2025年中考数学真题完全解读（北京卷）（试卷评析）

2025年中考数学真题完全解读（北京卷） 本套“2025年北京市初中学业水平考试”数学试卷共包含选择题、填空题和解答题三大题型，试卷形式延续往年北京市中考的基本结构，同时在情境与考查方式上注重与“中考评价体系”及《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求相衔接，实现对学生知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观的综合考查。整卷共设28道题，卷面满分100分，考试用时120分钟。从地域特点和近年来北京地区中考命题规律来看，本卷题量适中、题型稳定，题目覆盖面广，充分体现了北京市中考整体平稳、注重基础与综合结合的特点。 首先，本试卷在题型和结构上与前几年北京市中考保持一致，仍然分为“两部分、三大题”。选择题共8小题，每题2分，总计16分；填空题共8小题，每题2分，总计16分；解答题共12小题，总计68分。这样的结构既能保障对重要基础知识的覆盖，也能使不同层次的学生都能在卷面上得到体现。从难度上看，前8道选择题和填空题中的前4题，主要检测学生对基础概念、运算能力和简单几何知识的掌握；而后续填空和解答题逐步加大对学生思维深度、综合运用和数学建模能力的考查。就整体而言，试卷难度分配较为合理，易、中、难分布有梯度，符合北京市近几年强调“基础为主、适度综合”的命题思路。 再次，试题突出对学生逻辑思维、空间想象以及运算处理的综合考查。例如，选择题第8题通过反比例函数与矩形结合，考查空间想象、数形结合和方程思想；解答题第22题以京燕风筝的制作情境命题，兼顾北京地区文化与实践知识，能够引导学生关注民俗文化、激发学习兴趣。整套试卷对基础计算能力要求适中，没有出现过度繁琐的计算情形，但对关键环节的简化和转换仍需扎实掌握，如分式方程、二次根式的运算、三角函数与几何综合等，都体现了课程标准倡导的“过程性理解与应用”要求。 在知识点覆盖方面，本卷囊括了数与代数（如一次函数、二次方程、分式方程的应用等）、图形与几何（如相似三角形、勾股定理、圆与切线、矩形等）、统计与概率（如样本估计总体、方差和中位数等），与《义务教育数学课程标准（2022年版）》的主要内容领域契合度较高。对于北京市绝大多数初中学生而言，本卷能够本着“贴近学生实际、体现社会生活元素”的方式兼顾了地区学情、教情与校情，难度分层合理，充分考查了学生基础知识的掌握程度和综合运用能力。 总体来看，这份试卷保持了北京中考数学一贯的规范与稳健，注重对基础知识的全面覆盖，兼顾适当的思维深度和实践应用。它在计算量方面适度、有序，逻辑结构清晰，对学生的审题能力、数学表达能力以及运算细心程度都有一定要求。通过试卷，能更好地检测学生对数学主干知识的掌握深度，也能对培育学生创新思维与解决问题能力起到引导作用，较好地实现了对教学与学生综合数学素养考查的有效性。 在对比近两年北京市初中学业水平考试数学真题后发现，2025年试卷在大体结构上保持稳定： · 第一部分仍为8道选择题（共16分），题量与分值与往年一致； · 第二部分填空题8道（共16分），数量与往年相同； · 第三部分解答题12题（含作图、综合运算与证明，共68分），形式与前一年相同。 1. 情境素材更贴近实际 · 出现了关于“天问二号探测器”与近地小行星的话题，彰显时代特色，强调将数学知识应用于现实科学探索。 1. 综合几何考查更突出 · 多题中融合了函数、三角形、相似与几何变换等知识，要求学生在综合情境下灵活调度多种几何方法，注重对图形变换与函数性质的融会贯通。 1. 函数与统计的融合更显复杂 · 填空题与解答题中，考查了用样本数据估计总体、利用函数模型进行实际问题分析等，进一步提升了对学生数据分析能力和信息获取能力的要求。 1. 注重思维层次与沟通表达 · 部分大题不仅需要运算与证明，更要求过程条理与表达清晰，对学生的逻辑思维和语言表达提出了更高要求。 综合来看，虽然题型表面保持稳定，但在考查方向上更加重视对现实问题、数据分析、几何与代数的综合运用，促使学生在解题时更加注重数学模型的建构能力与多学科知识的交汇融通。 下面从整体结构、各题考查内容及难易程度来分析本套试卷。 本试卷共分为两大部分、三道大题，共8道小题，满分100分，考试时间120分钟。整体结构如下： 1. 第一部分（选择题）：第1～8题，共8题，每题2分，满分16分。 1. 第二部分（非选择题） · 填空题：第9～16题，共8题，每题2分，满分16分。 · 解答题：第17～28题，共12题，满分68分，其中： · 第17～19题，每题5分，共15分； · 第20题6分； · 第21题5分； · 第22题6分； · 第23题5分； · 第24题6分； · 第25题5分； · 第26题6分； · 第27～28题，每题7分，共14分。 下面的表格按题号顺序对每道题的分值、题型、考查内容和难易程度进行汇总。