2.3 确定圆的条件-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

68 2.3　确定圆的条件 1. 的三点确定一个圆. 2. 三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做 三角形的 ,这个三角形叫做圆的 三角形. 3. 三角形的外心是三角形 的圆心,是 三角形三边 的交点,它到三角形 的距离相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,点O 为锐角三角形ABC 的外心, 四边形OCDE 为正方形,且点E 在△ABC 的 外部,下列说法中,不正确的是 ( ) 典例1图 A. 点O 是△AEB 的外心,点O 不是△AED 的外心 B. 点O 是△BEC 的外心,点O 不是△BCD 的 外心 C. 点O 是△AEC 的外心,点O 不是△BCD 的 外心 D. 点O 是△ADB 的外心,点O 不是△ADC 的外心 判断点O 到三角形的三个顶点的距离是 否相等. 解答: 解有所悟:若某点到三角形的三个顶点的距离相 等,则该点是这个三角形的外心. 典例2 如图,点A、B、C 在一个损坏的轮子的 圆弧上. (1) 用直尺和圆规作出这个轮子所在圆的圆心 O(保留作图痕迹,不写作法与证明); (2) 若△ABC 是 等 腰 三 角 形,底 边 BC= 16cm,腰AB=10cm,求这个轮子的半径. 典例2图 (1) 分别作弦AB、AC 的垂直平分线,两 条垂直平分线的交点即为轮子所在圆的圆心 O;(2) 连接OA、OB、OC,利用垂径定理和勾股 定理求解. 解答: 解有所悟:(1) 确定“残缺圆”的圆心,只需作出该圆 任意两条不互相平行的弦的垂直平分线.(2) 求外 接圆的半径,一般先利用垂径定理构造直角三角 形,进而利用勾股定理求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 69 [基础过关] 1. A、B、C 三点满足下列条件:① AB=2, BC=3,AC=5;② AB=3,BC=3,AC=2; ③ AB=3,BC=4,AC=5.其中,过A、B、C 三点能确定一个圆的条件是 ( ) A. ①② B. ①②③C. ②③ D. ①③ 2. 过钝角三角形三个顶点作圆,其圆心在 ( ) A. 三角形内 B. 三角形上 C. 三角形外 D. 以上都有可能 3. 有下列命题:① 过两点可以作无数个圆; ② 经过三点一定可以作圆;③ 任意一个三 角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆; ④ 任意一个圆有且只有一个内接三角形.其 中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. A、B、C 分别表示三个村庄,AB=1000m, BC=600m,AC=800m,现拟建一个文化 活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距 离相等,则活动中心P 的位置 ( ) A. 在AC 的中点处 B. 在BC 的中点处 C. 在AB 的中点处 D. 不存在 5. 如图,在平面直角坐标系中,一条圆弧经过 网格点A、B、C,其中,点B 的坐标为(4,4), 则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ( ) A. (2,1)B. (2,2)C. (2,0)D. (2,-1) 第5题 第6题 6. 如图,AC、BE 是☉O 的直径,弦AD 与BE 交于点F,连接AB、BD、DE、EA、CF.下列 三角形中,外心不是点O 的是 ( ) A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE 7. 平面上有4个点,它们不在同一条直线上,过 其中3个点作圆,可以作出不重复的圆 n个,则n的值不可能为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,BC= DC,∠A=90°,∠ABC=105°.若BD=103, 则△ABD 的外心与△BCD 的外心的距 离为 ( ) A. 5 B. 53 C. 10 3 D. 10 33 第8题 第10题 9. 在△ABC 中,∠C=90°,AB=2,则这个三角 形的外接圆的半径为 . 10. 