专题4 一次函数图像下图形的面积问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

16 ∴ 原式=3x+5-2x- 13x+5-2x-5=x+5- 1 x = x2+5x-1 x = 3x+5 5 +5x-1 x = 28 5. 12. ∵ x2+x-1=0,∴ x2=-x+1.∴ 原式= 3-(-x+1)-x(-x+1) x-3 = 3+x-1+x2-x x-3 = 2+(-x+1) x-3 =-1. 13. ∵ 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,∴ 4x-3y=6z, x+2y=7z, 解得 x=3z, y=2z. ∴ 原式=2×(3z) 2+3×(2z)2+6z2 (3z)2+5×(2z)2+7z2 =1. 14. 设x 3= y 4= z 5=k ,则x=3k,y=4k,z=5k.∴ 原 式= (3k)2-3×3k×4k+2×(5k)2 3(3k)2+2×3k×4k-(5k)2 = 23 26. 已知连等式求分式的值的解题策略 已知几个比相等的式子(习惯上称为“连等式”)求 分式的值,可设出几个比的比值(如设为k),将不同字 母用含同一参数k的代数式表示,这时待求分式可转 化为含k的式子,进而可将分子、分母分别进行计算, 从而求得分式的值.参数法求值有时又称为“设k法”. 15. ∵ 2 x= 3 y-z= 5 z+x ,∴ x 2= y-z 3 = z+x 5 . 设x 2= y-z 3 = z+x 5 =k ,∴ x=2k,y-z=3k,z+x=5k. ∴ y=6k,z=3k.∴ 原式=5×2k-6k6k+2×3k= 1 3. 16. ∵ x+1x=4 ,∴ x4+x2+1 x2 = x4 x2+ x2 x2+ 1 x2=x 2+ 1+1x2= x 2+2+1x2 -2+1= x+1x 2 -1=42-1= 15.∴ 原式=115. 17. ∵ x x2-3x+1=1 ,∴ x2-3x+1 x =1.∴ x-3+1x= 1.∴ x+ 1x =4.∴ x4-9x2+1 x2 =x 2-9+ 1x2 = x+1x 2 -11=42-11=5.∴ 原式=15. 18. ∵ ab a+b= 1 3 ,∴ a+b ab =3.∴ 1 a + 1 b =3. 同理, 1 b+ 1 c =4 ,1 c + 1 a =5.∴ 1 a+ 1 b + 1b+1c + 1 c+ 1 a =3+4+5=12.∴ 1 a + 1 b + 1 c =6. ∴ ab+bc+ca abc = 1 c+ 1 a+ 1 b=6.∴ 原式=16. 专题四　一次函数图像下图形的 面积问题　　 1. 2 2. 11 3 3. 设直线AB 交x 轴于点D.在y=3x+3中,当y= 0时,x=-1;当x=0时,y=3.∴ C(-1,0)、A(0,3).在 y=-x+3中,当y=0时,x=3,∴ D(3,0).∴ CD= 3-(-1)=4.联立 y=-x+3, y= 1 2x+ 1 2 , 解得 x=53 , y= 4 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点B 的坐 标 为 5 3 ,4 3 .∴ △ABC 的 面 积 为 S△ACD - S△BCD= 1 2×4×3- 1 2×4× 4 3= 10 3. 4. 如图,过点A 作AD∥y 轴,交BC 于点D.在y= -12x+1 中,当y=0时,x=2;当x=0时,y=1. ∴ A(2,0)、B(0,1).设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b.把 (0,1)、(4,2)代 入,得 1=b, 2=4k+b, 解 得 b=1, k=14. ∴ 直线BC 对应的函数表达式为y=14x+ 1.∵ A(2,0),AD∥y 轴,∴ 点D 的横坐标为2.在y= 1 4x+1 中,当x=2时,y= 1 4×2+1= 3 2 ,∴ 点D 的坐 标为 2,32 .∴ AD=32.∴ S△ABC=S△ADB+S△ADC= 1 2× 3 2×2+ 1 2× 3 2× (4-2)=3. 