2.5 直线与圆的位置关系4-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

30 ∠CAD,∠ABI = ∠CBI.∵ ∠CBD = ∠CAD, ∴ ∠BAD=∠CBD.由题意,易得∠BID=∠ABI+ ∠BAD,∠IBD = ∠CBI + ∠CBD,∴ ∠BID = ∠IBD.∴ ID=BD.∵ ∠BAD=∠CAD,∴ BD︵= CD︵.∴ BD=CD.∴ BD=ID=CD. 17. 如图,连接OB、OD、IB、ID.∵ 点O 与点I关于直线 BD 对称,∴ BO=BI,DO=DI.∵ BO=DO,∴ BO= BI=DO=DI.∴ 四边形BIDO 是菱形.∴ ∠OBD= ∠ODB=∠IBD=∠IDB.∵ 点I 是△BCD 的内心, ∴ ∠IBD= ∠IBC,∠IDB = ∠IDC.∴ ∠OBD = ∠ODB = ∠IBD = ∠IDB = ∠IBC = ∠IDC.设 ∠OBD=∠ODB=∠IBD=∠IDB=∠IBC=∠IDC= x.∵ ∠C+4x=180°,∠BOD+2x=180°,∴ ∠C= 180°-4x,∠BOD=180°-2x.∵ ∠A=12∠BOD= 1 2 (180°-2x)=90°-x,∠A+∠C=180°,∴ 90°-x+ 180°-4x=180°,解得x=18°.∴ ∠A=90°-18°=72°. 第17题 2.5 直线与圆的位置关系4 知识梳理 1. 线段的长 2. 相等 典例演练 典例 如 图,连 接 OE、OF,设☉O 的 半 径 为r.在 Rt△ABC 中,由 勾 股 定 理,得 AB = 32+42 =5. (1) ∵ ☉O 为△ABC 的内切圆,切点分别为D、E、F, ∴ OE⊥AC,OF⊥BC,CE=CF,AE=AD,BF=BD. ∴ ∠C=∠OEF=∠OFE=90°.∴ 四边形OECF 是矩 形.又∵ OE=OF,∴ 四边形OECF 为正方形.∴ CE= CF=OE=r.∴ AD=AE=3-r,BD=BF=4-r. ∵ AD+BD=AB,∴ 3-r+4-r=5,解得r=1,即 △ABC的内切圆半径为1.(2) ∵ ☉O 为△ABC 的内切 圆,切点分别为D、E、F,∴ AE=AD=5,BF=BD= 7.∴ AC=5+r,BC=7+r.在Rt△ABC 中,由勾股定 理,得(5+r)2+(7+r)2=(5+7)2,解得r1= 71-6, r2=- 71-6(不合题意,舍去).∴ AC= 71-1, BC= 71+1.∴ S△ABC= 1 2× ( 71-1)×( 71+ 1)=35. 典例图 预学训练 1. C 2. A 3. C 4. D 5. 66° 6. 219 7. 2 8. 14 9. 设AF=x.∵ ☉O 是△ABC 的内切圆,∴ AD=x, BD=BE=9-x,CE=CF=6-x.∵ BE+CE=BC, ∴ 9-x+6-x=5,解得x=5,即AF 的长为5. 10. (1) ∵ PA、PB、CD 分别切☉O 于点A、B、E, ∴ PA=PB,AC=CE,ED=BD.∵ △PCD 的周长为 10,∴ PC+CD+PD=10.∴ PC+CE+ED+PD= PC+AC+BD+PD=PA+PB=2PA=10.∴ PA= 5.(2) 如图,连接OA、OB、OE.∵ PA、PB、CD 分别切 ☉O 于点A、B、E,∴ AC=EC,OA⊥PA,OB⊥PB, OE⊥CD.∴ ∠OAC = ∠OEC = ∠OBP =90°.在 Rt△OAC 和 Rt△OEC 中, OC=OC, AC=EC, ∴ Rt△OAC≌ Rt△OEC.∴ ∠AOC=∠EOC.同理,可 得∠BOD= ∠EOD.∴ ∠COD = ∠EOC+ ∠EOD = 12 ∠AOB. ∵ ∠P=54°,∴ ∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP- ∠P=360°-90°-90°-54°=126°.∴ ∠COD=12× 126°=63°. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 11. (1) 如图,连接OP.∵ PA、PC分别与☉O 相切于点 A、C,∴ PA=PC,OA⊥PA,OC⊥PC.