专题6 二次根式的性质与计算-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

19 OB 为邻边时,点B(6,1)先向左平移6个单位长度,再向 下平移1个单位长度到点O(0,0),则点A(2,3)也先向左 平移6个单位长度,再向下平移1个单位长度到点P, ∴ P(-4,2);② 当OA 和OB 为邻边时,点O(0,0)先向 右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度到点 A(2,3),则点B(6,1)也先向右平移2个单位长度,再向 上平移3个单位长度到点P',∴ P'(8,4);③ 当AB 和 OA 为邻边时,点A(2,3)先向右平移4个单位长度,再向 下平移2个单位长度到点B(6,1),则点O(0,0)也先向右 平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度到点P″, ∴ P″(4,-2).综上所述,点 P 的坐标为(-4,2)或 (8,4)或(4,-2). 第21题 专题六　二次根式的性质与计算 1. B 2. D 3. C 4. x>4 5. x≥0且x≠9 6. x≤ 4且x≠±1 7. 由 a2-9,得a2-9≥0①.由 9-a2,得9-a2≥0, ∴ a2-9≤0②.由①②,得a2-9=0,解得a=±3.又 ∵ a+3≠0,即a≠-3,∴ a=3.当a=3时,b=4,∴ a+ b=3+4=7. 被开方数互为相反数的二次根式 当题目中含有多个二次根式,即根号不止一个时, 要注意挖掘隐含条件———被开方数互为相反数的二次 根式,如同时含有 a与 -a,则由二次根式有意义的 条件可知 a≥0, -a≥0, 即 a≥0 , a≤0, 所以a=0,进而将a= 0代入,从而使问题获解.注意看a=0是否符合题意. 8. 由 a+b-2020,得 a+b-2020≥0①.由 2020-a-b,得2020-a-b≥0,∴ a+b-2020≤ 0②.由①②,得a+b-2020=0,∴ a+b=2020.把a+ b=2020 代 入,得 2x+y-3+ x-2y-4=0. ∵ 2x+y-3≥0, x-2y-4≥0,∴ 2x+y-3= 0且 x-2y-4=0.∴ 2x+y-3=0, x-2y-4=0, 解得 x=2, y=-1. ∴ 7x+y2020=7×2+(-1)2020=14+1=15. 9. A 10. B 11. C 12. D 13. A 14. C 15. 该 同 学 的 答 案 不 正 确.理 由:∵ (a)2 + a2-2a+1=a+|a-1|,∴ 当a≥1时,原式=a+a- 1=2a-1≥1;当0≤a<1时,原式=a+1-a=1.∴ 在 满足条件的范围内,无论a取何值,原式的值都是大于等 于1的,不可能为12.∴ 该同学的答案不正确. 16. M= (x-2)2-x+3=|x-2|-x+3.∵ 当x≤ 2时,|x-2|=2-x,∴ M=2-x-x+3=5-2x.∴ 当 x=1时,M=5-2x=3;当x=2时,M=5-2x=1.∵ 当 x>2时,|x-2|=x-2,∴ M=x-2-x+3=1.∴ 当x 分别取1、2、3、…、2025时,所对应的 M 的值的总和为 3+1+1×(2025-2)=2027. 17. (1) 2-2.(2) 5+32-53.(3) -13. 18. 原式=- xy.当x= 6+ 2,y= 6- 2时,原 式=-2. 19. ∵ y= x-2+ 2-x+1,∴ x-2≥0且2-x≥ 0.∴ x=2.当x=2时,y=1.原式=8x-48y- 1 x xy. 当x=2,y=1时,原式=8×2-48×1- 1 22=-32- 1 22. 20. (1) 3+ 7;23. (2) <.(3) ∵ a 2+1 +b 2 =-1+ 22,∴ a(2-1)+ 22b=-1+22.∴ (1-a)+ a+12b-2 2=0.∵ a、b为有理数,∴ 1-a=0,a+ 1 2b-2=0 ,解得a=1,b=2. 专题七　一元二次方程根的判别式 　 　 与根与系数的关系综合 1. 根据题意, 得k-1≠0且b2-4ac=(-4)2-4(k- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 50 专题六　二次根式的性质与计算 二次根式的性质主要有:(1) a≥0(a≥0);(2) (a)2=a(a≥0);(3) a2=|a|,其中性质 (1)常用于确定字母的取值范围,性质(2)(3)常用于化简二次根式.