2.5 直线与圆的位置关系3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

83 2.5　直线与圆的位置关系3 1. 与三角形各边都 的圆叫做三角形 的内切圆,这个三角形叫做圆的 三 角形. 2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的 , 它是三角形 的交点,到三角 形的 的距离相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,点O 是△ABC 的内切圆的圆心, ∠OAC=40°,求∠BOC 的度数. 典例1图 由内心可得三角形的角平分线,利用三角 形的内角和定理求解. 解答: 解有所悟:内心与三角形顶点的连线平分该三角形 对应的内角. 典例2 如图,一块等腰三角形钢板的底边长为 80cm,腰长为50cm.用直尺和圆规作出从这块 钢板上截得的最大圆,并求最大圆的半径. 典例2图 最大圆就是△ABC 的内切圆,用面积法 求内切圆的半径. 解答: 解有所悟:连接内心与三角形的三个顶点,利用面 积法求三角形内切圆的半径. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 有下列说法:① 任何一个三角形都有一个内 切圆;② 一个圆只有一个外切三角形;③ 内 心是三角形三条角平分线的交点;④ 内心到 三角形三个顶点的距离相等;⑤ 钝角三角形 的内心在三角形外.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第2题 2. (金华中考)如图,☉O 是等边 三角形ABC 的内切圆,分别 切AB、BC、AC 于点E、F、 D,P 是 DF ︵ 上 的 一 点,则 ∠EPF 的度数是 ( ) A. 65° B. 60° C. 58° D. 50° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 84 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠ABC=70°, 点O 是△ABC 的内心,则∠BOC 的度数为 ( ) A. 120° B. 110° C. 115° D. 130° 第3题 第4题 4. 如图,点E 是△ABC 的内心,AE 的延长线 和△ABC 的外接圆相交于点D,连接BD、 BE、CE.若∠CBD=25°,则∠BEC 的度 数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 115° D. 120° 5. 如图,在正方形ABCD 中,E 是对角线BD 上一点(不与点B 重合).若点O 是△BEC 的内心,则∠COE 的度数 ( ) A. 为定值,等于112.5° B. 不确定,可以等于90° C. 为定值,等于127.5° D. 不确定,随着点E 的变化而变化 第5题 第6题 6. 如图,在△ABC 中,∠B=∠ACB=40°,点 D 在线段BC 上(不与点B、C 重合).若点O 为△ADC 的内心,则∠AOC 的度数不可 能是 ( ) A. 100° B. 120° C. 140° D. 150° 7. 如图,等边三角形ABC 的内切圆☉O 的半 径为3,则AB 的长为 ( ) 第7题 A. 33 B. 35 C. 63 D. 65 8. 已知一个三角形的周长为12,面积为6,则该 三角形的内切圆的半径为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图,点O 是△ABC 的内心,OD⊥BC 于点 D,OD =2.若 △ABC 的 周 长 为 12,则 △ABC 的面积是 ( ) A. 12 B. 24 C. 6 D. 3 第9题 第10题 第11题 10. 如图,点O 是△ABC 的内心,也是△DBC 的外心.若∠A=84°,则∠D 的度数为 ( ) A. 42° B. 66° C. 76° D. 82° 11. 如图,点E 为△ABC 的内心,且EF⊥BC 于点F.若∠BAC=38°,∠B=56°,则 ∠AEF 的度数为 . 12. 如图,点I 为△ABC 的内心,AB=4cm, AC=3cm,BC=2cm,△IDE 的边DE 在 边AB 上,且ID∥AC,IE∥BC,则△IDE 的周长为 cm. 第12题 第13题 13. 如图,☉O 是△ABC 的内切圆,与AB、BC、 CA 的切点分别为 D、E、F.