在Rt△OPA 和 Rt△OPC 中, OP=OP, OA=OC, ∴ Rt△OPA ≌Rt△OPC. ∴ ∠AOP=∠COP.∵ PQ⊥PA,OA⊥PA,∴ PQ∥ AB.∴ ∠QPO=∠AOP.∴ ∠QOP=∠QPO.∴ OQ= PQ.(2) 设OA=r,则PA=PC=AB=2r.∵ OB=OC, ∴ ∠B= ∠OCB.∵ OB ∥QD,∴ ∠QDC = ∠B. ∵ ∠OCB=∠QCD,∴ ∠QCD=∠QDC.∴ QC=QD= 6.∵ QO=QP,∴ 易得OC=DP=r.∵ PC 是☉O 的切 线,∴ OC⊥PC.∴ ∠OCP=∠PCQ=90°.在Rt△PCQ 中,∵ PQ2=PC2+QC2,∴ (6+r)2=(2r)2+62,解得 r1=4,r2=0(不合题意,舍去).∴ PC=8.∴ OP= 42+82=45.∵ OB=OC=PD,OB∥PD,∴ 四边形 OBDP 是平行四边形.∴ BD=OP=45. 第11题 第2章预学检测 一、 1. C 2. C 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 二、 9. 相离 10. 35° 11. π 12. 45或25 13. 140° 14. 6 15. 2 16. 289 三、 17. 连接BE.∵ AB=AC,∠A=40°,∴ ∠ABC= ∠C=12 (180°-∠A)=12× (180°-40°)=70°.∵ BE= BC,∴ ∠BEC=∠C=70°.由题意,易得∠BEC=∠A+ ∠ABE,∴ ∠ABE=70°-40°=30°.∴ DE︵ 的度数为30°. 18. 点A、B、C、D 在同一个圆上.连接BD,取BD 的中点 O,连接OA、OC.在Rt△ABD 中,BD2=AB2+AD2= (53)2+52=100.∵ BC=8,CD=6,∴ BC2+CD2= 82+62=100.∴ BC2+CD2=BD2.∴ △BCD 是直角三 角形,∠BCD=90°.∵ O 为BD 的中点,∴ OB=OD= OC= 12BD. 同 理,可 得 OA=OB=OD= 12BD. ∴ OA=OB=OC=OD.∴ 点A、B、C、D 在同一个圆上. 19. 如图,CD 是☉O 的直径,AB 是☉O 的弦,AB⊥CD, 垂足为 M.求证:AM=BM,AC︵=BC︵,AD︵=BD︵.连接 OA、OB.∵ OA=OB,AB⊥CD,∴ AM=BM,∠AOC= ∠BOC.∴ AC︵=BC︵,∠AOD=∠BOD.∴ AD︵=BD︵. 第19题 20. (1) 如图,☉O 就是所要求作的圆.(2) 连接OA.设 OA=xcm,则OD=(x-8)cm.∵ CD 是弦AB 的垂直平 分线,∴ AD=12AB= 1 2×24=12 (cm),∠ADO= 90°.∴ OA2=AD2+OD2.∴ x2=122+(x-8)2,解得 x=13.∴ 残片所在圆的半径为13cm. 第20题 21. (1) ∵ AC=CD,∴ ∠CAD=∠ADC.∵ ∠ABC= ∠ADC,∴ ∠ABC=∠CAD.(2) 连接OC.∵ CE 与☉O 相切于点C,∴ ∠OCE=90°.∵ 四边形ADBC 是圆内接 四边形,∴ ∠CAD+∠DBC=180°.又∵ ∠DBC+ ∠CBE=180°,∴ ∠CAD=∠CBE.由(1),知∠ABC= ∠CAD,∴ ∠CBE=∠ABC.∵ OC=OB,∴ ∠OCB= ∠ABC.∴ ∠OCB=∠CBE.∴ OC∥BE.∴ ∠E= 180°-∠OCE=90°.∴ BE⊥CE. 22. 如图,连接 OB、CE.∵ PA、PB 是☉O 的切线, ∴ OA⊥PA,OB⊥PB.∴ ∠OAP = ∠OBP =90°. ∴ ∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°- 90°-90°-84°=96°.∴ ∠ACB=12∠AOB=48°.∵ AE 为☉O 的 直 径,∴ ∠ACE =90°.∵ ∠ACB =48°, ∴ ∠BCE=90°-48°=42°.∵ ∠BAE = ∠BCE, ∴ ∠BAE=42°.