第2章 对称图形——圆 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

88 第2章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题2分,共16分) 1. (吉林中考)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AB=5,BC=4.以点A 为圆心,r为半 径作圆,当点C 在☉A 内且点B 在☉A 外 时,r的值可能是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第1题 第2题 2. (河池中考)如图,AB 是☉O 的直径,PA 与 ☉O 相切于点A,∠ABC=25°,OC 的延长 线交PA 于点P,则∠P 的度数是 ( ) A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 3. (梧州中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆, 且AB=AC,∠BAC=36°,在AB ︵ 上取点D (不与点 A、B 重合),连接 BD、AD,则 ∠BAD+∠ABD 的度数是 ( ) A. 60° B. 62° C. 72° D. 73° 第3题 第4题 第5题 4. (荆门中考)如图,CD 是☉O的弦,直径AB⊥ CD,垂足为E.若AB=12,BE=3,则四边 形ACBD 的面积为 ( ) A. 363 B. 243 C. 183 D. 723 5. (包头中考)如图,AB、CD 是☉O 的两条直 径,E 是 BC ︵ 的 中 点,连 接 BC、DE.若 ∠ABC=22°,则∠CDE 的度数为 ( ) A. 22° B. 32° C. 34° D. 44° 6. (湘西中考)如图,PA、PB 为☉O 的切线,切 点分别为A、B,PO 交AB 于点C,PO 的延 长线交☉O 于点D.下列结论不一定成立 的是 ( ) A. △BPA 为等腰三角形 B. AB 与PD 相互垂直平分 C. 点A、B 都在以PO 为直径的圆上 D. PC 为△BPA 的边AB 上的中线 第6题 第7题 第8题 7. (十堰中考)如图,☉O 是等边三角形ABC 的外接圆,D 是AC ︵ 上一动点(不与点A、C 重合).有下列结论:① ∠ADB=∠BDC; ② DA=DC;③ 当DB 最长时,DB=2DC; ④ DA+DC=DB.其中,一定正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案讲解 8. (武汉中考)如图,在四边形材料 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°, AD=9cm,AB=20cm,BC= 24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆 形模板,则此圆的半径是 ( ) A. 110 13cm B. 8cm C. 62cm D. 10cm 二、 填空题(每小题2分,共16分) 9. 已知☉O的直径是4,圆心O到直线a的距离 是3,则直线a和☉O的位置关系是 . 第10题 10. (资阳中考)如图,△ABC 内 接于☉O,AB 是直径,过点 A 作☉O 的 切 线 AD.若 ∠B=35°,则∠DAC 的度 数是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 89 11. 如图,△ABC 是☉O 的内接三角形.若 ∠ABC=45°,AC= 2,则☉O 的面积是 . 第11题 第13题 12. (牡丹江中考)☉O 的直径CD=10,AB 是 ☉O 的弦,AB⊥CD,垂足为M.若OM∶ OC=3∶5,则AC 的长为 . 13. 如图,O 为线段BC 的中点,点A、C、D 到 点O 的 距 离 相 等.若∠ABC=40°,则 ∠ADC 的度数是 . 14. 