2.5 直线与圆的位置关系2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

28 是r=2.4或3<r≤4. 典例图 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. D 5. C 6. C 7. D 8. A 9. 0≤d<5 10. 3cm或5cm 11. 8 12. 相交或相离 13. 4或5 14. 4≤R<6 15. 以CD 为直径的圆与直线AB 相交.理由:过点O 作 OE⊥CD 于点E,连接OC,则CE=DE=12CD=23 , ∠OEC=90°.∵ ☉O 的直径AB=8,∴ OC=OA= 1 2AB=4. 由 勾 股 定 理,得 OE = OC2-CE2 = 42-(23)2=2.∵ 2<23,∴ 以CD 为直径的圆与直 线AB 相交. 2.5 直线与圆的位置关系2 知识梳理 1. 外端 垂直于 2. 垂直于 切点 典例演练 典例1 连接OA、OD.∵ BE 是☉O 的直径,∴ ∠BAE= 90°.∵ AD 是 ∠BAE 的 平 分 线,∴ ∠DAE = 1 2∠BAE= 45°.∴ ∠DOE = 2 ∠DAE = 90°. ∴ ∠ODF+∠OFD=90°.∵ OD=OA,∴ ∠ODF= ∠OAF.∵ FC = AC,∴ ∠CFA = ∠FAC.又 ∵ ∠OFD=∠CFA,∴ ∠FAC=∠OFD.∴ ∠FAC+ ∠OAF= ∠OFD + ∠ODF =90°,即 ∠OAC =90°. ∴ OA⊥AC.∵ OA 是☉O 的半径,∴ AC 是☉O 的 切线. 典例2 如图,连接OA,过点O 作OE⊥AC 于点E. ∵ △ABC为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,∴ AO⊥ BC,AO 平分∠BAC.又∵ OD⊥AB,OE⊥AC,∴ OE= OD,即OE 为☉O 的半径.∵ OE⊥AC,∴ AC 是☉O 的 切线. 典例2图 典例3 (1) 如图,连接 OE.∵ PQ 切☉O 于点E, ∴ OE⊥PQ,OA=OE.∴ ∠OAE=∠OEA.又∵ AC⊥ PQ,∴ OE∥AC.∴ ∠OEA = ∠CAE.∴ ∠OAE= ∠CAE.∴ AE 平分∠BAC.(2) 如图,过点O 作OM⊥ AC于点M.∴ AM=MD=12AD=2 ,∠OMC=90°. ∵ AC⊥PQ,OE⊥PQ,∴ ∠OEC=∠ACE=∠OMC= 90°.∴ 四 边 形 OECM 为 矩 形.∴ OM=EC=4.在 Rt△AOM 中,OA= OM2+AM2= 42+22=25,即 ☉O 的半径为25. 典例3图 预学训练 1. B 2. B 3. B 4. C 5. 25 3 6. 5 7. 64° 8. 5 9. 35° 10. 1.5或1.2 11. 3 12. AC 与☉O 相切.理由:过点O 作OD⊥AC 于点 D.∵ ∠ABC=90°,∴ OB⊥CB.又∵ CO 平分∠ACB, OD⊥AC,∴ OD=OB,即OD 是☉O 的半径.∵ OD⊥ AC,∴ AC与☉O 相切. 13. (1) 直线BE 与☉O 相切.理由:如图,连接OD. ∵ CD 与☉O 相切于点D,∴ ∠ODE=90°.∵ AD∥OE, ∴ ∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠BOE.∵ OD=OA, ∴ ∠ADO=∠DAO.∴ ∠DOE=∠BOE.在△DOE 和 △BOE 中, OD=OB, ∠DOE=∠BOE, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOE ≌ △BOE. ∴ ∠ODE=∠OBE=90°.∴ OB⊥BE.又∵ OB 是☉O 的半径,∴ 直线BE 与☉O 相切.(2) 设☉O 的半径为r, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 则OC=r+2.在Rt△ODC 中,由勾股定理,得OD2+ DC2=OC2,∴ r2+42=(r+2)2,解得r=3.∴ AB= 2r=6.∴ BC=AC+AB=2+6=8.由(1),得△DOE≌ △BOE,∴ DE=BE.在Rt△BCE 中,由勾股定理,得 BC2+BE2=CE2,∴ 82+BE2=(4+DE)2.∴ 64+ DE2=(4+DE)2.∴ DE=6. 第13题 14. (1) 如图,连接AD.∵ AB 是☉O 的直径,AB⊥CD, ∴ BC︵ =BD︵.∴ ∠CAB = ∠BAD.