2.5 直线与圆的位置关系1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

78 2.5　直线与圆的位置关系1 1. 直线与圆有 个公共点时,叫做直线 与圆相交;直线与圆有 公共点时, 叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的 ,这个公共点叫做 ;直线与 圆没有公共点时,叫做直线与圆 . 2. 如果☉O 的半径为r,圆心O 到直线l的距 离为d,那么(1) 直线l 与☉O 相交⇔ d r;(2) 直线l 与☉O 相切⇔ d r;(3) 直 线l 与☉O 相 离⇔ d r. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例 在△ABC 中,AB=5,BC=4,AC=3. (1) 若以点C 为圆心,2为半径画☉C,直接判 断直线AB 与☉C 的位置关系; (2) 若斜边AB 与☉C 有唯一公共点,求☉C 的 半径r的取值范围. 判断△ABC 是直角三角形.(1) 过点C 作CD⊥AB 于点D,利用面积法求出CD 的 长,与半径的长比较大小即可确定.(2) 分两种 情况求解:① ☉C 与AB 相切;② 点A 在☉C 内部,点B 在☉C 上或☉C 外. 解答: 解有所悟:已知线段与圆的公共点个数,不同于直 线与圆的公共点个数,要结合图形分析半径的取值 范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 设☉O 的半径是6cm,点O 到直线l的距离 为d,☉O 与直线l有公共点,则 ( ) A. d>6cm B. d=6cm C. 0cm≤d<6cm D. 0cm≤d≤6cm 2. 圆的直径为10cm,如果圆心与直线的距离 是d,那么 ( ) A. 当d=8cm时,直线与圆相交 B. 当d=4.5cm时,直线与圆相离 C. 当d=5cm时,直线与圆相切 D. 当d=10cm时,直线与圆相切 3. 已知☉O 的半径为4,直线l上有一点M.若 OM=4,则直线l与☉O的位置关系是( ) A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交或相切 4. (舟山中考)已知平面内有☉O 和点A、B, 若☉O 的半径为2cm,线段OA=3cm, OB=2cm,则直线AB与☉O的位置关系为 ( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 5. 如图,∠ACB=30°,O 是CB 上的一点,且 OC=6,则以4为半径的☉O 与直线CA 的 公共点的个数为 ( ) 第5题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 79 6. 如图,两个同心圆的半径分别为3、5,圆心为 点O,直线l与大圆交于点A,B.若AB=6, 则直线l与小圆的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 第6题 第8题 7. 已知☉O 的半径为8,圆心O 到直线l上某 点的距离为8,则直线l与☉O 的公共点的 个数为 ( ) A. 0 B. 1或0 C. 0或2 D. 1或2 8. 如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC= 10,D、E 分别是AC、AB 的中点,则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 9. 已知☉O 的半径为5,直线l与☉O 相交,则 圆心O 到直线l的距离d 的取值范围是 . 10. (泰州中考)如图,直线a⊥b,垂足为H,点 P 在直线b上,PH=4cm,O 为直线b上 的一动点.若以1cm为半径的☉O 与直线 a相切,则OP 的长为 . 第10题 11. 已知点O 到直线l的距离为6,以点O 为圆 心,r为半径作☉O.若☉O 上只有3个点到 直线l的距离为2,则r的值为 . 12. 已知☉O 的半径为r,圆心O 到直线l的距 离为d,且d与r是方程x2-9x+20=0的 两根,则 直 线l 与☉O 的 位 置 关 系 是 . 答案讲解 13. 在平面直角坐标系中,以点P(-3, 4)为圆心,r为半径画圆,☉P 与 坐标轴恰好有三个交点,那么r的 值是 . 答案讲解 14. 