2.4 圆周角3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

26 CD.(2) B、E、C 三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的 圆上.理由:∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE=∠ABE. ∵ ∠BAD = ∠CBD,∠DBE = ∠CBD + ∠CBE, ∠DEB = ∠BAD + ∠ABE,∴ ∠DBE = ∠DEB. ∴ BD=DE.由(1),知BD=CD,∴ BD=DE=CD. ∴ B、E、C三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的圆上. 2.4 圆 周 角1 知识梳理 1. 圆上 相交 2. 一半 相等 3. 一半 典例演练 典例1 (1) ∵ CH⊥AB,∴ ∠BFH+∠FBH=90°. ∵ BE ⊥AC,∴ ∠A + ∠ABE =90°.∴ ∠BFH= ∠A.∵ ∠A=∠BDF,∴ ∠BFH=∠BDF.∴ BF= BD.又∵ BH⊥FD,∴ HD=HF.(2) 如图,连接OB、 OD.∵ CH ⊥ AB,∴ ∠BCH + ∠CBH =90°. ∴ ∠BCH=90°-∠CBH=90°-60°=30°.∴ ∠BOD= 2∠BCD=60°.又∵ OB=OD,∴ △OBD 为等边三角 形.∴ BD=OB,即BD 的长等于☉O 的半径. 典例1图 典例2 C 预学训练 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. D 8. 120° 9. 30° 10. 130° 11. 60°或120° 12. ∵ AD⊥PC,∴ ∠EMC=90°.∵ P 为AB︵ 的中点, ∴ PA︵ =PB︵.∴ ∠ADP=∠BCP.又∵ ∠DEN = ∠CEM,∴ 180°-∠ADP-∠DEN=180°-∠BCP- ∠CEM,即 ∠DNE = ∠EMC=90°.∴ 易 得 ∠B + ∠BDP= ∠DEN + ∠ADP =90°.∵ PB︵ =PA︵, ∴ ∠BDP=∠ADP.∴ ∠B=∠DEN.∴ DB=DE.又 ∵ ∠BDP=∠ADP,∴ EN=BN,即N 为BE 的中点. 2.4 圆 周 角2 知识梳理 1. 直角 2. 直径 典例演练 典例1 D 典例2 连接PE.∵ ∠PBE=90°,∴ PE 是☉O 的直 径.∴ ∠PAE=90°,PE=2.∴ BE2+PB2=PE2=22= 4.∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ AB=AC,∠BAC= 90°.∴ 易得∠C=∠ABC=45°.∴ ∠AEP=∠ABP= 45°.∴ 易 得 ∠APE= ∠AEP =45°.∴ AP =AE. ∵ ∠CAB=∠PAE=90°,∴ 易得∠CAP=∠BAE.在 △CAP 和△BAE 中, AC=AB, ∠CAP=∠BAE, AP=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CAP≌ △BAE.∴ PC=EB.∴ PC2+PB2=BE2+PB2=4. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. 6.5 9. 13° 10. (1) △ABC为等腰三角形.理由:连接AE.∵ DE︵= BE︵,∴ ∠DAE=∠BAE.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠AEB=90°.∴ 易得∠C+∠CAE=90°,∠ABC+ ∠BAE=90°.∴ ∠C=∠ABC.∴ AC=AB.∴ △ABC 为等腰三角形.(2) ∵ △ABC 为等腰三角形,∠AEB= 90°,∴ BE=CE=12BC= 1 2×12=6. 在Rt△ABE 中, ∵ 半圆 O 的半径为5,∴ AC=AB=10.∴ AE= AB2-BE2= 102-62=8.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠ADB=90°.∵ S△ABC= 1 2AE ·BC=12BD ·AC, ∴ BD=8×1210 = 48 5. 2.4 圆 周 角3 知识梳理 1. 内接四边形 外接圆 2. 互补 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 典例演练 典例1 215 典例2 如图,延长BD 到点E,使DE=CD,连接CE、 BC.∵ 四边形 ABDC 是圆内接四边形,∴ ∠BDC+ ∠BAC=180°.∵ ∠BDC+∠CDE=180°,∴ ∠CDE= ∠BAC=60°.又∵ DE=CD,∴ △CDE 是等边三角 形.∴ CD=CE,∠DCE=60°.∵ AB=AC,∠BAC= 60°,∴ △ABC 是等边三角形.∴ AC=BC,∠ACB= 60°.∴ ∠ACB=∠DCE.