专题02 2.1-2.4圆及其有关性质（六大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题02 2.1-.24圆及其有关性质（六大模块） 目录： 模块1：圆的有关概念 模块2：垂径定理 模块3：圆心角 模块4：三角形的外接圆 模块5：圆周角定理 模块6：解答综合题 模块1：圆的有关概念 1．下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 2．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 5．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 模块2：垂径定理 6．下列四个命题中，真命题是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弧的直径经过圆心 C．平分弦的直线垂直于弦 D．垂直于半径的弦过圆心 7．如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（   ） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 10．如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（    ）    A．4 B．5 C．6 D． 模块3：圆心角 11．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 12．如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 13．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（　　） A．9 B． C． D． 15．如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 模块4：三角形的外接圆 16．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．下列语句中，正确的是（    ） A．同一平面上的三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．菱形的四个顶点在同一圆上 18．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 19．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 模块5：圆周角定理 21．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 24．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．如图，为的的两条直径，点E为弧的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，四边形内接于，连接对角线与交于点，且为的直径，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 27．如图，已知四边形，过A，B，C的圆交于点E，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，是的直径，点C为弧上一点，连接并延长交的延长线于点E，若D是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 模块6：解答综合题 30．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 31．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知，，．    (1)在图中画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)点M的坐标为______； (3)若平面内有一点，判断点D与的位置关系． 33．如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，，的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)已知，，求的半径长． 34．（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 35．[学习心得] （）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决 例如：如图，在中，，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则两点必在上，则_______． [初步运用] （）如图，在四边形中，，，则_______； [方法迁移] （）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）： [问题拓展] （）如图，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_______． 如图，在中，，且，，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 2.1-.24圆及其有关性质（六大模块） 目录： 模块1：圆的有关概念 模块2：垂径定理 模块3：圆心角 模块4：三角形的外接圆 模块5：圆周角定理 模块6：解答综合题 模块1：圆的有关概念 1．下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B 【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可．熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 【解析】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误； 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误． 故选：B． 2．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【解析】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 3．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，连接，先证明，则，即可利用三角形外角的性质得到，由，可得，再由三角形外角的性质可得，即，由此即可打得到答案． 【解析】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A．    4．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案． 【解析】解：如图： ，的半径是2， ， ，， A、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意； B、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意； C、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意； D、当时，在内正确，故本选项不合题意； 故选：C． 5．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【解析】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 模块2：垂径定理 6．下列四个命题中，真命题是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弧的直径经过圆心 C．平分弦的直线垂直于弦 D．垂直于半径的弦过圆心 【答案】B 【分析】本题主要考查的命题的真假判断，根据垂径定理及其推论判断即可． 【解析】解：A．垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直线不一定平分弦，故为假命题，故该选项不符合题意； B．平分弧的直径经过圆心， 是真命题，故该选项符合题意； C．平分弦的直线不一定垂直于弦，故原命题为假命题，故该选项不符合题意； D．垂直于半径的弦不一定过圆心，故原命题为假命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 7．如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【解析】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C 8．如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 已知：，在中，，利用勾股定理得到，所以． 【解析】解：， 半径于点， 在中，， ， ， 故选D． 9．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（   ） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【解析】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：D 10．如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（    ）    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主题考查了垂径定理，勾股定理，过点于点，连接，利用垂径定理可得，在中，， 再在中，，问题得解． 【解析】解：过点于点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 模块3：圆心角 11．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【解析】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 12．如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【解析】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 13．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 14．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质、灵活利用方程思想是解题关键，先利用垂径定理得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， 设，则有， ， ， 在中，， ∴． 故选：D． 15．