∵ ∠BOD = 2∠BAD,∴ ∠BOD=2∠CAB.(2) 如图,连接 OC. ∵ OA=OC,F 为AC 的中点,∴ DF⊥AC,即DF 垂直 平分AC.∴ AD=CD.∴ ∠ADF=∠CDF.∵ OA= OD,∴ ∠OAD = ∠ODA.又 ∵ ∠CAB = ∠BAD, ∴ ∠CDF= ∠CAB.∵ OC = OD,∴ ∠CDF = ∠OCD.∴ ∠OCD=∠CAB.∵ BC︵=BC︵,∴ ∠CAB= ∠CDE.∴ ∠CDE=∠OCD.∴ OC∥DE.∵ ∠E=90°, ∴ ∠OCE=90°.∴ OC⊥CE.又∵ OC 为☉O 的半径, ∴ 直线CE 为☉O 的切线. 第14题 2.5 直线与圆的位置关系3 知识梳理 1. 相切 外切 2. 内心 三条角平分线 三条边 典例演练 典例1 ∵ 点O 是△ABC的内切圆的圆心,∴ AO、BO、 CO 分 别 平 分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB.∴ ∠BAC= 2∠OAC=2×40°=80°,∠OBC=12∠ABC ,∠OCB= 1 2 ∠ACB.∴ ∠ABC + ∠ACB =180°- ∠BAC = 100°.∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- 1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°-12×100°=130°. 典例2 如图①,☉I就是所要求作的最大圆.如图②,记 △ABC的内切圆☉I与△ABC 的三边相切的切点分别 为D、E、F,连接AI、BI、CI、DI、EI、FI,则易得点A、I、 D 在同一条直线上,且AD⊥BC、EI⊥AB、IF⊥AC. ∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ BD=12BC= 1 2×80= 40(cm).在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD = AB2-BD2 = 502-402 =30(cm).∴ S△ABC = 1 2BC ·AD=12×80×30=1200 (cm2).设☉I的半径为 rcm.∴ S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI= 1 2AB ·r+ 1 2BC ·r+12AC ·r.∴ 1 2r (50+80+50)=1200,解得 r=403.∴ 最大圆的半径是40 3cm. 典例2图 预学训练 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. D 9. A 10. B 11. 165° 12. 4 13. 40° 14. 如图,☉I就是所要求作的圆. 第14题 15. ∵ 点I 是△ABC 的内心,∴ ∠BAC=2∠IAC, ∠ACB=2∠ICA.∵ ∠AIC=124°,∴ ∠B=180°- (∠BAC+∠ACB)=180°-2(∠IAC+∠ICA)=180°- 2(180°-∠AIC)=68°.∵ 四边形ABCD 内接于☉O, ∴ ∠B+∠ADC=180°.∵ ∠ADC+∠CDE=180°, ∴ ∠CDE=∠B=68°. 16. 连接BI.∵ 点I 是△ABC 的内心,∴ ∠BAD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 80 2.5　直线与圆的位置关系2 1. 切线的判定定理:经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线. 2. 切线的性质定理:圆的切线 经过 的半径. 􀥈 􀥈 􀥈 典例1图 典例1 如图,BE 是☉O 的直径,点A 在☉O 上, ∠BAE 的平分线AD 交 ☉O 于点D,交BE 于点 F,C 是BE 延长线上一 点,且FC=AC.求证:AC 是☉O 的切线. 连接OA,转化为证明OA⊥AC. 解答: 解有所悟:当直线与圆有公共点时,那么证明经过 公共点的半径(或直径)与直线垂直,这条直线就是 圆的切线. 典例2图 典例2 如图,△ABC 为等腰三角 形,O 是底边BC 的中点,过点O 作OD⊥AB 于点D,以点O 为圆 心,OD 的长为半径作☉O.求证: AC 是☉O 的切线. 过点O 作OE⊥AC 于点E,证明OE 为 ☉O 的半径. 解答: 解有所悟:当直线与圆没有标出公共点时,过圆心 作直线的垂线段,证明垂线段长等于半径,这条直 线就是圆的切线. 