如 图,△ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 坐 标 是 . 11. 当A(1,2)、B(3,-3)、C(5,n)三点可以确定 一个圆,则n需要满足的条件为 . 12. 如图,点O 是△ABC 的外心,∠A=40°,连 接BO、CO,则∠BOC 的度数是 . 第12题 第13题 答案讲解 13. (玉林中考)如图,在5×7的网格 中,各小正方形的边长均为1,点 O、A、B、C、D、E 均在格点上,点 O 是△ABC 的外心,在不添加其他字母的 情况下,除△ABC 外,外心也是点O 的三 角形有 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 70 答案讲解 14. 如图,在△ABC 中,AB=AC. (1) 用直尺和圆规作出△ABC 的 外心O; (2) 连接BO、CO,若BC=2,∠BOC=90°, 求△ABC 的面积. 第14题 15. (1) 如图①,△ABC 是等边三角形,点O 是 △ABC 的外心.求证:∠ABO=30°. (2) 如图②,△ABC 是等边三角形,分别延 长等边三角形ABC 的边AB、BC、CA 到点 D、E、F,使BD=CE=AF,连接DE、EF、 DF,点O 为△ABC 的外心.求证:点O 是 △DEF 的外心. ① ② 第15题 [综合提升] 答案讲解 16. 如图,AD 为△ABC 外接圆的直 径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC 的平分线交AD 于点E,连接BD、 CD. (1) 求证:BD=CD. (2) 若∠BAD=∠CBD,请判断B、E、C 三点是否在以点D 为圆心,DB 长为半径 的圆上? 请说明理由. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 24 30°,∴ 易得OF=12OE=1. 在Rt△ODF 中,OF=1, OD=4,∴ DF= OD2-OF2 = 42-12 = 15. ∴ CD=2DF=2 15. 典例1图 典例2 (1) 如图①,设OA=xcm,过圆心O 作OC⊥ AB,垂足为C,延长CO 交☉O 于点D,则OC=(80- x)cm,AC=12AB= 1 2×80=40 (cm).在Rt△OAC 中, 由勾股定理,得OA2=AC2+OC2,∴ x2=402+(80- x)2,解得x=50.∴ 油槽的半径OA 的长为50cm. (2) 如图②,设油槽中放出一部分油后的油面为A1B1,连 接OA1,过圆心O 作OM⊥A1B1,垂足为M,延长OM 交 ☉O 于点N,则A1M= 1 2A1B1= 1 2×60=30 (cm).在 Rt△OA1M 中,由勾股定理,得OM= OA21-A1M2= 502-302=40(cm),∴ MN=ON-OM=50-40= 10(cm).∴ 油面下降的高度为80-10=70(cm). 典例2图 预学训练 1. C 2. C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. B 8. B 9. 10 3 10. 5 11. 22 12. (-4,-6) 13. 23 14. 2 15. (1) 如图,AB 即为所求作的弦.(2) 4. 第15题 16. (1) 连接AC.∵ AB⊥CD,∴ AC︵=AD︵.∴ AC= AD.∵ CF 经过圆心O,CF⊥AD,∴ AF=DF.∴ CF 是 AD 的垂直平分线.∴ AC=CD.∴ AC=AD=CD. ∴ △ACD 是等边三角形.∴ ∠D=60°.∵ CF⊥AD, ∴ ∠CFD=90°.∴ ∠FCD=90°-60°=30°.∵ OE⊥ CD,∴ ∠OEC=90°.∴ 易得 OE= 12OC.∴ OE= 1 2OB ,即E 是OB 的中点.(2) ∵ AB=6,∴ OB=OC= 3.由(1),知BE=OE,∴ OE=32.∵ ∠OEC=90°,∴ 由 勾股定理,可得CE= OC2-OE2 = 32- 32 2 = 3 23.∵ OE⊥CD,∴ CD=2CE=33. 17. (1) 如图,设拱桥所在圆的圆心为点O,连接OB、 OA、OC、AC、BC,OC交AB 于点D.∵ C为AB︵ 的中点, ∴ AC︵=BC︵.∴ AC=BC.又∵ OA=OB,∴ OC 垂直平 分AB.∴ AD=BD,∠ODA=90°.根据题意,得CD= 4米,AB=12米,∴ AD=12AB=6 米.