如图,正方形ABCD 的边长为4cm,以正 方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内 作半圆O,过点A 作半圆的切线,与半圆相 切于点F,与CD 相交于点E,则△ADE 的 面积为 cm2. 第14题 第15题 答案讲解 15. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3, BC=4,P 是边BC 上一动点(不 与点B、C 重合),连接AP,作点 B 关于直线AP 的对称点M,连接MC,则 线段MC 长的最小值为 . 第16题 16. (宜宾中考)我国古代数学家赵 爽的“弦图”是由四个全等的直 角三角形和一个小正方形拼成 的一个大正方形(如图).若直角 三角形的内切圆的半径为3,小正方形的面 积为49,则大正方形的面积为 . 三、 解答题(共68分) 17. (5分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A= 40°,以点B 为圆心,BC 长为半径的圆交 AB 于点D,交AC 于点E,求DE ︵ 的度数. 第17题 18. (5分)如图,在四边形ABCD 中,∠A= 90°,AB=53,BC=8,CD=6,AD=5,试 判断点A、B、C、D 是否在同一个圆上,并 证明你的结论. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 90 19. (6分)(盐城中考)求证:垂直于弦AB 的直 径CD 平分弦以及弦所对的两条弧. 20. (6分)如图,在残破的圆形轮片上,弦AB 的垂直平分线交AB ︵ 于点C,交弦AB 于点 D,AB=24cm,CD=8cm. (1) 求作此残片所在的圆(不写作法,保留 作图痕迹); (2) 求残片所在圆的半径. 第20题 21. (8分)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 是☉O 的直径,点D 在☉O 上,AC=CD, 连接AD,连接DB 并延长,交过点C 的切 线于点E.求证: (1) ∠ABC=∠CAD; (2) BE⊥CE. 第21题 22. (8分)如图,PA、PB 分别与☉O 相切于点 A、B,∠P=84°,AE 为☉O 的直径,C 为 ☉O 上一点,AE 与BC 相交于点D,且 AB=AD,求∠EAC 的度数. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 91 23. (10分)如图,☉O 与△ABC 的边AC 相切 于点C,与边BC 交于点E,☉O 过AB 上 一点D,且DE∥AO,CE 是☉O 的直径. (1) 求证:AB 是☉O 的切线; (2) 若BD=4,OC=OE=3,求BE 和AC 的长. 第23题 24. (10分)如图,直线PA 交☉O 于A、B 两 点,AE 是☉O 的直径,C 为☉O 上的一点, 过点C 的切线CD⊥PB,垂足为 D,连 接AC. (1) 求证:AC 平分∠PAE; (2) 若DC+DA=6,☉O 的直径为10,求 AB 的长. 第24题 答案讲解 25. (10分)某数学活动小组在一次活 动中对一个数学问题进行如下 探究: (1) 问题探究:如图①,AD、BD 为☉O 的 两条弦(AD<BD),C 为AB ︵ 的中点,过点 C 作CE⊥BD,垂足为 E.求证:BE= DE+AD. 小明同学的思路如下:如图②,在BE 上截 取BF=AD,连接CA、CB、CD、CF.请你 按照小明的思路完成上述问题的证明 过程. (2) 结论运用:如图③,△ABC 是☉O 的内 接等边三角形,D 是AB ︵ 上一点,∠ACD= 45°,连接BD.过点A 作AE⊥CD,垂足为 E.若AB=62,求△BCD 的周长. (3) 变式探究:如图④,若将(1)中“C 为AB ︵ 的中点”改为“C 为ACB ︵ 的中点”,其他条 件不变,请写出BE、AD、DE 之间的等量 关系,并加以证明. 第25题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 31 11. (1) 如图,连接OP.∵ PA、PC分别与☉O 相切于点 A、C,∴ PA=PC,OA⊥PA,OC⊥PC.