如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断、选项，根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断选项，可利用垂径定理及全等三角形的性质判断；要判断选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键． 【解析】解：由题意在中，，，， ∴根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”可得：，，， ∴、、正确，错误， 故选：． 模块4：三角形的外接圆 16．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【解析】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 17．下列语句中，正确的是（    ） A．同一平面上的三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．菱形的四个顶点在同一圆上 【答案】C 【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【解析】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确； ∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，C选项正确； ∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于，故D选项不正确， 故选：C． 18．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【解析】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 19．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【解析】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 20．如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键． 【解析】解：连接，如图所示： 在中，点是斜边的中点， ， 点是的外心， 四边形是正方形， ， ， 点是的外心，点是的外心， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 点不是的外心， 故选：C． 模块5：圆周角定理 21．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【解析】解：， ， ． 故选：D． 22．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【解析】解：∵如图：， ∴， 故选：D． 23．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再求得，利用圆周角定理求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据，则可得出，代入计算即可． 【解析】解：∵，， ∴， 故选：C． 25．如图，为的的两条直径，点E为弧的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，在根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质求出，由三角形内角和定理求出，根据点E为弧的中点，求出，由圆周角定理即可求解． 【解析】解：连接， ，， ， ， ， ， 点E为弧的中点， ， ， 故选：C． 26．如图，四边形内接于，连接对角线与交于点，且为的直径，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，由同弧所对的圆周角相等得，根据三角形内角和定理可得，即可解答．掌握直径所对的圆周角为、直角三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵和所对的弧是，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 27．如图，已知四边形，过A，B，C的圆交于点E，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，以及四边形内角和，利用圆内接四边形对角互补和圆周角定理是解题的关键．设圆心为，连接，，根据圆周角定理，得，根据圆内接四边形对角互补，得到，分别在四边形、中，利用四边形内角和为，即可求解． 【解析】解：如图，设圆心为，连接，， 四边形内接于，， ，， 在四边形中，， 在四边形中，． 故选：B． 28．如图，是的直径，点C为弧上一点，连接并延长交的延长线于点E，若D是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接由圆周角定理得由为中点得得是等边三角形，得 由可得结论. 【解析】解：连接如图， ∴ ∵ ∴ ∵为的中点， ∴ ∴ 又 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选：B. 29．如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答； 【解析】∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， ， 过点作， 则， ， ， 连接，过点作， 则， ， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 模块6：解答综合题 30．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【解析】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 31．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知，，．    (1)在图中画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)点M的坐标为______； (3)若平面内有一点，判断点D与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点D在内． 【分析】（1）由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为点M； （2）根据图形即可得出点M的坐标； （3）用两点间距离公式求出圆的半径和的长，当小于圆的半径时点D在圆内． 【解析】（1）解：如图，点M就是要找的圆心； ； （2）解：圆心M的坐标为． 故答案为：； （3）解：圆的半径，， ∵， ∴， ∴点D在内． 【点睛】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，坐标与图形性质，解题关键是熟记相关定义． 33．如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，，的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)已知，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长是5 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，垂直于弦的直径平分弦，以及正确作出辅助线，构造直角三角形建立方程求解． （1）连接，易得，则，根据题意可得，则，根据，即可求证； （2）连接，设圆的半径是r，则，，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求解即可； 【解析】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，设圆的半径是r，    ∵， ∴，， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴的半径长是5； 34．（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 【答案】（1）①； ；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可； （2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解析】解：（1）①∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵弦垂直平分半径，， ∴． ∵，即， 解得， ∴． 35．[学习心得] （）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决 例如：如图，在中，，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则两点必在上，则_______． [初步运用] （）如图，在四边形中，，，则_______； [方法迁移] （）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）： [问题拓展] （）如图，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_______． 如图，在中，，且，，求． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）；． 【分析】（）由圆周角定理可得出答案； （）取的中点，连接，由直角三角形的性质证明点共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （）在上截取，连接 ，以为直径，由图形可知 ，由勾股定理求出和 的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作 于点，作于点，连接，由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【解析】解：（）∵是的圆心角，是的圆周角，， ∴； 故答案为：； （）如图，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）作图如下： 由图知，，同理． （）在上截取，连接，交于，连接，过作的切线交于，交于， ∵， ∴， ∴的半径为，即， ∵， ∴， ∴， ∴，﹣4， ∴ ∵满足的点恰好有两个， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于，作OF⊥AD于点F，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，为圆心， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$