2.2 圆的对称性1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

63 2.2　圆的对称性1 1. 圆是中心对称图形, 是它的对称 中心. 2. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 . 3. 在同圆或等圆中,如果两个 、两条 、两条 中有一组量相等, 那么 它 们 所 对 应 的 其 余 各 组 量 都 分 别 . 4. 1°的圆心角所对的弧叫做 . 5. 圆心角的度数与它所对的弧的度数 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1图 典例1 如图,点A、B、C、D 都在 ☉O 上,CD=AB,AB 与CD 交 于点E,连接AC、AD、BD.求证: (1) AC=BD; (2) BE=CE. (1) 转化为证明AC ︵ =BD ︵;(2) 转化为证 明△ABC≌△DCB. 解答: 解有所悟:在同圆或等圆中,证明两条弦相等,可转 化为证明弦所对的两条弧(或两个圆心角)相等. 典例2图 典例2 如图,五边形OABCD 的 顶点A、B、C、D 都在☉O 上.若 ABD ︵ 的度数为150°,∠A=65°, ∠D=60°,求BC ︵ 的度数. 转化为求BC ︵ 所对圆心角 的度数. 解答: 解有所悟:求弧的度数,可转化为求这条弧所对的 圆心角的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 等弧所对的弦相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 相等的弦所对的弧相等 第2题 2. 如图,在☉O 中,若C 是AB ︵ 的中 点,∠AOC=45°,则∠AOB 的度 数为 ( ) A. 45° B. 80° C. 85° D. 90° 3. 如图,在☉O 中,BC 是直径,AB ︵ =DC ︵, ∠AOD=80°,则∠ABC 的度数为 ( ) A. 40° B. 65° C. 100° D. 105° 第3题 第4题 4. 如图,AB 是☉O 的直径,弦CD 垂直平分 OB,则AC ︵ 的度数为 ( ) A. 60° B. 120° C. 75° D. 150° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 64 5. 已知弦AB 把圆周分成7∶3的两部分,则弦 AB 所对应的圆心角的度数为 . 6. 如图,在☉O 中,AC=BD.若∠AOC= 120°,则∠BOD 的度数为 . 第6题 第7题 第8题 7. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以AC 长为半 径的☉C 与AB 相交于点D.若∠B=40°,则 AD ︵ 的度数为 . 8. 如图,等腰三角形ABC 的顶角∠CAB 为 50°,以腰AB 为直径作半圆,交BC 于点D, 交AC 于点E,则DE ︵ 的度数为 . 9. 如图,在☉O 中,AC ︵ =BC ︵,CD⊥OA 于点 D,CE⊥OB 于点E.求证:AD=BE. 第9题 10. 如图,正方形ABCD 的顶点A、B、C、D 都 在☉O 上,M 为AD ︵ 的中点,连接BM、 CM. (1) 求证:BM=CM; (2) 连接OB、OM,求∠BOM 的度数. 第10题 答案讲解 11. 如图,以▱ABCD 的顶点A 为圆 心,AB 长为半径作圆,分别交 AD、BC 于点E、F,延长BA 交 ☉A 于点G. (1) 求证:GE ︵ =EF ︵; (2) 若BF ︵ 的度数为70°,求∠C 的度数. 第11题 答案讲解 [综合提升] 12. 如图,在☉O 中,如果AB ︵ =2AC ︵, 那么 ( ) 第12题 A. AB=AC B. AB=2AC C. AB<2AC D. AB>2AC 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 23 9. 5 10. 2 8 11. ∵ OC=OB,∴ ∠OCB=∠OBC=40°.∴ ∠BOC= 180°- ∠OBC - ∠OCB =180°-40°-40°=100°. ∴ ∠AOC= ∠AOB + ∠BOC =50°+100°=150°. ∵ OA=OC,∴ ∠OAC=180°-∠AOC2 =15°. 12. 连 接 BD,取 BD 的 中 点 O,连 接 OA、OC. ∵ ∠BAD=∠BCD=90°,O 是BD 的中点,∴ OA= OB=OD=OC.∴ A、B、C、D 四个点在同一个圆上. 13. AC=BD.理由:连接OC、OD.∵ OA=OB,AE= BF,∴ 易 得 OE =OF.∵ CE ⊥AB,DF ⊥AB, ∴ ∠OEC=∠OFD=90°.在Rt△OEC 和Rt△OFD 中, OC=OD, OE=OF, ∴ Rt△OEC ≌Rt△OFD.∴ ∠COE = ∠DOF.在 △OAC 和 △OBD 中, OC=OD, ∠AOC=∠BOD, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAC≌△OBD.∴ AC=BD. 2.2 圆的对称性1 知识梳理 1. 圆心 2. 相等 相等 3. 圆心角 弧 弦 相等 4. 1°的弧 5. 相等 典例演练 典例1 (1) ∵ CD=AB,∴ CD︵=AB︵,即AC︵+AD︵= BD︵+AD︵.∴ AC︵=BD︵.∴ AC=BD.(2) 连接BC.在 △ABC 和△DCB 中, AC=DB, AB=DC, BC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠ABC=∠DCB.∴ BE=CE. 典例2 如图,连接OB、OC.∵ OA=OB=OC=OD, ∴ ∠A=∠OBA=65°,∠OCD=∠D=60°.∴ ∠1= 180°-2×65°=50°,∠3=180°-2×60°=60°.∵ ABD︵ 的 度数为150°,∴ ∠AOD=150°.∴ ∠2=∠AOD-∠1- ∠3=150°-50°-60°=40°.∴ BC︵ 的度数为40°. 典例2图 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. B 5. 108° 6. 120° 7. 80° 8. 50° 9. 连接OC.∵ AC︵=BC︵,∴ ∠AOC=∠BOC.∵ CD⊥ OA,CE⊥OB,∴ ∠CDO=∠CEO=90°.在△COD 和 △COE 中, ∠CDO=∠CEO, ∠DOC=∠EOC, OC=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COD ≌ △COE. ∴ OD=OE.∵ AO=BO,∴ AO-OD=BO-OE,即 AD=BE. 10. (1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=CD. ∴ AB︵=CD︵.∵ M 为 AD︵ 的 中 点,∴ AM︵ =DM︵. ∴ AB︵+AM︵ =CD︵ +DM︵,即 BM︵ =CM︵.∴ BM = CM.(2) 连接 OA、OD.∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=DA.∴ AB︵=BC︵=CD︵=AD︵.∴ 易 得∠AOB=∠AOD=90°.∵ M 为AD︵ 的中点,∴ AM︵= DM︵.∴ ∠AOM = ∠DOM = 12 ∠AOD = 45°. ∴ ∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°. 11. (1) 连接AF.∵ AB=AF,∴ ∠B=∠AFB.∵ 四边 形ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠GAD=∠B, ∠AFB=∠DAF.∴ ∠GAD=∠DAF.∴ GE︵=EF︵. (2) ∵ BF︵ 的度数为70°,∴ ∠BAF=70°.∵ AB=AF, ∴ ∠B=∠AFB=12 (180°-∠BAF)=55°.∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AB∥CD.∴ ∠C=180°- ∠B=125°. 12. C 2.2 圆的对称性2 知识梳理 1. 过圆心的任意一条直线 2. 弦 两条弧 典例演练 典例1 如图,过点 O 作OF⊥CD,垂足为 F,连接 OD.∵ OF⊥CD,∴ ∠OFD=∠OFC=90°,CF= DF.∵ AE=2,EB=6,∴ AB=AE+EB=2+6=8. ∴ OA=4.∴ OE=OA-AE=4-2=2.∵ ∠DEB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