第4题 5. y=-2x-2 6. 在y=- 1 2x+6 中,当x=0时,y=6,∴ C(0,6). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 ∴ OC=6.联立 y=- 1 2x+6 , y= 1 2x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=6, y=3. ∴ A(6, 3).由题意,可设点D 的坐标为 m,12m .∵ D 是线段 OA 上的点,△COD 的面积为12,∴ 易得1 2×6m=12 ,解 得m=4.∴ 点D 的坐标为(4,2).设直线CD 对应的函数 表达式为y=kx+b.把(0,6)、(4,2)代入,得 6=b, 2=4k+b, 解得 k=-1, b=6. ∴ 直线CD 对应的函数表达式为y= -x+6. 7. 在y=-x+2中,当y=0时,x=2;当x=0时,y= 2.∴ A(2,0)、B(0,2).∴ OA=OB=2.∵ BC=BA, OB⊥AC,∴ OC=OA=2.∴ AC=4,C(-2,0). ∵ S△COD =S△BDE,∴ S△COD +S四边形AODE =S△BDE + S四边形AODE,即S△ACE=S△AOB.设点E 的坐标为(t,-t+ 2).∴ 1 2×4 (-t+2)=12×2×2 ,解得t=1.∴ E(1, 1).设直线CE 对应的函数表达式为y=mx+n.把 C(-2,0)、E(1,1)代入,得 0=-2m+n, 1=m+n, 解得 m=13 , n=23. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线CE 对应的函数表达式为y= 1 3x+ 2 3. 8. 设直线AC对应的函数表达式为y=kx+b,过点C 作 CE⊥y轴于点E,则∠BEC=90°.∴ 易得四边形ODCE 为矩形.设点B 的坐标为(0,a),则BO=a.∵ A(-3, 0),∴ OA=3.∵ 线段AB 绕点B 旋转90°至BC 处, ∴ AB=BC,∠ABC=90°.当线段AB 绕点B 按顺时针 方向旋转90°时,如图①.∵ ∠ABC=90°,∴ ∠ABO+ ∠EBC=90°.∵ ∠AOB=90°,∴ ∠ABO+∠OAB= 90°.∴ ∠EBC=∠OAB.又∵ ∠BEC=∠AOB=90°, BC=AB,∴ △EBC≌△OAB.∴ CE=BO=a,EB= OA=3.∴ OE=a+3.∵ 四边形ABCD 的面积为36, ∴ a(a+3)-12a×3×2=36 ,解得a=6(负值舍去). ∴ 易得点C 的坐标为(-6,9).将A(-3,0)、C(-6, 9)代入y=kx+b,得 0=-3k+b, 9=-6k+b, 解得 k=-3 , b=-9. ∴ 直 线AC对应的函数表达式为y=-3x-9.当线段AB 绕 点B 按逆时针方向旋转90°时,如图②.同理,可得 1 2a (a+a-3)+12a×3=36 ,解得a=6(负值舍去). ∴ 易得点C 的坐标为(6,3).将A(-3,0)、C(6,3)代入 y=kx+b,得 0=-3k+b, 3=6k+b, 解得 k= 1 3 , b=1. ∴ 直线AC 对 应的函数表达式为y= 1 3x+1. 综上所述,直线AC 对应 的函数表达式为y=-3x-9或y= 1 3x+1. 第8题 9. 存在.在y=- 4 3x+4 中,当y=0时,0=- 4 3x+4 , 解得x=3,∴ A(3,0).∴ OA=3.∵ △DAB 沿直线AD 折叠 得 到 △DAC,∴ ∠BDA = ∠CDA,∠ABD = ∠ACD.∵ ∠OAB=∠EAC,∴ 易得∠AOB=∠AEC= 90°.∴ ∠AOD=∠AED=90°.又∵ ∠BDA=∠CDA, AD=AD,∴ △ADO≌△ADE.∴ S△ADO =S△ADE. ∵ D(0,-6),∴ OD=6.∵ OA=3,∴ S△ADO= 1 2OA · OD=9.∴ S△ADE=9.∵ S△PAD= 1 2S△ADE ,∴ S△PAD= 9 2. 设 点 P 的 坐 标 为(0,m).∴ DP=|m +6|. ∴ 1 2DP ·OA=12×|m+6|×3= 9 2 ,解得m=-3或 m=-9.