第11章 一元一次不等式-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

4 第11章　一元一次不等式 一、 1. B 2. D 判断不等式变形是否正确的一般方法 要判断从一个不等式变形到另一个不等式是否正 确,可以先判断出第二个不等式是由第一个不等式经 过怎样的变形得到的,再确定出每一步变形的依据,最 后确定不等号是否改变方向. 3. A 4. D 利用不等式表示不等关系的方法 用不等式表示不等关系的关键是要领会具体问题 中的内在的数量关系,特别是一些关键字、词的含义, 例如:“非负数”“至多”“不大于”“不小于”等.本题在 列不等式时就需要注意“至多”和“至少”这两个关键 词的区别. 5. A 6. C 7. A 8. D 二、 9. 1<x<3 10. 300+4x<600 11. m<-5 12. 1 6<x<3 13. 11≤a<14 14. -1 15. 2n< x<-2n 16. m≥5 17. 0≤m<13 18. 121 8 <m≤ 109 4 解析:若结果大于100,则输出此结 果;若结果不大于100,则将此结果作为m 的值再进行第 二 次 运 算.已 知 运 算 进 行 了 三 次 后 停 止, ∴ 2m-3≤100, (2m-3)×2-3≤100, [(2m-3)×2-3]×2-3>100, 解得1218 <m≤1094 . 三、 19. (1) 解集为x<4,解集在数轴上表示如图所 示.(2) 令 1 2+2x<- 3 2x+4① , x-3<1+2x②, 解不等式①,得x<1; 解不等式②,得x>-4.∴ 原不等式组的解集为-4< x<1.∴ 不等式组所有整数解的和为-3+(-2)+ (-1)+0=-6. 第19题 20. (1) ∵ a+2b=3,∴ 2b=3-a.∵ a,b是两个非负 数,∴ b≥0,a≥0.∴ 2b≥0,即3-a≥0,解得a≤3. ∴ 0≤a≤3.(2) ∵ 2b=3-a,c=3a+2b,∴ c=3a+3- a=2a+3.∵ 0≤a≤3,∴ 0≤2a≤6.∴ 3≤2a+3≤9,即 3≤c≤9. 21. (1) 令 2x-y=-3a①, x+2y=a-4②, ①×2+②,得5x=-5a- 4,∴ x=-a-45. 把x=-a-45 代入②,得-a-45+ 2y=a -4.∴ y =a - 8 5.∴ 方 程 组 的 解 为 x=-a-45 , y=a- 8 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) ∵ x 为 负 数,y 为 非 正 数, ∴ x<0, y≤0, 即 -a-45<0 , a-85≤0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得- 4 5<a≤ 8 5.∵ a为整 数,∴ a的值为0或1. 利用构造不等式组法求方程组中待求字母的取值范围 当方程组的解满足特定要求时,先设法求出这个 方程组的解,然后根据题意列出不等式组求出待求字 母的取值范围. 22. (1) ①.(2) 解不等式组 3x-6>4-2x, x-1≥4x-16, 得2<x≤ 5,解方程3x-3k=3,得x=k+1.∵ 关于x 的方程 3x-3k=3是不等式组 3x-6>4-2x, x-1≥4x-16 的“友好方程”, ∴ 2<k+1≤5,解得1<k≤4.(3) 解方程2x+4=0,得 x=-2,解方程2x-13 =-1 ,得x=-1.∵ 方程2x+4= 0,2x-13 = - 1 都 是 关 于 x 的 不 等 式 组 (m-2)x<m-2, x+5≥m 的“友好方程”,且m≠2,∴ m-2>0, 不等式组的解集是m-5≤x<1.∴ m-5≤-2.∴ m 的 取值范围是2<m≤3. 23. (1) 设A型智能机器人的单价为x万元,B型智能机 器人的单价为y万元.根据题意,得 x+3y=260, 3x+2y=360, 解得 x=80, y=60. ∴ A型智能机器人的单价为80万元,B型智能 机器人的单价为60万元.(2) 设购买A型智能机器人 a台,则购买B型智能机器人(10-a)台.根据题意,得 80a+60(10-a)≤700,解得a≤5.∵ 每天分拣快递的件 数=22a+18(10-a)=(4a+180)万,∴ 当a=5时,每天 分拣快递的件数最多,为200万.