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 选择题 轴对称图形、中心对称图形的识别 较易 2 选择题 数轴上实数位置、绝对值、不等式判断 较易 3 选择题 多边形内角和、正多边形知识 较易 4 选择题 基本概率及其计算 较易 5 选择题 二次方程判别式、实数根的条件 较易 6 选择题 科学记数法表示大数 较易 7 选择题 几何作图思想、等边三角形判定 较易 8 选择题 反比例函数与几何性质综合 中等 9 填空题 二次根式有意义的条件、不等式求解 较易 10 填空题 因式分解（提公因式与平方差公式） 较易 11 填空题 分式方程的解及检验 较易 12 填空题 由样本估计总体、抽样方法及应用 较易 13 填空题 命题、反例证明命题为假 中等 14 填空题 几何角度、平行线与三角形内角和（地理背景：地轴与光线） 较易 15 填空题 正方形性质、直角三角形综合、三角函数 中等 16 填空题 简单分配方案与利润最大化（列表法、增量分析） 中等 17 解答题 特殊角三角函数值运算、绝对值与指数 较易 18 解答题 一元一次不等式组的解集 较易 19 解答题 分式化简求值、因式分解与替换 较易 20 解答题 矩形判定、三角形中位线、勾股定理及应用 中等 21 解答题 一次函数待定系数、函数不等式条件判断 中等 22 解答题 一元一次方程的应用（风筝骨架） 较难 23 解答题 数据统计与分析（平均数、中位数、方差、折线图） 中等 24 解答题 圆的切线、切线长定理、圆周角定理、相似三角形 中等 25 解答题 函数与实际应用（模拟练习与试制关系、表格、图象分析） 较难 26 解答题 二次函数待定系数、图象与性质、分类讨论 较难 27 解答题 旋转几何、全等三角形、平行四边形判定等综合 较难 28 解答题 新定义函数（关联点、关联角度）、圆与直线的综合问题 较难 · 难度比例 从题目难易度分布看，本试卷易、中、难题目大约占比为： · 易：约40%（如第1～7、9～12、14、17～19等）； · 中：约30%（如第8、13、15、16、20、21、23、24 等） · 难：约30%（如第 22、25、26、27、28 等）。 · 不同难度题目的典型特点 · 易（例如第1题和第2题）：考查内容基础、运算量小，注重对基础概念和基本技能的考查。 · 中（例如第20题）：往往需要多步推理或综合多种知识点，要求考生对概念的理解较为深入。 · 难（例如第27题和第28题）：一般涉及多知识点融合，往往需要构造辅助线或进行分类讨论，对逻辑思维和综合应用能力要求较高。 整体来看，试卷结构合理，考查全面，既突出对基础知识与基本技能的测验，也注重对综合能力与创新思维的考核，难度层级分配相对均衡，适合作为初中毕业升学的重要评价依据。 在备战2025年北京市初中学业水平考试数学科时，同学们需结合本试卷中呈现的知识重点和题型分布，进行有针对性的复习和训练。以下从知识板块、易错易混点、答题方法、心理调适以及命题趋势几方面，给出备考建议，帮助同学们在后续复习中更好地查漏补缺、稳步提升： · 基础知识阶段： · 代数部分：复习整式与分式、一次方程（组）、一次不等式（组）、二次方程和函数（包括一次函数与反比例函数）的基础概念，牢记运算规则与常用公式。例如，二次根式有意义需满足，反比例函数图象的对称中心和函数性质等。 · 几何部分：重点掌握三角形、四边形（尤其是矩形、正方形、平行四边形、菱形等）的性质与判定；圆及与切线、弦相关的定理；全等、相似三角形的判定和性质。记住常用定理和结论，如切线长定理、三角形中位线定理、圆周角定理等。 · 专题强化阶段： · 函数与图象：熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象形状及其几何意义，包括与坐标几何结合出现的面积、斜率、截距计算，灵活运用数形结合的思想。 · 平面几何综合：巩固与旋转、对称相关的几何问题；注重分类讨论与辅助线作图技巧；对涉及“平移、轴对称、中心对称”以及“几何位置与函数方程”相联系的试题要反复演练。 · 数据与统计：关注样本数据与总体估计，方差、极差、中位数、平均数的比较判定，能够运用统计思维解决简单的概率、抽样推断问题。 · 真题模拟阶段： · 将近几年的北京市中考真题与本份模拟试卷进行对比，梳理命题风格、难度分布；在保证基础题不失分的前提下，提高中档与压轴题的得分率。 · 做题时规范书写、合理安排时间，力求在120分钟内完成答卷并分配出检查时间。 · 代数运算与不等式： · 去分母过程易忽视分母不为零的检验，例如方程 · 在去分母前，要明确且。 · 解不等式组时，如若合并不当，会出现区间错误或遗漏边界。 · 几何证明思路： · 与旋转相关的题目常需重点关注角度和边的对应关系，例如证明平行四边形、矩形时，要结合旋转导致的对应边相等、对应角相等等信息。 · 切线长定理：若从圆外一点引圆的两条切线，切点为，则。许多同学在证明时容易只记结论，忘记加上圆外点到圆的两条切线长度相等的几何依据。 · 函数图象交点与面积： · 反比例函数与矩形、三角形面积综合时，常出现符号正负不一致的问题；一定要先明确自变量所在区间，以及图形在坐标系第一象限、第二象限等实际分布情况。 · 二次函数顶点与对称轴的理解要到位，判断开口方向时需要看二次项系数正负；进行“最大值或最小值”讨论时，要注意顶点在定义域内还是在定义域外。 · 统计与概率： · 样本与总体的关联：估计总体时，切记使用进行推断，不要直接套用错误比例。 · 方差、中位数等统计量易混，尤其是在比较多组选手成绩离散程度时，要严格区分“平均数”衡量稳定水平、“方差”比较波动大小。 · 选择题： · 学会快速排除：在遇到选项分布明显（如正负、几何位置等）时，可用数形结合或简单估算排除干扰项。 · 对于坐标位置或几何位置判定的选择题，可先快速画简图，避免纯粹文字分析带来失误。 · 填空题： · 要仔细审题，分析是不是需要检验（如分式方程的解可能是增根），或者是否需满足“”等限制；写答案时保持结果简洁且符号规范，如绝不可省略成1.4或其他近似。 · 注意单位换算、结果保留形式（例如用最简分数或根式表示），防止失分。 · 解答题： · 答题步骤要规范，特别是几何证明，需先“证”后“得出”结论，保证逻辑清楚；代数综合题也应先列方程或函数表达式，再做求解，结论处明确写出答案。 · 看清加括号、绝对值、指数等运算细节；在书写过程中的关键步骤，可适当添加简要文字说明，以方便自查和保证逻辑通顺。 · 心理调适： · 面对难题：先把自己熟悉、会做的题目完成，保证基本分数不丢。遇到卡壳时，不要急躁，可先在草稿纸做简单尝试或跳过此处，先把时间留给后面更有把握的题。 · 适度放松：中考前需通过适当的放松活动或体育锻炼减缓压力，考试前一晚保证足够睡眠，临场专注即可。 · 综合化与情境创新： · 数学试题越来越多地结合现实背景，例如第6题中关于天问二号探测器与月球远地点距离等，体现科学记数法与现实科技应用的结合。平时复习中要留意社会热点与数学知识的融合。 · 数据统计与概率问题经常运用真实调查场景或样本估计模式，需能灵活判定方差、平均数、频数分布等。 · 几何与函数联动： · 命题常将一次函数或反比例函数和几何图形相结合，考查三角形或矩形的面积，“几何+方程”是高频热点。建议在二次函数与圆、直线综合的题型上多下功夫，训练旋转、全等、相似等几何关系的转化与表达。 · 不同坐标象限下的函数值正负判定，配合长度、角度知识是可能的考查方向。 · 思维开放题： · 有些题目会要求在给定条件下进行多种情形的讨论或选优，体现数学思考的深度与灵活度。同学们平时要多积累分类讨论的思路，留意如何根据参数限制去划分情形。 · 复习重点： · 建议在最后阶段，仍需紧抓“三大板块”：代数运算与方程(组)、几何图形性质、函数综合与统计。巩固常考知识点（如一次函数、反比例函数、圆周角定理、相似三角形、切线长定理、概率统计等）。 · 针对容易忽视的细节如：二次根式的定义域、平方差公式正确运用、分式方程可能出现增根等，都要保持高度敏感。 通过上述分阶段、针对重点的复习规划，同学们不仅能强化对基础知识的理解与应用，更能在实践中体会到巧思妙解与思维升华。希望各位在接下来的备考中，稳扎稳打、坚持不懈，同时注意劳逸结合、调适心态，以最佳状态迎接即将到来的考试，拔得头筹、实现目标！祝大家备考顺利，加油！ 2025年北京市中考数学真题 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 3. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么△ABC为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴△ABC为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 方程解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 16. 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 23. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）长为44． 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【小问1详解】 证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． 【小问2详解】 延长交于点F，连接，则∠ADF=90°， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】（1）6 （2）；画图见解析 （3）①7；②1 【解析】 【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【小问1详解】 解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 【小问2详解】 解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： 【小问3详解】 解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 27. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； （2）已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$