∴ y 轴上存在一点P,使得S△PAD= 1 2S△ADE , 点P 的坐标为(0,-3)或(0,-9). 10. 在y= 2 3x+2 中,当x=0时,y=2;当x=3时,y= 4,∴ B(0,2),D(3,4).把C(1,0)、D(3,4)代入y=kx+ b,得 0=k+b, 4=3k+b, 解得 k=2 , b=-2. ∴ 直线CD 对应的函数表 达式为y=2x-2.在y=2x-2中,当x=0时,y=-2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 ∴ E(0,-2).∴ BE=4.∵ 直线BQ 将△BDE 的面积分 为1∶2 两 部 分,∴ S△BEQ = 1 3S△BDE 或S△BEQ = 2 3S△BDE. 如图,过点D 作DH⊥y 轴于点H,则DH= 3.∴ S△BDE= 1 2BE ·DH=12×4×3=6.∴ S△BEQ= 1 3×6=2 或S△BEQ= 2 3×6=4. 设Q(t,2t-2),t>0.过 点Q 作QM⊥y轴于点M,则QM=t.∴ 1 2×4×t=2 或 1 2×4×t=4 ,解得t=1或2.当t=1时,2t-2=0;当t= 2时,2t-2=2,∴ 点Q 的坐标为(1,0)或(2,2). 第10题 专题五　反比例函数图像下几何 图形的性质　 1. A 2. A 3. 24 4. A 解析:如图,作双曲线的对称轴l,交BC 于点D,则 直线l对应的函数表达式为y=x.设直线BC 对应的函 数表达式为y=mx+n.把B(2,5)、C(6,1)代入,得 2m+n=5, 6m+n=1, 解得 m=-1 , n=7. ∴ 直线BC 对应的函数表达 式为y=-x+7.联立 y=x, y=-x+7, 得 x=72 , y= 7 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点D 的坐标为 7 2 ,7 2 .∴ k的最大值为72× 7 2= 49 4. 当点 A 在函数y= k x 的图像上时,k=2,∴ k 的最小值为 2.∴ 2≤k≤494. 第4题 5. 4 6. D 7. D 利用等积变换构造基本图形 过双曲线y= k x 上的任意一点向x轴(或y轴)作 垂线,则垂线与y轴(或x 轴)平行.以垂线段为底,第 三个顶点在y轴(或x 轴)上的三角形面积都相等,可 将一般位置下的三角形面积转化为双曲线上这一点和 垂足以及坐标原点构成的三角形的面积,即等于1 2|k|. 8. 3 9. C 10. -4 11. 3 12. D 13. 3 14. 8 15. A 16. A 17. B 18. 10 19. 24 20. (1) 由题意,将A(2,3)代入y= m x ,得m=2×3=6, ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. 当y=-2时,x=-3, ∴ B(-3,-2).将A(2,3)、B(-3,-2)代入y=kx+b, 得 3=2k+b, -2=-3k+b, 解得 k=1 , b=1. ∴ 一次函数的表达式为 y=x+1.(2) 在y=x+1中,当y=0时,x=-1, ∴ C(-1,0).设P(n,0),则PC=|1+n|.∵ S△ABP= 10,∴ 易得1 2×|1+n|× (3+2)=10,解得n=3或n= -5.∴ 点P 的坐标为(3,0)或(-5,0). 21. (1) ∵ 点A(2,m)、B(n,1)在反比例函数y2= 6 x 的 图像上,∴ 2m=6,n=6.∴ m=3.∴ A(2,3)、B(6, 1).∵ 点A(2,3)、B(6,1)在一次函数y1=kx+b的图像 上,∴ 3=2k+b, 1=6k+b, 解得 k=- 1 2 , b=4. ∴ 一次函数的表达式 为y1=- 1 2x+4. (2) 如图①,记一次函数y1=- 1 2x+ 4的图像与x 轴、y 轴的交点为D、C.在y1=- 1 2x+ 4中,当x=0时,y1=4;当y1=0时,x=8,∴ C(0,4)、 D(8,0).∴ OC=4,OD=8.过点A 作AE⊥y轴于点E, 过点 B 作BF⊥x 轴于点F.