在矩形ABCD 中,AB=4,AD= 6,以点A 为圆心,R 为半径作圆, ☉A 仅与直线BC、CD 中的一条 相离,则R 的取值范围是 . [综合提升] 答案讲解 15. 如图,☉O的直径AB=8,弦CD= 43,且CD∥AB,判断以CD 为 直径的圆与直线AB 的位置关系, 并说明理由. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 27 典例演练 典例1 215 典例2 如图,延长BD 到点E,使DE=CD,连接CE、 BC.∵ 四边形 ABDC 是圆内接四边形,∴ ∠BDC+ ∠BAC=180°.∵ ∠BDC+∠CDE=180°,∴ ∠CDE= ∠BAC=60°.又∵ DE=CD,∴ △CDE 是等边三角 形.∴ CD=CE,∠DCE=60°.∵ AB=AC,∠BAC= 60°,∴ △ABC 是等边三角形.∴ AC=BC,∠ACB= 60°.∴ ∠ACB=∠DCE.∴ 易得∠ACD=∠BCE.在 △ACD 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌ △BCE.∴ AD=BE=BD+DE=BD+CD. 典例2图 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. C 5. A 6. B 7. B 8. D 9. 144° 10. 100° 11. 55° 12. 2 13. 150° 14. 120° 15. 45°或135° 16. (1) ∵ BC为☉O 的直径,∴ ∠BDC=90°.∵ AD 平 分∠CAB,∴ ∠BAD=∠CAD.∴ BD︵=CD︵.∴ BD= CD.在Rt△BDC中,由勾股定理,得BD2+CD2=BC2, ∴ 2BD2=102.∴ BD=52.(2) 如图,连接OB、OD. ∵ 四边形 ABDC 内接于☉O,∴ ∠BDC+∠BAC= 180°.∵ ∠BDC=120°,∴ ∠BAC=60°.∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠BAD = 12 ∠BAC=30°.∴ ∠BOD = 2∠BAD=60°.又∵ OB=OD,∴ △BOD 是等边三角 形.∴ BD=OB.∵ ☉O 的直径为10,∴ 半径OB=5. ∴ BD=5. 第16题 17. (1) ∵ ∠E=∠F,∠DCE=∠BCF,易得∠ADC= ∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴ ∠ADC= ∠ABC.(2) ∵ 四 边 形 ABCD 是 圆 内 接 四 边 形, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°.由(1),知∠ADC=∠ABC, ∴ ∠ADC=∠ABC=90°.∴ ∠A=90°-∠F=90°- 42°=48°.(3) 连接EF.在△ABE 中,∠A+∠AEB+ ∠ABC=180°;在△ADF 中,∠A+∠AFD+∠ADC= 180°.∴ ∠A+ ∠AEB + ∠ABC+ ∠A + ∠AFD + ∠ADC=360°.∵ 四边形ABCD 为圆的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC=180°.∴ 2∠A+α+β+180°= 360°.∴ ∠A=90°-α+β2 . 18. (1) ∵ AC⊥BD,PM⊥BC,∴ ∠BPM+∠PBM= 90°,∠PCB + ∠PBC =90°.∴ ∠BPM = ∠PCB. ∵ ∠BPM=∠DPN,∠PCB=∠NDP,∴ ∠DPN= ∠NDP.∴ PN=DN.同理,可得AN=PN,∴ AN= DN.(2) ∵ 四 边 形 ABDE 是☉O 的 内 接 四 边 形, ∴ ∠BAC+∠BDE=180°.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠BDE= 90°.∴ DE⊥BC.∵ NM∥BC,∴ MN⊥DE.∵ AD⊥ BE,∴ AN=BN.∴ PN=12AB=2. 2.5 直线与圆的位置关系1 知识梳理 1. 两 唯一 切线 切点 相离 2. (1) < (2) = (3) > 典例演练 典例 ∵ AB=5,BC=4,AC=3,∴ AC2+BC2=32+ 42=25,AB2=52=25.∴ AC2+BC2=AB2.∴ △ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°.