若∠BDE+ ∠CFE=110°,则∠A 的度数是 . 14. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°.用直尺和 圆规作Rt△ABC 的内切圆☉I. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 85 答案讲解 15. 如图,四边形ABCD 内接于☉O, 点I 是△ABC 的内心,∠AIC= 124°,点E 在AD 的延长线上,求 ∠CDE 的度数. 第15题 答案讲解 16. 如图,△ABC 内接于☉O,点I是 △ABC 的内心,AI 的延长线交 ☉O于点D.求证:BD=ID=CD. 第16题 [综合提升] 答案讲解 17. 如图,四边形ABCD 为☉O 的内 接四边形,点I是△BCD 的内心, 点O 与点I关于直线BD 对称,求 ∠A 的度数. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 29 则OC=r+2.在Rt△ODC 中,由勾股定理,得OD2+ DC2=OC2,∴ r2+42=(r+2)2,解得r=3.∴ AB= 2r=6.∴ BC=AC+AB=2+6=8.由(1),得△DOE≌ △BOE,∴ DE=BE.在Rt△BCE 中,由勾股定理,得 BC2+BE2=CE2,∴ 82+BE2=(4+DE)2.∴ 64+ DE2=(4+DE)2.∴ DE=6. 第13题 14. (1) 如图,连接AD.∵ AB 是☉O 的直径,AB⊥CD, ∴ BC︵ =BD︵.∴ ∠CAB = ∠BAD.∵ ∠BOD = 2∠BAD,∴ ∠BOD=2∠CAB.(2) 如图,连接 OC. ∵ OA=OC,F 为AC 的中点,∴ DF⊥AC,即DF 垂直 平分AC.∴ AD=CD.∴ ∠ADF=∠CDF.∵ OA= OD,∴ ∠OAD = ∠ODA.又 ∵ ∠CAB = ∠BAD, ∴ ∠CDF= ∠CAB.∵ OC = OD,∴ ∠CDF = ∠OCD.∴ ∠OCD=∠CAB.∵ BC︵=BC︵,∴ ∠CAB= ∠CDE.∴ ∠CDE=∠OCD.∴ OC∥DE.∵ ∠E=90°, ∴ ∠OCE=90°.∴ OC⊥CE.又∵ OC 为☉O 的半径, ∴ 直线CE 为☉O 的切线. 第14题 2.5 直线与圆的位置关系3 知识梳理 1. 相切 外切 2. 内心 三条角平分线 三条边 典例演练 典例1 ∵ 点O 是△ABC的内切圆的圆心,∴ AO、BO、 CO 分 别 平 分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB.∴ ∠BAC= 2∠OAC=2×40°=80°,∠OBC=12∠ABC ,∠OCB= 1 2 ∠ACB.∴ ∠ABC + ∠ACB =180°- ∠BAC = 100°.∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- 1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°-12×100°=130°. 典例2 如图①,☉I就是所要求作的最大圆.如图②,记 △ABC的内切圆☉I与△ABC 的三边相切的切点分别 为D、E、F,连接AI、BI、CI、DI、EI、FI,则易得点A、I、 D 在同一条直线上,且AD⊥BC、EI⊥AB、IF⊥AC. ∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ BD=12BC= 1 2×80= 40(cm).在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD = AB2-BD2 = 502-402 =30(cm).∴ S△ABC = 1 2BC ·AD=12×80×30=1200 (cm2).设☉I的半径为 rcm.∴ S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI= 1 2AB ·r+ 1 2BC ·r+12AC ·r.∴ 1 2r (50+80+50)=1200,解得 r=403.∴ 最大圆的半径是40 3cm. 典例2图 预学训练 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. D 9. A 10. B 11. 165° 12. 4 13. 40° 14. 如图,☉I就是所要求作的圆. 