∵ A(2,3)、B(6,1), ∴ AE=2,BF=1.∴ S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD= 1 2OC ·OD-12OC ·AE-12OD ·BF=12×4×8- 1 2×4×2- 1 2×8×1=8. (3) 存在.如图②.① 当AB 和 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 专题四　一次函数图像下图形的面积问题 一次函数图像下图形的面积问题的主要题型有:(1) 由一次函数表达式求面积,这类问题就 是求图形上关键点的坐标;(2) 由面积求一次函数表达式,这类问题是将面积用一次函数图像上 关键点的坐标来表示,求出关键点的坐标,进而利用待定系数法求一次函数表达式;(3) 由面积之 间的关系求点的坐标,这类问题是将面积之间的关系转化为用待求点的坐标表示,并结合待求点 所在直线的函数表达式即可求解. 类型一 由一次函数表达式求面积 1. 如图,直线y=2x+4与x 轴交于点A,与 y轴交于点B,D 为OB 的中点,▱OCDE 的 顶点C 在x 轴上,顶点E 在直线AB 上,则 ▱OCDE 的面积为 . 第1题 第2题 2. 如图,直线l与x 轴、y 轴分别交于A(-4, 0)、B(0,2)两点,函数y=-x+1的图像与 y 轴、直线l分别交于点C、P,则四边形 AOCP 的面积为 . 3. 如图,一次函数y=3x+3的图像与坐标轴 交于A、C 两点,过点A 的直线y=-x+3 与过点C 的直线y= 1 2x+ 1 2 交于点B,求 △ABC 的面积. 第3题 4. 如图,一次函数y=- 1 2x+1 的图像与坐标 轴分别交于A、B两点,点C的坐标为(4,2), 连接AC、BC,求△ABC 的面积. 第4题 类型二 由面积求一次函数表达式 5. 如图,四边形ABCO 是正方形,点B 的坐标 为(-4,4),直线l经过点D(0,-2),且把正 方形ABCO 的面积分成相等的两部分,则直 线l对应的函数表达式为 . 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 44 6. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 1 2x+ 6与y轴交于点C,且与直线y= 1 2x 交于点 A,D 是线段OA 上的点,且△COD 的面积 为12.求直线CD 对应的函数表达式. 第6题 7. 如图,直线y=-x+2与x 轴交于点A,与 y轴交于点B,点C 在x轴上,且BC=BA, 过点C 的直线与y 轴交于点D,与线段AB 交于点E.求使△OCD 与△BDE 面积相等 的直线CE 对应的函数表达式. 第7题 8. 如图,点A 的坐标为(-3,0),B 为y轴正半 轴上一点,将线段AB 绕点B 旋转90°至BC 处,过点C 作CD⊥x 轴于点D.若四边形 ABCD 的面积为36,求直线AC 对应的函数 表达式. 第8题 类型三 由面积之间的关系求点的坐标 答案讲解 9. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y=- 4 3x+4 与x 轴、y 轴分别交 于点A、B,点D(0,-6)在y轴的负半轴上. 若将△DAB 沿直线AD 折叠,点B 恰好落 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 45 在x轴正半轴上的点C 处,直线CD 交AB 于点E.y 轴 上 是 否 存 在 一 点 P,使 得 S△PAD= 1 2S△ADE ? 若存在,请求出点P 的 坐标;若不存在,请说明理由. 第9题 答案讲解 10. 如图,一次函数y= 2 3x+2 的图像 分别与x 轴、y轴相交于点A、B, 且与经过点C(1,0)的一次函数y=kx+b 的图像相交于点D(3,m),直线CD 与y轴 相交于点E.Q 为线段DE 上的一个动点. 若直线BQ 将△BDE 的面积分为1∶2两 部分,试求点Q 的坐标. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优