2.4 圆周角2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

26 CD.(2) B、E、C 三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的 圆上.理由:∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE=∠ABE. ∵ ∠BAD = ∠CBD,∠DBE = ∠CBD + ∠CBE, ∠DEB = ∠BAD + ∠ABE,∴ ∠DBE = ∠DEB. ∴ BD=DE.由(1),知BD=CD,∴ BD=DE=CD. ∴ B、E、C三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的圆上. 2.4 圆 周 角1 知识梳理 1. 圆上 相交 2. 一半 相等 3. 一半 典例演练 典例1 (1) ∵ CH⊥AB,∴ ∠BFH+∠FBH=90°. ∵ BE ⊥AC,∴ ∠A + ∠ABE =90°.∴ ∠BFH= ∠A.∵ ∠A=∠BDF,∴ ∠BFH=∠BDF.∴ BF= BD.又∵ BH⊥FD,∴ HD=HF.(2) 如图,连接OB、 OD.∵ CH ⊥ AB,∴ ∠BCH + ∠CBH =90°. ∴ ∠BCH=90°-∠CBH=90°-60°=30°.∴ ∠BOD= 2∠BCD=60°.又∵ OB=OD,∴ △OBD 为等边三角 形.∴ BD=OB,即BD 的长等于☉O 的半径. 典例1图 典例2 C 预学训练 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. D 8. 120° 9. 30° 10. 130° 11. 60°或120° 12. ∵ AD⊥PC,∴ ∠EMC=90°.∵ P 为AB︵ 的中点, ∴ PA︵ =PB︵.∴ ∠ADP=∠BCP.又∵ ∠DEN = ∠CEM,∴ 180°-∠ADP-∠DEN=180°-∠BCP- ∠CEM,即 ∠DNE = ∠EMC=90°.∴ 易 得 ∠B + ∠BDP= ∠DEN + ∠ADP =90°.∵ PB︵ =PA︵, ∴ ∠BDP=∠ADP.∴ ∠B=∠DEN.∴ DB=DE.又 ∵ ∠BDP=∠ADP,∴ EN=BN,即N 为BE 的中点. 2.4 圆 周 角2 知识梳理 1. 直角 2. 直径 典例演练 典例1 D 典例2 连接PE.∵ ∠PBE=90°,∴ PE 是☉O 的直 径.∴ ∠PAE=90°,PE=2.∴ BE2+PB2=PE2=22= 4.∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ AB=AC,∠BAC= 90°.∴ 易得∠C=∠ABC=45°.∴ ∠AEP=∠ABP= 45°.∴ 易 得 ∠APE= ∠AEP =45°.∴ AP =AE. ∵ ∠CAB=∠PAE=90°,∴ 易得∠CAP=∠BAE.在 △CAP 和△BAE 中, AC=AB, ∠CAP=∠BAE, AP=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CAP≌ △BAE.∴ PC=EB.∴ PC2+PB2=BE2+PB2=4. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. 6.5 9. 13° 10. (1) △ABC为等腰三角形.理由:连接AE.∵ DE︵= BE︵,∴ ∠DAE=∠BAE.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠AEB=90°.∴ 易得∠C+∠CAE=90°,∠ABC+ ∠BAE=90°.∴ ∠C=∠ABC.∴ AC=AB.∴ △ABC 为等腰三角形.(2) ∵ △ABC 为等腰三角形,∠AEB= 90°,∴ BE=CE=12BC= 1 2×12=6. 在Rt△ABE 中, ∵ 半圆 O 的半径为5,∴ AC=AB=10.∴ AE= AB2-BE2= 102-62=8.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠ADB=90°.∵ S△ABC= 1 2AE ·BC=12BD ·AC, ∴ BD=8×1210 = 48 5. 2.4 圆 周 角3 知识梳理 1. 内接四边形 外接圆 2. 互补 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 2.4　圆 周 角2 1. 直径所对的圆周角是 . 2. 90°的圆周角所对的弦是 . 典例1图 典例1 如图,点A、B、C、D、E 均 在☉O 上,且 AC 为 直 径,则 ∠A+∠B+∠C的度数为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 连接 AB、BC,可 得∠ABE=∠ACE, ∠DBC=∠DAC. 解答: 解有所悟:已知直径,常考虑作辅助线构造出直径 所对的圆周角———直角. 典例2图 典例2 如图,△ABC 是等腰直角 三角形,P 是斜边BC 上一点(不 与点B、C 重合),☉O 是△PAB 的外 接 圆,点 E 在 ☉O 上,且 ∠PBE=90°,☉O 的直径为2,求 PC2+PB2的值. 连接PE,先证明PE 为☉O 的直径,得 ∠PAE=90°,在Rt△PBE 中利用勾股定理求 BE2+PB2 的值,再证明△CAP≌△BAE,得 PC=BE,从而求得PC2+PB2的值. 解答: 解有所悟:已知90°的圆周角,常考虑作辅助线构造 出90°的圆周角所对的弦———直径. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (兰州中考)如图,△ABC 内接于☉O,CD 是 ☉O的直径,∠ACD=40°,则∠B的度数为 ( ) 第1题 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 2. 如图,AB 是☉O 的直径,C、D、E 都是圆上 的点,其中点C、D 在AB 下方,点E 在AB 上方,则∠C+∠D 的度数为 ( ) 第2题 A. 60° B. 75° C. 80° D. 90° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 74 3. (赤峰中考)如图,点C、D 在以AB 为直径的 半圆O 上,且∠ADC=120°,E 是AD ︵ 上任 意一点,连接BE、CE,则∠BEC 的度数为 ( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° 第3题 第4题 4. (营口中考)如图,点A、B、C、D 在☉O 上, AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC 的 长为 ( ) A. 43 B. 8 C. 42 D. 4 5. (泰 安 中 考)如 图,AB 是 ☉O 的 直 径, ∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O 的半径长为 ( ) A. 23 B. 32 C. 25 D. 5 第5题 第6题 6. (金昌中考)如图,A 是☉O 上的一点,BC 是 直径,AC=2,AB=4,点D 在☉O 上且平分 BC ︵,则DC 的长为 ( ) A. 22 B. 5 C. 25 D. 10 7. (眉山中考)如图,在以AB 为直径的☉O 中, C 为圆上的一点,BC ︵ =3AC ︵,弦CD⊥AB 于 点E,弦AF交CE于点H,交BC于点G.若 H 是AG的中点,则∠CBF的度数为 ( ) A. 18° B. 21° C. 22.5° D. 30° 第7题 第8题 8. (日照中考)一圆形玻璃镜面损坏了一部分, 为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺 进行如图所示的测量,测得AB=12cm,BC= 5cm,则圆形镜面的半径为 cm. 答案讲解 9. (宿迁中考)如图,在Rt△ABC 中, ∠ABC=90°,∠A=32°,点B、C 在 ☉O 上,边AB、AC 分别交☉O 于 D、E 两点,B 是CD ︵ 的中点,则∠ABE= . 第9题 [综合提升] 答案讲解 10. 如图,以△ABC 的一边AB 为直 径的半圆O 与其他两边AC、BC 的交点分别为D、E,且DE ︵ =BE ︵ . (1) 试判断△ABC 的形状,并说明理由; (2) 若半圆O 的半径为5,BC=12,求BD 的长. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A