∵ AB=AD,∴ ∠ABD=∠ADB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 86 2.5　直线与圆的位置关系4 1. 在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点 之间的 ,叫做这点到圆的切线长. 2. 过 圆 外 一 点 所 画 的 圆 的 两 条 切 线 长 . 􀥈 􀥈 􀥈 典例 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,☉O 为 △ABC 的内切圆,切点分别为D、E、F. (1) 若AC=3,BC=4,求△ABC 的内切圆 半径; (2) 当AD=5,BD=7时,求△ABC 的面积. 典例图 连接OE、OF,设☉O 的半径为r.证明 四边形OECF 是正方形.(1) 利用切线长定理 求解;(2) 在Rt△ABC 中利用切线长定理及勾 股定 理 求 出r 的 值,从 而 可 求 出△ABC 的 面积. 解答: 解有所悟:(1) 直角三角形的内切圆的圆心、两直角 边的切点及直角顶点构成的四边形是正方形; (2) 有时候利用切线长定理求直角三角形的内切 圆半径比较简便. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,PA、PB 分别切☉O 于A、B 两点, ∠P=40°,则∠C 的度数为 ( ) A. 40° B. 140° C. 70° D. 80° 第1题 第2题 2. 如图,☉O 是△ABC 的内切圆,D、E 分别为 边AB、AC上的点,且DE 为☉O 的切线.若 △ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE 的周长是 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 16 3. (永州中考)如图,PA、PB 是☉O 的两条切 线,A、B 为切点,线段OP 交☉O 于点M.给 出下列说法:① PA=PB;② OP⊥AB; ③ 四边形OAPB 有外接圆;④ M 是△AOP 外接圆的圆心.其中,正确的个数是 ( ) 第3题 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,则这个三 角形的内切圆的半径是 ( ) A. 5 B. 2 C. 5或2 D. 2或7-1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 87 5. 如图,AB 是☉O 的直径,C 为☉O 外的一 点,CA、CD 是☉O 的切线,A、D 为切点,连 接BD、AD.若∠ACD=48°,则∠DBA 的 度数是 . 第5题 第6题 6. 如图,PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为切点, 点C、D 在☉O 上.若∠P=102°,则∠A+ ∠C= °. 答案讲解 7. 如图,☉O 与△ABC 中AB、AC 的 延长线及边BC 相切,且∠ACB= 90°,∠A、∠ABC、∠ACB 所对的 边长 依 次 为 3、4、5,则 ☉O 的 半 径 是 . 第7题 第8题 8. 如图,以正方形ABCD 的边AB 为直径作半 圆O,过点C 作直线切半圆于点F,交边AD 于点E.若△CDE 的周长为12,则四边形 ABCE 的周长为 . 9. 如图,△ABC 的三边长分别为AB=9,BC= 5,AC=6,△ABC 的内切圆☉O 切AB、BC、 AC 于点D、E、F,求AF 的长. 第9题 答案讲解 10. 如图,PA、PB、CD 分别切☉O 于 点A、B、E. (1) 若△PCD 的周长10,求PA 的长; (2) 若∠P=54°,求∠COD 的度数. 第10题 [综合提升] 答案讲解 11. 如图,AB 为☉O 的直径,PA、PC 分别与☉O 相切于点A、C,PQ⊥ PA 交OC 的延长线于点Q. (1) 求证:OQ=PQ; (2) 连接BC 并延长,交PQ 于点D,若 PA=AB,QC=6,求BD 的长. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备