∴ 该企业购买A型智能 机器人5台,购买B型智能机器人5台能使每天分拣快递 的件数最多. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 24. (1) 2m=x+y.(2) ① ∵ C1=2(y-m+x),C2= 2(m-x+m),∴ C1+C2=2(y-m+x)+2(m-x+ m)=2m+2y.② ∵ C1+C2=2m+2y<10+m,∴ y< 5-12m.∵ 关于y的不等式C1+C2<10+m 的正整数 解只有2个,∴ 2<5-12m≤3 ,解得4≤m<6.∴ m 的 取值范围是4≤m<6.(3) 2S2>S1.理由:∵ S1=x(y- m),S2=(m-x)m,∴ 2S2-S1=2(m-x)m-x(y- m)=2m2-mx-xy.∵ x+y=2m,∴ x=2m-y. ∴ 2S2-S1=2m2-m(2m-y)-(2m-y)y=2m2- 2m2+my-2my+y2=y2-my=y(y-m).由题意,得 x<m<y,y>0,∴ y(y-m)>0.∴ 2S2-S1>0. ∴ 2S2>S1. 第12章　定义　命题　证明 一、 1. C 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. B 8. B 二、 9. 如果两数同号,那么这两个数的积是正数 10. 同位角相等,两直线平行 11. 30 12. 110° 解析:如 图,连 接 AD 并 延 长.∵ ∠1= ∠DAC+∠C,∠2=∠DAB+∠B,∴ ∠1+∠2= ∠DAC+∠C+∠DAB+∠B.∵ ∠BAC=∠DAC+ ∠DAB,∴ ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.∵ ∠BAC = 60°,∠B=20°,∠C=30°,∴ ∠BDC =60°+20°+ 30°=110°. 第12题 巧添辅助线构造新图形解决问题 当题目条件不够时,为了解题的需要,经常在原图 形的基础上适当添加辅助线,构造新图形、新关系,建 立已知与未知的桥梁,把问题转化为能解决的问题.三 角形中角的关系主要涉及内角和、外角,解决此类问题 时可围绕构造内角和、外角来解决.本题就可以连接 AD 并延长,利用外角的关系求解. 13. 六 14. 35° 15. 95° 16. 26 17. 45° 18. 1 2n+30 三、 19. 命题“已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c”是 假命题.举例不唯一,如在同一平面内,已知直线a,b,c, 若a⊥b,b⊥c,则a∥c,∴ 命题“已知直线a,b,c,若a⊥ b,b⊥c,则a⊥c”是假命题. 20. (1) ABC;BCD;角的平分线的定义;已知;两直线平 行,内错角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行. (2) 两个互逆的真命题:两直线平行,内错角相等;内错角 相等,两直线平行. 21. ∵ BD 是 AC 边 上 的 高,∴ ∠BDC =90°. ∵ ∠BEC=∠BDC+∠ACE,∴ ∠ACE=∠BEC- ∠BDC=115°-90°=25°.∵ CE 平 分 ∠ACB, ∴ ∠ACB=2∠ACE=50°.∴ ∠ABC=180°-(∠A+ ∠ACB)=180°-(70°+50°)=60°. 22. (1) ∵ DE∥BC,∴ ∠AED=∠B.又∵ ∠1= ∠AED,∴ ∠B=∠1.∴ AB∥DF.(2) ∵ DE∥BC, ∴ ∠EDF=∠1=52°.∵ DF 平分∠CDE,∴ ∠CDF= ∠EDF=52°.在△CDF 中,∵ ∠C+∠1+∠CDF= 180°,∴ ∠C=180°-∠1-∠CDF=180°-52°-52°=76°. 23. (1) 不变.如图①,过点P 作PE∥l1.∵ l1∥l2,PE∥ l1,∴ PE∥l2∥l1.∴ ∠PAC=∠1,∠PBD=∠2. ∴ ∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD.(2) 当点P 在 点C上方时,如图②,∠PBD=∠PAC+∠APB.当点P 在点D 下方时,如图③,∠PAC=∠PBD+∠APB. 