设这座拱桥所在 圆的半径长为x米,则OA=OC=x米,OD=OC-CD= (x-4)米.∵ 在 Rt△AOD 中,OA2=OD2+AD2, ∴ x2=(x-4)2+62,解得x=6.5.∴ 这座拱桥所在圆 的半径长为6.5米.(2) 货船不能顺利通过这座拱桥.理 由:如图,矩形EFMN 表示货船船舱高出水面的部分,则 MN=5米,MN∥EF,连接ON,MN 交CO 于点 H. ∵ MN ∥EF,∴ ∠NHO = ∠ODA =90°.∴ OC⊥ MN.∴ NH=12MN=2.5 米.又∵ ON=6.5米,∴ 在 Rt△ONH 中,OH = ON2-NH2 =6米.∵ OC= 6.5米,CD=4米,∴ OD=OC-CD=6.5-4= 2.5(米).∴ DH =OH -OD =6-2.5=3.5(米). ∵ 3.5<3.6,∴ 货船不能顺利通过这座拱桥. 第17题 2.3 确定圆的条件 知识梳理 1. 不在同一条直线上 2. 外接圆 内接 3. 外接圆 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 垂直平分线 三个顶点 典例演练 典例1 D 典例2 (1) 如图①,点O 即为所求作的圆心.(2) 如图 ②,连接OA、OB、OC,OA 交BC 于点D.由作法,设l1、 l2分别是AB、AC 的垂直平分线,∴ OB=OA=OC.又 ∵ AB=AC,∴ OA 垂直平分BC.∴ BD=12BC= 8cm.在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD = AB2-BD2= 102-82=6(cm).设这个轮子的半径 为Rcm,则OB=Rcm,OD=(R-6)cm.在Rt△BOD 中,由勾股定理,得OD2+BD2=OB2.∴ (R-6)2+82= R2,解得R=253.∴ 这个轮子的半径为25 3cm. 典例2图 预学训练 1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. B 7. C 8. A 9. 1 10. (6,2) 11. n≠-8 12. 80° 解析:如图,连接AO 并延长至点D.∵ 点O 是 △ABC 的外心,∴ OA=OB=OC.∴ ∠OAB=∠OBA, ∠OAC=∠OCA.∴ 易得∠DOB=∠OAB+∠OBA= 2∠OAB,∠DOC = ∠OAC + ∠OCA =2∠OAC. ∴ ∠DOB+∠DOC=2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+ ∠OAC)=2∠BAC=2×40°=80°. 第12题 13. △ABD、△ACD、△BCD 14. (1) 如图,点 O 即为所求作的外心.(2) 如图. ∵ AB=AC,∴ 点A 在边BC 的垂直平分线上.∵ 点O 是△ABC的外心,∴ 直线AO 是边BC 的垂直平分线, OA=OB=OC.设直线AO 交BC 于点D.∴ AD⊥BC, BD=CD= 12BC=1. 又∵ ∠BOC=90°,∴ OD= 1 2BC= 1 2×2=1.∴ OB= 12+12 = 2.∴ OA= 2.∴ AD=OA+OD= 2+1.∴ S△ABC= 1 2BC · AD=12×2× (2+1)=2+1. 第14题 15. (1) ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠ABC=60°,AB= AC=BC.∵ 点O 是△ABC 的外心,∴ OA=OB= OC.在△AOB 与△COB 中, AB=CB, OB=OB, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌ △COB.∴ ∠ABO = ∠CBO.∵ ∠ABC =60°,即 ∠ABO+∠CBO=60°,∴ ∠ABO=30°.(2) 如图,连接 OF、OD、OE.同理(1),得∠ABO=30°.∵ 点O 为△ABC 的外心,∴ OA=OB.∴ ∠OAB=∠ABO=30°.∴ 易得 ∠OAC=60°-30°=30°.∴ 180°-∠OAC=180°- ∠ABO.∴ ∠FAO=∠DBO.在△FAO 与△DBO 中, AF=BD, ∠FAO=∠DBO, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FAO≌△DBO.∴ OF=OD.同 理,可得OF=OE,∴ OF=OE=OD.∴ 点O 是△DEF 的外心. 