第14题 15. ∵ 点I 是△ABC 的内心,∴ ∠BAC=2∠IAC, ∠ACB=2∠ICA.∵ ∠AIC=124°,∴ ∠B=180°- (∠BAC+∠ACB)=180°-2(∠IAC+∠ICA)=180°- 2(180°-∠AIC)=68°.∵ 四边形ABCD 内接于☉O, ∴ ∠B+∠ADC=180°.∵ ∠ADC+∠CDE=180°, ∴ ∠CDE=∠B=68°. 16. 连接BI.∵ 点I 是△ABC 的内心,∴ ∠BAD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 30 ∠CAD,∠ABI = ∠CBI.∵ ∠CBD = ∠CAD, ∴ ∠BAD=∠CBD.由题意,易得∠BID=∠ABI+ ∠BAD,∠IBD = ∠CBI + ∠CBD,∴ ∠BID = ∠IBD.∴ ID=BD.∵ ∠BAD=∠CAD,∴ BD︵= CD︵.∴ BD=CD.∴ BD=ID=CD. 17. 如图,连接OB、OD、IB、ID.∵ 点O 与点I关于直线 BD 对称,∴ BO=BI,DO=DI.∵ BO=DO,∴ BO= BI=DO=DI.∴ 四边形BIDO 是菱形.∴ ∠OBD= ∠ODB=∠IBD=∠IDB.∵ 点I 是△BCD 的内心, ∴ ∠IBD= ∠IBC,∠IDB = ∠IDC.∴ ∠OBD = ∠ODB = ∠IBD = ∠IDB = ∠IBC = ∠IDC.设 ∠OBD=∠ODB=∠IBD=∠IDB=∠IBC=∠IDC= x.∵ ∠C+4x=180°,∠BOD+2x=180°,∴ ∠C= 180°-4x,∠BOD=180°-2x.∵ ∠A=12∠BOD= 1 2 (180°-2x)=90°-x,∠A+∠C=180°,∴ 90°-x+ 180°-4x=180°,解得x=18°.∴ ∠A=90°-18°=72°. 第17题 2.5 直线与圆的位置关系4 知识梳理 1. 线段的长 2. 相等 典例演练 典例 如 图,连 接 OE、OF,设☉O 的 半 径 为r.在 Rt△ABC 中,由 勾 股 定 理,得 AB = 32+42 =5. (1) ∵ ☉O 为△ABC 的内切圆,切点分别为D、E、F, ∴ OE⊥AC,OF⊥BC,CE=CF,AE=AD,BF=BD. ∴ ∠C=∠OEF=∠OFE=90°.∴ 四边形OECF 是矩 形.又∵ OE=OF,∴ 四边形OECF 为正方形.∴ CE= CF=OE=r.∴ AD=AE=3-r,BD=BF=4-r. ∵ AD+BD=AB,∴ 3-r+4-r=5,解得r=1,即 △ABC的内切圆半径为1.(2) ∵ ☉O 为△ABC 的内切 圆,切点分别为D、E、F,∴ AE=AD=5,BF=BD= 7.∴ AC=5+r,BC=7+r.在Rt△ABC 中,由勾股定 理,得(5+r)2+(7+r)2=(5+7)2,解得r1= 71-6, r2=- 71-6(不合题意,舍去).∴ AC= 71-1, BC= 71+1.∴ S△ABC= 1 2× ( 71-1)×( 71+ 1)=35. 典例图 预学训练 1. C 2. A 3. C 4. D 5. 66° 6. 219 7. 2 8. 14 9. 设AF=x.∵ ☉O 是△ABC 的内切圆,∴ AD=x, BD=BE=9-x,CE=CF=6-x.∵ BE+CE=BC, ∴ 9-x+6-x=5,解得x=5,即AF 的长为5. 10. (1) ∵ PA、PB、CD 分别切☉O 于点A、B、E, ∴ PA=PB,AC=CE,ED=BD.∵ △PCD 的周长为 10,∴ PC+CD+PD=10.∴ PC+CE+ED+PD= PC+AC+BD+PD=PA+PB=2PA=10.∴ PA= 5.(2) 如图,连接OA、OB、OE.∵ PA、PB、CD 分别切 ☉O 于点A、B、E,∴ AC=EC,OA⊥PA,OB⊥PB, OE⊥CD.∴ ∠OAC = ∠OEC = ∠OBP =90°.在 Rt△OAC 和 Rt△OEC 中, OC=OC, AC=EC, ∴ Rt△OAC≌ Rt△OEC.∴ ∠AOC=∠EOC.同理,可 得∠BOD= ∠EOD.∴ ∠COD = ∠EOC+ ∠EOD = 12 ∠AOB. ∵ ∠P=54°,∴ ∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP- ∠P=360°-90°-90°-54°=126°.∴ ∠COD=12× 126°=63°. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