典例3图 典例3 如图,AB 为☉O 的直 径,PQ 切☉O 于点E,AC⊥ PQ 于点C,交☉O 于点D. (1) 求证:AE 平分∠BAC; (2) 若AD=EC=4,求☉O 的半径. (1) 连 接 OE,转 化 为 证 明∠OEA= ∠CAE=∠OAE;(2) 过点O 作OM⊥AC 于 M,在Rt△AOM 中利用勾股定理求解. 解答: 解有所悟:已知切线,常作辅助线———连接切点与 圆心. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 81 [基础过关] 1. 有下列说法:① 与圆只有一个公共点的直线 是圆的切线;② 与圆心的距离等于这个圆的 半径的直线是圆的切线;③ 垂直于半径的直 线是圆的切线;④ 经过半径外端的直线是圆 的切线.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. (徐州中考)如图,AB 是☉O 的弦,点C 在过 点B 的☉O 的切线上,OC⊥OA 交AB 于点 P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数为 ( ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 第2题 第3题 3. (雅 安 中 考)如 图,△ABC 内 接 于☉O, ∠ACB=90°,过点C 的切线交AB 的延长 线于点P,∠P=28°,则∠CAB 的度数为 ( ) A. 62° B. 31° C. 28° D. 56° 4. (无锡中考)如图,AB 是☉O 的直径,弦AD 平分∠BAC,过点D 的切线交AC 于点E, ∠EAD=25°,则下列结论错误的是 ( ) A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE=OD D. ∠BOD=50° 第4题 第5题 5. (金华中考)如图,木工用角尺的短边紧靠 ☉O 于点A,长边与☉O 相切于点B,角尺的 直角顶点为C.若AC=6cm,BC=8cm,则 ☉O 的半径为 cm. 6. 如图,AB是☉O的直径,P 为☉O 外的一点, 且在直线AB 上,PC 切☉O 于点C,连接 OC.若PA=1,PB=5,则PC= . 第6题 第7题 7. (泰安中考)如图,在△ABC 中,∠B=90°, ☉O 过点A、C,与AB 交于点D,与BC 相 切于点C.如果∠A=32°,那么∠ADO= . 8. 如图,线段AB 与☉O 相切于点B,线段AO 与☉O 相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O 的半径为 . 第8题 第9题 9. (盐城中考)如图,AB、AC 是☉O 的弦,过点 A 的 切 线 交 CB 的 延 长 线 于 点 D.若 ∠BAD=35°,则∠C= . 10. (宁波中考)如图,在△ABC中,AC=2,BC= 4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相 切于点A,D 是边BC 上的动点,当△ACD 为直角三角形时,AD 的长为 . 第10题 第11题 答案讲解 11. (凉山中考)如图,等边三角形ABC 的边长为4,☉C 的半径为 3,P 为边AB 上一动点,过点P 作☉C 的切线PQ,切点为Q,则PQ 长的最小值 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 82 12. 如 图,在 Rt△ABC 中,∠ABC =90°, ∠ACB 的平分线CO 交AB 于点O,以点 O 为圆心,OB 长为半径作☉O.判断AC 与☉O 的位置关系,并说明理由. 第12题 答案讲解 13. (衡阳中考)如图,AB 为☉O 的直 径,过圆上一点D 作☉O 的切线 CD 交BA 的延长线于点C,过点 O 作OE∥AD,交 直 线 CD 于 点E,连 接BE. (1) 直线BE 与☉O 相切吗? 请说明理由. (2) 若AC=2,CD=4,求DE 的长. 第13题 [综合提升] 答案讲解 14. (北京中考)如图,AB 是☉O 的直 径,CD 是☉O 的一条弦,AB⊥ CD,连接AC、OD. (1) 求证:∠BOD=2∠A. (2) 连接DB,过点C 作CE⊥DB,交DB 的延长线于点E,延长DO 交AC 于点F. 若F 为AC 的中点,求证:直线CE 为☉O 的切线. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A