∴ 易得∠ACD=∠BCE.在 △ACD 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌ △BCE.∴ AD=BE=BD+DE=BD+CD. 典例2图 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. C 5. A 6. B 7. B 8. D 9. 144° 10. 100° 11. 55° 12. 2 13. 150° 14. 120° 15. 45°或135° 16. (1) ∵ BC为☉O 的直径,∴ ∠BDC=90°.∵ AD 平 分∠CAB,∴ ∠BAD=∠CAD.∴ BD︵=CD︵.∴ BD= CD.在Rt△BDC中,由勾股定理,得BD2+CD2=BC2, ∴ 2BD2=102.∴ BD=52.(2) 如图,连接OB、OD. ∵ 四边形 ABDC 内接于☉O,∴ ∠BDC+∠BAC= 180°.∵ ∠BDC=120°,∴ ∠BAC=60°.∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠BAD = 12 ∠BAC=30°.∴ ∠BOD = 2∠BAD=60°.又∵ OB=OD,∴ △BOD 是等边三角 形.∴ BD=OB.∵ ☉O 的直径为10,∴ 半径OB=5. ∴ BD=5. 第16题 17. (1) ∵ ∠E=∠F,∠DCE=∠BCF,易得∠ADC= ∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴ ∠ADC= ∠ABC.(2) ∵ 四 边 形 ABCD 是 圆 内 接 四 边 形, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°.由(1),知∠ADC=∠ABC, ∴ ∠ADC=∠ABC=90°.∴ ∠A=90°-∠F=90°- 42°=48°.(3) 连接EF.在△ABE 中,∠A+∠AEB+ ∠ABC=180°;在△ADF 中,∠A+∠AFD+∠ADC= 180°.∴ ∠A+ ∠AEB + ∠ABC+ ∠A + ∠AFD + ∠ADC=360°.∵ 四边形ABCD 为圆的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC=180°.∴ 2∠A+α+β+180°= 360°.∴ ∠A=90°-α+β2 . 18. (1) ∵ AC⊥BD,PM⊥BC,∴ ∠BPM+∠PBM= 90°,∠PCB + ∠PBC =90°.∴ ∠BPM = ∠PCB. ∵ ∠BPM=∠DPN,∠PCB=∠NDP,∴ ∠DPN= ∠NDP.∴ PN=DN.同理,可得AN=PN,∴ AN= DN.(2) ∵ 四 边 形 ABDE 是☉O 的 内 接 四 边 形, ∴ ∠BAC+∠BDE=180°.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠BDE= 90°.∴ DE⊥BC.∵ NM∥BC,∴ MN⊥DE.∵ AD⊥ BE,∴ AN=BN.∴ PN=12AB=2. 2.5 直线与圆的位置关系1 知识梳理 1. 两 唯一 切线 切点 相离 2. (1) < (2) = (3) > 典例演练 典例 ∵ AB=5,BC=4,AC=3,∴ AC2+BC2=32+ 42=25,AB2=52=25.∴ AC2+BC2=AB2.∴ △ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°.(1) 如图,过点C作CD⊥ AB 于点D.∵ S△ABC = 1 2AC ·BC= 12AB ·CD, ∴ CD=AC ·BC AB = 3×4 5 =2.4.∵ 2.4>2,即d>r, ∴ 直线AB 与☉C相离.(2) ∵ BC>AC,∴ ☉C与斜边 AB 有唯一公共点有两种情形:① ☉C 与AB 相切,则 r=CD=2.4.② 点A 在☉C 内部,点B 在☉C 上或☉C 外,则AC<r≤BC,即3<r≤4.综上所述,r的取值范围 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 2.4　圆 周 角3 1. 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上,这 个四边形叫做圆的 ,这个圆 叫做四边形的 . 2. 圆内接四边形的对角 . 􀥈 􀥈 􀥈 典例1图 典例1 如图,点A、B、C、D、E 在 ☉O 上,且 ∠CAD =35°,则 ∠B+∠E= °. 连接CE,构造圆内接四边 形ABCE 求解. 解答: 解有所悟:当有多个点在圆上时,常考虑作辅助线 构造出圆内接四边形. 典例2图 典例 2 如 图,在 圆 内 接 四 边 形 ABDC 中,∠BAC =60°,AB = AC.求证:AD=BD+CD. 利用“补短法”求解,即延长 BD 到点E,使DE=CD,连接CE、 BC,转化为证明△ACD≌△BCE. 解答: 解有所悟:圆内接四边形的外角等于与它相邻内角 的对角. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (株洲中考)如图,等边三角形ABC 的顶点 A 在☉O 上,边AB、AC 与☉O 分别交于点 D、E,F是DE ︵ 上一点,且不与点D、E 重合, 连接DF、EF,则∠DFE 的度数为 ( ) A. 115° B. 118° C. 120° D. 125° 第1题 第2题 2. (吉林中考)如图,四边形 ABCD 内接于 ☉O,P 为边AD 上任意一点(不与点A、D 重合),连接CP.若∠B=120°,则∠APC 的 度数可能为 ( ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 65° 3. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, 若∠AOC=160°,则∠ABC 的度数是( ) A. 80° B. 100° C. 140° D. 160° 第3题 第4题 4. (自贡中考)如图,四边形 ABCD 内接于 ☉O,AB 是☉O 的直径,∠ABD=20°,则 ∠BCD 的度数是 ( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 5. (海南中考)如图,四边形ABCD 是☉O 的内 接四边形,BE 是☉O 的直径,连接AE.若 ∠BCD=2∠BAD,则∠DAE 的度数是 ( ) A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 第5题 第6题 6. (雅安中考)如图,四边形ABCD 为☉O 的内 接四 边 形.若 四 边 形 OBCD 为 菱 形,则 ∠BAD 的度数为 ( ) A. 45° B. 60° C. 72° D. 36° 7. 如图,将☉O 沿弦AB 折叠,点C 在AmB ︵ 上,点 D 在 AB ︵ 上.若∠ACB=70°,则 ∠ADB 的度数为 ( ) A. 70° B. 110° C. 120° D. 140° 第7题 第8题 8. 如图,四边形ABCD 内接于☉O,AB 为直径, ∠C=120°,AD=2,则AB 的长为 ( ) A. 3 B. 2 C. 23 D. 4 9. (雅安中考)如图,∠DCE 是☉O 的内接四边 形ABCD 的一个外角.若∠DCE=72°,则 ∠BOD 的度数为 . 第9题 第10题 10. 如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠A、 ∠B、∠C 的度数之比为2∶4∶7,则∠D= . 11. 如图,四边形ABCD 是半圆O 的内接四边 形,AB 是直径,DC ︵ =CB ︵ .若∠C=110°,则 ∠ABC 的度数为 . 第11题 第12题 12. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, ∠ADC=150°,弦AC=2,则☉O 的半径为 . 13. 如图,点A、B、C、D、E 在☉O 上,AE ︵ 的度 数为60°,则∠B+∠D 的度数是 . 第13题 第14题 14. 如 图,在 ☉O 中,AB ︵ 所 对 的 圆 心 角 ∠AOB=120°,点C 在AB ︵ 上,则∠C 的度 数为 . 答案讲解 15. (襄阳中考)已知☉O 的直径AB= 2,弦AC= 2,则弦AC 所对的圆 周角的度数为 . 16. 已知☉O 的直径为10,四边形ABDC 内接 于☉O,AD 平分∠CAB. (1) 如图①,若BC 为☉O 的直径,求BD 的长; (2) 如图②,若∠BDC=120°,求BD 的长. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 77 答案讲解 17. 如图,☉O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、F. (1) 若 ∠E = ∠F 时,求 证:∠ADC= ∠ABC; (2) 若∠E=∠F=42°,求∠A 的度数; (3) 若∠E=α,∠F=β,且α≠β,请用含α、 β的代数式表示∠A 的度数. 第17题 [综合提升] 答案讲解 18. 数学家婆罗摩笈多发现圆内接四 边形的另一结论:若圆内接四边形 的对角线相互垂直,则垂直于一边 且过对角线交点的直线平分对边. (1) 证明婆罗摩笈多定理. 如图①,四边形ABCD 内接于☉O,对角线 AC⊥BD 于点P,PM⊥BC 于点M,延长 MP 交AD 于点N.求证:AN=DN. (2) 利用婆罗摩笈多定理解答问题. 如图②,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°, AB=AC=4,BC、AC 分别交☉O 于点D、 E,连接 AD、BE 交于点P,过点 P 作 MN∥BC,分别交DE、AB 于点M、N.若 AD⊥BE,求NP 的长. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备