(1) 如图,过点C作CD⊥ AB 于点D.∵ S△ABC = 1 2AC ·BC= 12AB ·CD, ∴ CD=AC ·BC AB = 3×4 5 =2.4.∵ 2.4>2,即d>r, ∴ 直线AB 与☉C相离.(2) ∵ BC>AC,∴ ☉C与斜边 AB 有唯一公共点有两种情形:① ☉C 与AB 相切,则 r=CD=2.4.② 点A 在☉C 内部,点B 在☉C 上或☉C 外,则AC<r≤BC,即3<r≤4.综上所述,r的取值范围 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 是r=2.4或3<r≤4. 典例图 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. D 5. C 6. C 7. D 8. A 9. 0≤d<5 10. 3cm或5cm 11. 8 12. 相交或相离 13. 4或5 14. 4≤R<6 15. 以CD 为直径的圆与直线AB 相交.理由:过点O 作 OE⊥CD 于点E,连接OC,则CE=DE=12CD=23 , ∠OEC=90°.∵ ☉O 的直径AB=8,∴ OC=OA= 1 2AB=4. 由 勾 股 定 理,得 OE = OC2-CE2 = 42-(23)2=2.∵ 2<23,∴ 以CD 为直径的圆与直 线AB 相交. 2.5 直线与圆的位置关系2 知识梳理 1. 外端 垂直于 2. 垂直于 切点 典例演练 典例1 连接OA、OD.∵ BE 是☉O 的直径,∴ ∠BAE= 90°.∵ AD 是 ∠BAE 的 平 分 线,∴ ∠DAE = 1 2∠BAE= 45°.∴ ∠DOE = 2 ∠DAE = 90°. ∴ ∠ODF+∠OFD=90°.∵ OD=OA,∴ ∠ODF= ∠OAF.∵ FC = AC,∴ ∠CFA = ∠FAC.又 ∵ ∠OFD=∠CFA,∴ ∠FAC=∠OFD.∴ ∠FAC+ ∠OAF= ∠OFD + ∠ODF =90°,即 ∠OAC =90°. ∴ OA⊥AC.∵ OA 是☉O 的半径,∴ AC 是☉O 的 切线. 典例2 如图,连接OA,过点O 作OE⊥AC 于点E. ∵ △ABC为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,∴ AO⊥ BC,AO 平分∠BAC.又∵ OD⊥AB,OE⊥AC,∴ OE= OD,即OE 为☉O 的半径.∵ OE⊥AC,∴ AC 是☉O 的 切线. 典例2图 典例3 (1) 如图,连接 OE.∵ PQ 切☉O 于点E, ∴ OE⊥PQ,OA=OE.∴ ∠OAE=∠OEA.又∵ AC⊥ PQ,∴ OE∥AC.∴ ∠OEA = ∠CAE.∴ ∠OAE= ∠CAE.∴ AE 平分∠BAC.(2) 如图,过点O 作OM⊥ AC于点M.∴ AM=MD=12AD=2 ,∠OMC=90°. ∵ AC⊥PQ,OE⊥PQ,∴ ∠OEC=∠ACE=∠OMC= 90°.∴ 四 边 形 OECM 为 矩 形.∴ OM=EC=4.在 Rt△AOM 中,OA= OM2+AM2= 42+22=25,即 ☉O 的半径为25. 典例3图 预学训练 1. B 2. B 3. B 4. C 5. 25 3 6. 5 7. 64° 8. 5 9. 35° 10. 1.5或1.2 11. 3 12. AC 与☉O 相切.理由:过点O 作OD⊥AC 于点 D.∵ ∠ABC=90°,∴ OB⊥CB.又∵ CO 平分∠ACB, OD⊥AC,∴ OD=OB,即OD 是☉O 的半径.∵ OD⊥ AC,∴ AC与☉O 相切. 13. (1) 直线BE 与☉O 相切.理由:如图,连接OD. ∵ CD 与☉O 相切于点D,∴ ∠ODE=90°.∵ AD∥OE, ∴ ∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠BOE.∵ OD=OA, ∴ ∠ADO=∠DAO.∴ ∠DOE=∠BOE.在△DOE 和 △BOE 中, OD=OB, ∠DOE=∠BOE, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOE ≌ △BOE. ∴ ∠ODE=∠OBE=90°.∴ OB⊥BE.又∵ OB 是☉O 的半径,∴ 直线BE 与☉O 相切.(2) 设☉O 的半径为r, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