) 原式= 1-12 × 1+12 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-122 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-124 × 1+124 × 1+128 +1216= 1-128 × 1+128 +1216= 1-1216+ 1 216=1. 3. (1) xn+1-1.(2) 22025+22024+22023+…+22+2+1= (2-1)(22025+22024+22023+…+22+2+1)=22026- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 专题二　幂的运算性质的应用 幂的运算性质包括:同底数幂的乘法运算性质、同底数幂的除法运算性质、幂的乘方运算性 质和积的乘方运算性质.在规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后,这些运算性质可扩展为 am·an=am+n(m,n是整数);am÷an=am-n(a≠0,m,n是整数);(am)n=amn(m,n是整数); (ab)n=an·bn(m,n是整数),其中a,b可以是数,也可以是单项式或多项式.幂的运算性质还可 以逆向运用,需要注意的是,性质之间容易发生混淆,具体运用时一般先明确是何种运算,再用相 应的运算性质进行计算. 类型一 运用幂的运算性质计算 1. 计算(-0.125)2020×26060的结果是 ( ) A. 1 B. -1 C. 8 D. -8 2. 简便计算: (1) 318 12 × 825 11 ×(-2)3; (2) 56 2019 ×1.22018×(-1)2020; (3) 0.1253×0.253×26×212; (4) (-0.25)14×230. 3. 观察各式,回答下列问题: (a·b)2=a2b2; (a·b)3=a3b3; (a·b)4=a4b4; … (1) 验证: 2×12 100 = ,2100× 12 100 = ; (2) 通过上述验证,归纳得出:(a·b)n= ,(a·b·c)n= ; (3) 请运用上述性质计算:(-0.125)2025× 22024×42023. 类型二 幂的运算性质的逆用 4. (1) 已知3m=6,9n=2,求32m-4n 的值; (2) 已 知 n 为 正 整 数,且 x2n =2,求 (3x3n)2-4(x2)2n 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 30 5. 若2x=3,求(23x+3×22x)2的值. 6. 已知x2a=2,y3a=3,求(x2a)3+(ya)6- (x2y)3a·y3a 的值. 类型三 比较大小 7. 已知a=313,b=96,c=275,则a,b,c的大小 关系为 ( ) A. c>a>b B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b 8. 已知a=255,b=522,则a,b的大小关系是 (用“<”连接). 9. 阅读下面的材料: 若a3=2,b5=3,比较a,b的大小关系. ∵ a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33= 27,32>27,∴ a15>b15.∴ a>b. 解答下面的问题: (1) 上述求解过程中,逆用了幂的运算性质, 该性质是 ( ) A. 同底数幂的乘法 B. 同底数幂的除法 C. 幂的乘方 D. 积的乘方 (2) 已知x7=2,y9=3,试比较x 与y 的 大小. 类型四 探究指数中字母间的等量关系 答案讲解 10. 已知2a=4,2b=12,2c=6,则a, b,c之间满足的关系是 ( ) A. a+c=b+1 B. a+c=2b C. a∶b∶c=1∶3∶2 D. ac=2b 11. 已知5a=3,5b=8,5c=72. (1) 求(5a)2的值; (2) 求5a-b+c 的值; (3) 直接写出字母a,b,c之间的数量关系 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 31 类型五 求指数中字母的值 12. 若am=an(a>0且a≠1,m,n是整数),则 m=n.利用这个结论解决问题: (1) 已知3x+1×7x+1=213x-7,求x的值; (2) 已知2÷8x×16x=25,求x的值. 13. 已知9n+1-32n=72,求n的值. 14. 已知3x+2·4x+2=1442x+3,求x的值. 15. ★已知3×9m×271-m=9,求(-m2)3÷ (m3·m2)的值. 16. 已知常数a,b满足2a×22b=8,且(5a)2× (52b)2÷(53a)b=1,求ab的值. 类型六 确定末位数字 17. 若 A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+ 1)(216+1)+2,则A 的末位数字是 ( ) A. 6 B. 7 C. 3 D. 5 18. 20192019×20212021的末位数字是 . 19. 阅读下面的解题过程: 试确定20202025+20192026的末位数字. 解:∵ 20202025 的末位数字为0,20192= 2019×2019的末位数字为1, ∴ 20192026=(20192)1013的末位数字是1. ∴ 20202025+20192026的末位数字为1. 仿照上面的解题过程,试确定20212026+ 20222024的末位数字. 答案讲解 20. 求31001×71002×131003 的 末 位 数字. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优