二次根式的运算主要有加、 减、乘、除,其中乘、除法的依据分别是 a·b= ab(a≥0,b≥0)、a b = ab (a≥0,b>0),加、 减法的法则是二次根式相加减,先将各个二次根式化简,再合并同类二次根式.进行二次根式的混 合运算时,整式运算中的法则、公式和运算律仍然适用.二次根式的性质与计算一直是考查的热点. 类型一 利用二次根式被开方数的非负性求 字母的值或取值范围 1. (内江中考)在y= 2-x+ 1 x+1 中,自变量 x的取值范围是 ( ) A. x≤2 B. x≤2且x≠-1 C. x≥2 D. x≥2且x≠-1 2. 下列二次根式中,x的取值范围是x≥2的为 ( ) A. 2-x B. 1 x-2 C. x-2 x2-4 D. 3x-6 3. (绥化中考)若式子 x+1+x-2在实数范围 内有意义,则x的取值范围是 ( ) A. x>-1 B. x≥-1 C. x≥-1且x≠0 D. x≤-1且x≠0 4. (常德中考)要使代数式 x x-4 有意义,则x 的取值范围是 . 5. 如果 1 x-3 有意义,那么x 的取值范围是 . 6. 当 4-x x2-1 有意义时,x 应满足的条件是 . 7. ★若a、b为实数,且b= a 2-9+ 9-a2 a+3 + 4,求a+b的值. 答案讲解 8. 已知 2x+y-3+ x-2y-4= a+b-2020· 2020-a-b,求 7x+y2 020的值. 类型二 利用 a2 =|a|及二次根式被开方 数的非负性化简 9. 若2、5、n 为 三 角 形 的 三 边 长,则 化 简 (3-n)2+ (8-n)2的结果为 ( ) A. 5 B. 2n-10 C. 2n-6 D. 10 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 51 10. 已知 54n为正整数,则正整数n 的最小 值为 ( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如果 (3a-2)2=3a-2,那么a的取值范 围是 ( ) A. a>23 B. a<23 C. a≥23 D. a≤23 12. 与-x -1x 相等的是 ( ) A. - x B. -x2 -x C. - -x D. -x 13. 把(a-1) 11-a 中的a-1移到根号内,结 果为 ( ) A. - 1-a B. a-1 C. 1-a D. - a-1 14. 化简 -x3-x -1x 的结果为 ( ) A. (x-1)x B. -(x+1)x C. (1-x)-x D. (x-1)-x 15. 某同学做了这样一道题:当a= 时,试求 (a)2+ a2-2a+1的值.其中, 是被墨 水弄污的,该同学所求得的答案为1 2 ,则该 同学的答案是否正确? 请说明理由. 16. 已知M= (x-2)2-x+3,当x 分别取 1、2、3、…、2 025时,求所对应的M 的值的 总和. 类型三 二次根式的运算 17. 计算: (1) 48÷23- 27× 63+4 1 2 ; (2) (2- 3)2 +| 12 - 18|- (3-2)2; (3) 2 2x3- 10x · 15 ÷ 6x3 (x>0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 类型四 先化简再求值 18. 先 化 简,再 求 值:6x yx + 3 y xy 3 - 4y xy+ 36xy ,其中x= 6+ 2,y= 6-2. 19. 已知y= x-2+ 2-x+1,求(48y+ 8x)(22x-43y)- yx 的值. 类型五 分母有理化 答案讲解 20. 【阅读材料】 两个含有二次根式的代数式相乘, 积不含有二次根式,我们称这两个 代数式互为有理化因式.例如 a 与 a, 2+1与2-1等都是互为有理化因式.在 进行二次根式的计算时,利用有理化因式, 可以化去分母中的根号,称为分母有理化. 例 如:1 23 = 3 23×3 = 36 ;2+1 2-1 = (2+1)2 (2-1)(2+1) =3+22. 【解决问题】 (1) 3- 7的有理化因式为 ,将 2 32 分母有理化得 ; (2) 比较大小:2023- 2022 2022- 2021(填“>”“<”或“=”); (3) 已知有理数a、b 满足 a 2+1 +b 2 = -1+22,求a、b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A