第23题 画出符合题意的图形解决动态问题 解决这类动态问题的一般方法是根据问题中的条 件,将图形中的点或线动起来,画出符合题意的图形, 从而根据图形的相关性质、条件进行推理或判断,得出 结论.这类问题往往渗透分类讨论的数学思想. 复习进阶自主检测 一、 1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B 7. C 8. D 二、 9. 1.56×10-6 10. 5 11. 真 12. 105 13. 240 14. 2 15. 4或-6 16. 14 17. 2<m< 2.5 18. ①②④ 三、 19. 原式=9a2+6ab+b2-9a2+b2=6ab+2b2,当 a=1,b=-2时,原式=6×1×(-2)+2×(-2)2= -12+8=-4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 第11章　一元一次不等式 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共24分) 1. 有下列式子:① -3<0;② 2x+3y≥0; ③ x=1;④ x2-2xy+y2;⑤ x≠2;⑥ x+ 1>3.其中,不等式有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. ★若x>y,则下列不等式一定成立的是 ( ) A. x2>y2 B. -3x>-3y C. x 2< y 2 D. 1-x<1-y 3. (河北中考)下列数中,能使不等式5x-1<6 成立的x的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. ★小明网购了一本《好玩的数学》,同学们想 知道这本书的价格,小明让他们猜.甲说: “至少12元.”乙说:“至多10元.”丙说:“至 多8元.”小明说:“你们三个人都说错了.” 这本书的价格x(元)所在的范围是 ( ) A. 8<x<10 B. 9<x<11 C. 8<x<12 D. 10<x<12 5. 已知关于x,y的方程组 2x-y=2k-3, x-2y=k 的 解中x 与y 的和不小于5,则k 的取值范 围是 ( ) A. k≥8 B. k>8 C. k≤8 D. k<8 6. 如图①,聪聪手中有一张长为12的长方形纸 片,他想沿虚线将纸片折成3个长方形,使得 这3个长方形正好围成如图②所示的三棱 柱,且左、右两侧长方形的宽度相等,则图中 m 的值可以是 ( ) 第6题 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 若关于x,y 的方程组 2x+y=k+2, x+5y=2k-1 的解 满足x+2y>-1,则k的取值范围是 ( ) A. k>-43 B. k<-43 C. k>-23 D. k<-23 答案讲解 8. 若关于x 的不等式组 x-a>0, 7-2x>5 仅 有3个整数解,则a的取值范围是 ( ) A. -4≤a<-2 B. -3<a≤-2 C. -3≤a≤-2 D. -3≤a<-2 二、 填空题(每题3分,共30分) 9. (哈尔滨中考)不等式组 x+2>3, 3x-8<1 的解集是 . 10. 如图①,一个容量为600cm3的杯子中装有 300cm3的水,将四颗相同的玻璃球放入这 个杯子中,结果水没有满,如图②,设每颗 玻璃球的体积为xcm3,根据题意可列不等 式为 . 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 16 11. 如图所示为某个关于x 的不等式的解集, 若x=m-2是该不等式的一个解,则m 的 取值范围是 . 第11题 12. 对任意四个数a,b,c,d定义新运算: a b c d =ad-bc,例如:1 23 4 =1×4- 2×3=-2.若1< 2x 4 -x 1 <18,则x的取 值范围是 . 13. 若关于x 的不等式3x+2≤a的正整数解 是1,2,3,则a的取值范围是 . 14. 已知关于x 的不等式组 x+a>1, 2x+b<2 的解 集为-2<x<3,则(a+b)2025 的值为 . 15. 