第15题 16. (1) ∵ AD 为直径,AD⊥BC,∴ BD︵=CD︵.∴ BD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 CD.(2) B、E、C 三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的 圆上.理由:∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE=∠ABE. ∵ ∠BAD = ∠CBD,∠DBE = ∠CBD + ∠CBE, ∠DEB = ∠BAD + ∠ABE,∴ ∠DBE = ∠DEB. ∴ BD=DE.由(1),知BD=CD,∴ BD=DE=CD. ∴ B、E、C三点在以点D 为圆心,DB 长为半径的圆上. 2.4 圆 周 角1 知识梳理 1. 圆上 相交 2. 一半 相等 3. 一半 典例演练 典例1 (1) ∵ CH⊥AB,∴ ∠BFH+∠FBH=90°. ∵ BE ⊥AC,∴ ∠A + ∠ABE =90°.∴ ∠BFH= ∠A.∵ ∠A=∠BDF,∴ ∠BFH=∠BDF.∴ BF= BD.又∵ BH⊥FD,∴ HD=HF.(2) 如图,连接OB、 OD.∵ CH ⊥ AB,∴ ∠BCH + ∠CBH =90°. ∴ ∠BCH=90°-∠CBH=90°-60°=30°.∴ ∠BOD= 2∠BCD=60°.又∵ OB=OD,∴ △OBD 为等边三角 形.∴ BD=OB,即BD 的长等于☉O 的半径. 典例1图 典例2 C 预学训练 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. D 8. 120° 9. 30° 10. 130° 11. 60°或120° 12. ∵ AD⊥PC,∴ ∠EMC=90°.∵ P 为AB︵ 的中点, ∴ PA︵ =PB︵.∴ ∠ADP=∠BCP.又∵ ∠DEN = ∠CEM,∴ 180°-∠ADP-∠DEN=180°-∠BCP- ∠CEM,即 ∠DNE = ∠EMC=90°.∴ 易 得 ∠B + ∠BDP= ∠DEN + ∠ADP =90°.∵ PB︵ =PA︵, ∴ ∠BDP=∠ADP.∴ ∠B=∠DEN.∴ DB=DE.又 ∵ ∠BDP=∠ADP,∴ EN=BN,即N 为BE 的中点. 2.4 圆 周 角2 知识梳理 1. 直角 2. 直径 典例演练 典例1 D 典例2 连接PE.∵ ∠PBE=90°,∴ PE 是☉O 的直 径.∴ ∠PAE=90°,PE=2.∴ BE2+PB2=PE2=22= 4.∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ AB=AC,∠BAC= 90°.∴ 易得∠C=∠ABC=45°.∴ ∠AEP=∠ABP= 45°.∴ 易 得 ∠APE= ∠AEP =45°.∴ AP =AE. ∵ ∠CAB=∠PAE=90°,∴ 易得∠CAP=∠BAE.在 △CAP 和△BAE 中, AC=AB, ∠CAP=∠BAE, AP=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CAP≌ △BAE.∴ PC=EB.∴ PC2+PB2=BE2+PB2=4. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. 6.5 9. 13° 10. (1) △ABC为等腰三角形.理由:连接AE.∵ DE︵= BE︵,∴ ∠DAE=∠BAE.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠AEB=90°.∴ 易得∠C+∠CAE=90°,∠ABC+ ∠BAE=90°.∴ ∠C=∠ABC.∴ AC=AB.∴ △ABC 为等腰三角形.(2) ∵ △ABC 为等腰三角形,∠AEB= 90°,∴ BE=CE=12BC= 1 2×12=6. 在Rt△ABE 中, ∵ 半圆 O 的半径为5,∴ AC=AB=10.∴ AE= AB2-BE2= 102-62=8.∵ AB 为半圆O 的直径, ∴ ∠ADB=90°.∵ S△ABC= 1 2AE ·BC=12BD ·AC, ∴ BD=8×1210 = 48 5. 2.4 圆 周 角3 知识梳理 1. 内接四边形 外接圆 2. 互补 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