在Rt△OPA 和 Rt△OPC 中, OP=OP, OA=OC, ∴ Rt△OPA ≌Rt△OPC. ∴ ∠AOP=∠COP.∵ PQ⊥PA,OA⊥PA,∴ PQ∥ AB.∴ ∠QPO=∠AOP.∴ ∠QOP=∠QPO.∴ OQ= PQ.(2) 设OA=r,则PA=PC=AB=2r.∵ OB=OC, ∴ ∠B= ∠OCB.∵ OB ∥QD,∴ ∠QDC = ∠B. ∵ ∠OCB=∠QCD,∴ ∠QCD=∠QDC.∴ QC=QD= 6.∵ QO=QP,∴ 易得OC=DP=r.∵ PC 是☉O 的切 线,∴ OC⊥PC.∴ ∠OCP=∠PCQ=90°.在Rt△PCQ 中,∵ PQ2=PC2+QC2,∴ (6+r)2=(2r)2+62,解得 r1=4,r2=0(不合题意,舍去).∴ PC=8.∴ OP= 42+82=45.∵ OB=OC=PD,OB∥PD,∴ 四边形 OBDP 是平行四边形.∴ BD=OP=45. 第11题 第2章预学检测 一、 1. C 2. C 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 二、 9. 相离 10. 35° 11. π 12. 45或25 13. 140° 14. 6 15. 2 16. 289 三、 17. 连接BE.∵ AB=AC,∠A=40°,∴ ∠ABC= ∠C=12 (180°-∠A)=12× (180°-40°)=70°.∵ BE= BC,∴ ∠BEC=∠C=70°.由题意,易得∠BEC=∠A+ ∠ABE,∴ ∠ABE=70°-40°=30°.∴ DE︵ 的度数为30°. 18. 点A、B、C、D 在同一个圆上.连接BD,取BD 的中点 O,连接OA、OC.在Rt△ABD 中,BD2=AB2+AD2= (53)2+52=100.∵ BC=8,CD=6,∴ BC2+CD2= 82+62=100.∴ BC2+CD2=BD2.∴ △BCD 是直角三 角形,∠BCD=90°.∵ O 为BD 的中点,∴ OB=OD= OC= 12BD. 同 理,可 得 OA=OB=OD= 12BD. ∴ OA=OB=OC=OD.∴ 点A、B、C、D 在同一个圆上. 19. 如图,CD 是☉O 的直径,AB 是☉O 的弦,AB⊥CD, 垂足为 M.求证:AM=BM,AC︵=BC︵,AD︵=BD︵.连接 OA、OB.∵ OA=OB,AB⊥CD,∴ AM=BM,∠AOC= ∠BOC.∴ AC︵=BC︵,∠AOD=∠BOD.∴ AD︵=BD︵. 第19题 20. (1) 如图,☉O 就是所要求作的圆.(2) 连接OA.设 OA=xcm,则OD=(x-8)cm.∵ CD 是弦AB 的垂直平 分线,∴ AD=12AB= 1 2×24=12 (cm),∠ADO= 90°.∴ OA2=AD2+OD2.∴ x2=122+(x-8)2,解得 x=13.∴ 残片所在圆的半径为13cm. 第20题 21. (1) ∵ AC=CD,∴ ∠CAD=∠ADC.∵ ∠ABC= ∠ADC,∴ ∠ABC=∠CAD.(2) 连接OC.∵ CE 与☉O 相切于点C,∴ ∠OCE=90°.∵ 四边形ADBC 是圆内接 四边形,∴ ∠CAD+∠DBC=180°.又∵ ∠DBC+ ∠CBE=180°,∴ ∠CAD=∠CBE.由(1),知∠ABC= ∠CAD,∴ ∠CBE=∠ABC.∵ OC=OB,∴ ∠OCB= ∠ABC.∴ ∠OCB=∠CBE.∴ OC∥BE.∴ ∠E= 180°-∠OCE=90°.∴ BE⊥CE. 22. 如图,连接 OB、CE.∵ PA、PB 是☉O 的切线, ∴ OA⊥PA,OB⊥PB.∴ ∠OAP = ∠OBP =90°. ∴ ∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°- 90°-90°-84°=96°.∴ ∠ACB=12∠AOB=48°.∵ AE 为☉O 的 直 径,∴ ∠ACE =90°.∵ ∠ACB =48°, ∴ ∠BCE=90°-48°=42°.∵ ∠BAE = ∠BCE, ∴ ∠BAE=42°.