若 m <n<0,则 关 于 x 的 不 等 式 组 x<-2m, x<-2n, x>2n 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 的解集为 . 16. 已知关于x 的不等式组 2x+3≥x+m, 2x+5 3 -3<2-x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 无解,则m 的取值范围是 . 17. (兴安盟中考)对于实数a,b定义运算“※” 为a※b=a+3b,例如:5※2=5+3× 2=11,则当关于x 的不等式x※m<2有 且只有一个正整数解时,m 的取值范围是 . 18. 如图,规定:程序运行到“判断结果是否大 于100”为一次运算,若结果大于100,则输 出此结果;若结果不大于100,则将此结果 作为m 的值再进行第二次运算.已知运算 进行了三次后停止,则m 的取值范围是 . 第18题 三、 解答题(共46分) 19. (6分)(1) 解不等式:2x+1 3 >x-1 ,并在如 图所示的数轴上表示解集; 第19题 (2) (淄 博 中 考 )解 不 等 式 组: 1 2+2x<- 3 2x+4 , x-3<1+2x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 并 求 所 有 整 数 解 的和. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 17 20. (6分)设a,b 是两个非负数,已知a+ 2b=3. (1) 求a的取值范围; (2) 设c=3a+2b,请用含a 的代数式表 示c,并求出c的取值范围. 21. ★(8分)已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 2x-y=-3a, x+2y=a-4. (1) 求这个方程组的解; (2) 当整数a取何值时,这个方程组的解中 的x为负数,y为非正数? 22. (8分)定义:若一元一次方程的解也是一元 一次不等式组的解,则称该一元一次方程 为该不等式组的“友好方程”,例如:方程 2x-6=0 的 解 为 x=3,不 等 式 组 x-2>0, x<5 的解集为2<x<5.∵ 2<3<5, ∴ 称方程2x-6=0为不等式组 x-2>0, x<5 的“友好方程”. (1) 有下列方程:① x-2=0;② 2x+1= 0;③ -2x-2=0.其中,是不等式组 x-1>0, x<3 的“友好方程”的是 (填 序号). (2) 若关于x的方程3x-3k=3是不等式 组 3x-6>4-2x, x-1≥4x-16 的“友好方程”,求k的 取值范围. (3) 若方程2x+4=0,2x-13 =-1 都是关 于x 的不等式组 (m-2)x<m-2, x+5≥m 的“友 好方程”,其中m≠2,求m 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 18 23. (8分)(南通中考)某快递企业为提高工作 效率,拟购买A,B两种型号智能机器人进 行快递分拣.已知A型机器人每台每天可 分拣快递22万件;B型机器人每台每天可 分拣快递18万件.相关信息如下表: A型机器人 台数 B型机器人 台数 总费用/ 万元 1 3 260 3 2 360 (1) 求A,B两种型号智能机器人的单价; (2) 现该企业准备用不超过700万元购买 A,B两种型号智能机器人共10台,则该企 业如何购买能使每天分拣快递的件数 最多? 答案讲解 24. (10分)周长相等的长方形ABCD 和正方形CEFH 按如图所示的方 式叠放在一起(其中点D 在EC 上,点B 在CH 的延长线上,AD 和FH 相 交于点G),正方形CEFH 的边长为m,长 方形ABCD 的宽为x,长为y(x<m<y). (1) 写出x,y,m 之间的等量关系. (2) 若长方形ABHG 的周长记作C1,长方 形DEFG 的周长记作C2. ① 求C1+C2 的值(用含y,m 的代数式 表示); ② 若关于y的不等式C1+C2<10+m 的 正整数解只有2个,求m 的取值范围. (3) 若长方形ABHG 的面积记作S1,长方 形DEFG 的面积记作S2,试比较2S2与S1 的大小,并说明理由. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级