2.4 圆周角1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

71 2.4　圆 周 角1 1. 顶点在 ,并且两边都和圆 的角叫做圆周角. 2. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度 数的 ,同弧或等弧所对的圆周角 . 3. 圆周角的度数等于它所对弧的度数的 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1图 典例1 如图,在☉O 中,弦AB⊥ CD 于点H,BE⊥AC 于点E,交 CD 于点F,连接BD. (1) 求证:HD=HF; (2) 若∠ABC=60°,求证:BD 的 长等于☉O 的半径. (1) 可先转化为证明∠BFD=∠BDF,进 而转化为证明∠BFD=∠A;(2) 连接OB、 OD,转化为证明∠BOD=60°. 解答: 解有所悟:在探究两个圆周角(或圆周角与圆心角) 的关系时,先“由角找弧”,再“由弧找角”. 典例2图 典例2(黄石中考)如图,点A、B、 C 在☉O 上,CD⊥OA,CE⊥ OB,垂 足 分 别 为 D、E.若 ∠DCE=40°,则 ∠ACB 的 度 数为 ( ) A. 140° B. 70° C. 110° D. 80° 可以转化为求劣弧AB 的度数,也就是求 ∠AOB 的度数. 解答: 解有所悟:求圆周角的度数,常转化为求圆周角所 对弧的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (朝阳中考)如图,在☉O 中,A 是BC ︵ 的中 点,∠ADC=24°,则∠AOB的度数是 ( ) 第1题 A. 24° B. 26° C. 48° D. 66° 2. (滨州中考)如图,在☉O 中,弦AB、CD 相交 于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B 的度数为 ( ) 第2题 A. 32° B. 42° C. 52° D. 62° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 72 3. (阜新中考)如图,A、B、C 是☉O 上的三点. 若∠C=35°,则∠ABO 的度数是 ( ) A. 35° B. 55° C. 60° D. 70° 第3题 第4题 4. (枣庄中考)将量角器按如图所示的方式放 置在三角形纸板上,使点C 在半圆上.若点 A、B 的读数分别为86°、30°,则∠ACB 的度 数是 ( ) A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 5. (聊城中考)如图,AB、CD 是☉O 的弦,延长 AB、CD 相交于点P,连接OA、OC.若∠P= 30°,∠AOC=80°,则BD ︵ 的度数是 ( ) A. 30° B. 25° C. 20° D. 10° 第5题 第6题 6. (巴中中考)如图,在☉O 中,点A、B、C 在圆 上,∠ACB=45°,AB=22,则☉O 的半径 OA 的长是 ( ) A. 2 B. 2 C. 22 D. 3 7. 如图,A、B、C、D 是☉O 上的四个点,B 是 AC ︵ 的中点,M 是半径OD 上任意一点.若 ∠BDC=40°,则∠AMB 的度数不可能是 ( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 第7题 第8题 8. (永州中考)如图,AB 是☉O 的直径,点C、 D 在☉O 上,∠ADC=30°,则∠BOC= . 9. (湖州中考)如图,AB 是☉O 的弦,∠AOB= 120°,OC⊥AB,垂足为C,OC 的延长线交 ☉O 于点D.若∠APD 是AD ︵ 所对的圆周 角,则∠APD 的度数是 . 第9题 第10题 10. (盐城中考)如图,在☉O 中,点A 在BC ︵ 上,∠BOC=100°,则∠BAC= . 答案讲解 11. (襄阳中考)在☉O 中,若弦BC 垂 直平分半径OA,则弦BC 所对的 圆周角的度数为 . [综合提升] 答案讲解 12. 如图,在☉O 中,P 为AB ︵ 的中点, 弦AD、PC 互相垂直,垂足为M, 弦BC 分别与AD、PD 相交于点 E、N,连接BD、MN.求证:N 为BE 的 中点. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 26 CD.(2) B、E、C 三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的 圆上.理由:∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE=∠ABE. ∵ ∠BAD = ∠CBD,∠DBE = ∠CBD + ∠CBE, ∠DEB = ∠BAD + ∠ABE,∴ ∠DBE = ∠DEB. ∴ BD=DE.由(1),知BD=CD,∴ BD=DE=CD. ∴ B、E、C三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的圆上. 2.4 圆 周 角1 知识梳理 1. 圆上 相交 2. 一半 相等 3. 一半 典例演练 典例1 (1) ∵ CH⊥AB,∴ ∠BFH+∠FBH=90°. ∵ BE ⊥AC,∴ ∠A + ∠ABE =90°.∴ ∠BFH= ∠A.∵ ∠A=∠BDF,∴ ∠BFH=∠BDF.∴ BF= BD.又∵ BH⊥FD,∴ HD=HF.(2) 如图,连接OB、 OD.∵ CH ⊥ AB,∴ ∠BCH + ∠CBH =90°. ∴ ∠BCH=90°-∠CBH=90°-60°=30°.∴ ∠BOD= 2∠BCD=60°.又∵ OB=OD,∴ △OBD 为等边三角 形.∴ BD=OB,即BD 的长等于☉O 的半径. 典例1图 典例2 C 预学训练 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. D 8. 120° 9. 30° 10. 130° 11. 60°或120° 12. ∵ AD⊥PC,∴ ∠EMC=90°.∵ P 为AB︵ 的中点, ∴ PA︵ =PB︵.∴ ∠ADP=∠BCP.又∵ ∠DEN = ∠CEM,∴ 180°-∠ADP-∠DEN=180°-∠BCP- ∠CEM,即 ∠DNE = ∠EMC=90°.∴ 易 得 ∠B + ∠BDP= ∠DEN + ∠ADP =90°.∵ PB︵ =PA︵, ∴ ∠BDP=∠ADP.∴ ∠B=∠DEN.∴ DB=DE.又 ∵ ∠BDP=∠ADP,∴ EN=BN,即N 为BE 的中点. 2.4 圆 周 角2 知识梳理 1. 直角 2. 直径 典例演练 典例1 D 典例2 连接PE.∵ ∠PBE=90°,∴ PE 是☉O 的直 径.∴ ∠PAE=90°,PE=2.∴ BE2+PB2=PE2=22= 4.∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ AB=AC,∠BAC= 90°.∴ 易得∠C=∠ABC=45°.∴ ∠AEP=∠ABP= 45°.∴ 易 得 ∠APE= ∠AEP =45°.∴ AP =AE. ∵ ∠CAB=∠PAE=90°,∴ 易得∠CAP=∠BAE.在 △CAP 和△BAE 中, AC=AB, ∠CAP=∠BAE, AP=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CAP≌ △BAE.∴ PC=EB.∴ PC2+PB2=BE2+PB2=4. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. 6.5 9. 13° 10. (1) △ABC为等腰三角形.理由:连接AE.∵ DE︵= BE︵,∴ ∠DAE=∠BAE.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠AEB=90°.∴ 易得∠C+∠CAE=90°,∠ABC+ ∠BAE=90°.∴ ∠C=∠ABC.∴ AC=AB.∴ △ABC 为等腰三角形.(2) ∵ △ABC 为等腰三角形,∠AEB= 90°,∴ BE=CE=12BC= 1 2×12=6. 在Rt△ABE 中, ∵ 半圆 O 的半径为5,∴ AC=AB=10.∴ AE= AB2-BE2= 102-62=8.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠ADB=90°.∵ S△ABC= 1 2AE ·BC=12BD ·AC, ∴ BD=8×1210 = 48 5. 2.4 圆 周 角3 知识梳理 1. 内接四边形 外接圆 2. 互补 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