∵ AB=AD,∴ ∠ABD=∠ADB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 1 2 (180°-∠BAE)=69°.∴ 易得∠EAC=∠ADB- ∠ACB=21°. 第22题 23. (1) 连接OD.∵ OD=OE,∴ ∠ODE=∠OED. ∵ DE∥AO,∴ ∠ODE=∠AOD,∠OED=∠AOC. ∴ ∠AOD=∠AOC.∵ AC 是☉O 的切线,∴ AC⊥ OC.∴ ∠ACB = 90°.在 △AOD 和 △AOC 中, OD=OC, ∠AOD=∠AOC, OA=OA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOD≌△AOC.∴ ∠ADO= ∠ACO=90°.∴ OD⊥AB.∵ 点D 在☉O 上,∴ AB 是 ☉O 的切线.(2) ∵ OD⊥AB,∴ ∠BDO=90°.∵ BD= 4,OD=OE=3,∴ OB= BD2+OD2 =5.∴ BE= OB-OE=2.∴ BC=BE+OE+OC=8.∵ AD、AC 是 ☉O 的切线,∴ AD=AC.设AD=AC=x.∵ ∠ACB= 90°,∴ 由勾股定理,得AB2=AC2+BC2.∴ (4+x)2= x2+82,解得x=6.∴ AC=6. 24. (1) 如图,连接 OC.∵ OA=OC,∴ ∠ACO= ∠OAC.∵ CD 是☉O 的切线,∴ OC⊥CD.又∵ CD⊥ PB,∴ AB∥OC.∴ ∠DAC=∠ACO.∴ ∠DAC= ∠OAC.∴ AC 平分∠PAE.(2) 如图,过点O 作OF⊥ AB,垂足为F.∴ ∠OFD=90°.∵ OC⊥CD,CD⊥PB, ∴ ∠OCD=∠CDF=90°.∴ 四边形 DCOF 为矩形. ∴ OC=FD,OF=CD.设 DA=x.∵ DC+DA=6, ∴ OF=CD=6-x.∵ ☉O 的直径为10,∴ DF=OC= OA=5.∴ AF=5-x.在Rt△AOF 中,由勾股定理,得 AF2+OF2=OA2,∴ (5-x)2+(6-x)2=25,解得x1= 2,x2=9.∵ CD=6-x>0,即x<6,∴ x=2,即AD= 2.∴ AF=5-2=3.∵ OF⊥AB,∴ AB=2AF=6. 第24题 25. (1) ∵ C 为AB︵ 的中点,∴ AC︵=BC︵.∴ AC= BC.∵ CD︵=CD︵,∴ ∠DAC=∠FBC.在△DAC 和 △FBC 中, AD=BF, ∠DAC=∠FBC, AC=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAC ≌ △FBC. ∴ CD=CF.又∵ CE⊥BD,∴ DE=EF.∴ BE=EF+ BF=DE+AD.(2) 如图①,连接AD,在CE 上截取 CF=BD,连接 AF,同(1)中的方法,可得△DAB≌ △FAC,∴ AD =AF.∵ AE⊥CD,∴ DE =EF. ∴ EC=EF+CF=DE+BD.∴ 易得 DB+DC= 2EC.∵ AE⊥CD,∴ ∠AEC=90°.∵ ∠ACE=45°, ∴ 易得∠EAC=45°.∴ ∠EAC=∠ACE.∴ EA= EC.∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC=BC=AB= 62.设EA=EC=x.在Rt△AEC 中,由勾股定理,得 AE2+EC2=AC2,即x2+x2=(62)2,解得x=6(负值 舍去).∴ EC=6.∴ △BCD 的周长为DB+DC+BC= 2×6+62=12+62.(3) DE=AD+BE.如图②,在线 段DE 上截取DF=AD,连接CB、CF、CD、CA.∵ C 为 ACB︵ 的 中 点,∴ AC︵ =BC︵.∴ CA=CB,∠ADC= ∠BDC.在 △ADC 和 △FDC 中, DA=DF, ∠ADC=∠FDC, DC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△FDC.∴ CA=CF.∵ CA=CB,∴ CF= CB.又∵ CE⊥BD,∴ BE=EF.∴ DE=DF+EF= AD+BE. 第25题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