第1章 一元二次方程2(九年级上册)-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

26 第1章　一元二次方程2 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. (龙东地区中考)关于x 的一元二次方程 (m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后 不含一次项,则m 的值为 ( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 2. (乐山中考)关于x 的一元二次方程3x2- 2x+m=0有两根,其中一根为x=1,则这 两根的积为 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. -13 3. (雅安中考)若关于x 的一元二次方程x2+ 6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则 c的值为 ( ) A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 4. (怀化中考)下列一元二次方程有实数解 的是 ( ) A. 2x2-x+1=0 B. x2-2x+2=0 C. x2+3x-2=0 D. x2+2=0 5. (哈尔滨中考)某种商品原来每件的售价为 150元,经过连续两次降价后,该种商品每件 的售价为96元.设平均每次降价的百分率 为x,根据题意,所列方程正确的是 ( ) A. 150(1-x2)=96 B. 150(1-x)=96 C. 150(1-x)2=96 D. 150(1-2x)=96 6. (宜宾中考)已知m、n是一元二次方程x2+ 2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m 的值为 ( ) A. 0 B. -10 C. 3 D. 10 7. (大庆中考)若x0 是方程ax2+2x+c=0 (a≠0)的一个根,设M=1-ac,N=(ax0+ 1)2,则M 与N 的大小关系为 ( ) A. M>N B. M=N C. M<N D. 无法确定 8. (通辽中考)关于x 的一元二次方程x2- (k-3)x-k+1=0的根的情况,下列说法 正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. (遵义中考)在解一元二次方程x2+px+ q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的 两个根是x1=-3,x2=1,小明看错了一次 项系数p,得到方程的两个根是x1=5,x2= -4,则原来的方程是 ( ) A. x2+2x-3=0 B. x2+2x-20=0 C. x2-2x-20=0 D. x2-2x-3=0 答案讲解 10. (遂宁中考)已知m 为方程x2+ 3x-2022=0的根,则m3+2m2- 2025m+2022的值为 ( ) A. -2022 B. 0 C. 2022 D. 4044 二、 填空题(每小题3分,共21分) 11. (资阳中考)若a是一元二次方程x2+2x- 3=0 的 一 个 根,则 2a2+4a 的 值 是 . 12. (枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4,另 两边的长是关于x 的方程x2-6x+n=0 的两个根,则n的值为 . 13. ★若关于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、 m 为常数,a≠0)的解是x1=-3,x2=2, 则方程a(x+m+1)2+b=0的解是 . 14. 若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2x+ 1=0有两个不相等的实数根,且k为非负 整数,则符合条件的k的值有 个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 27 15. (日照中考)关于x 的一元二次方程2x2+ 4mx+m=0有两个不相等的实数根x1、 x2,且x21+x22= 3 16 ,则m= . 16. (乐山中考)已知y≠0,且x2-3xy-4y2= 0,则xy 的值是 . 答案讲解 17. ★(鄂州中考)如果实数a、b分别 满足a2-4a+3=0,b2-4b+3= 0,且a≠b,那么1a+ 1 b 的值为 . 三、 解答题(共49分) 18. (6分)解下面的方程. (1) (2x-3)2=5(3-2x); (2) (x+8)(x+1)=-12. 19. (8分)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+ 2=0. (1) 求证:不论 m 为何值,方程总有实 数根; (2) 当m 为何整数时,方程有两个不相等 的正整数根? 20. (8分)某村计划建设如图所示的矩形蔬菜 温室,要求长与宽的比为2∶1.在温室内, 沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧 内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的 长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积 为288m2? 第20题 21. (8分)已知▱ABCD 的两边AB、AD 的长 是关于x的方程x2-ax+a-1=0的两个 实数根. (1) 若AB 的长是2,则AD 的长是多少? (2) 当a为何值时,四边形ABCD 是菱形? 求出此时菱形的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 28 22. (9分)某商店将进价为10元/件的某种商 品以14元/件的售价售出,平均每天能售 出220件.调查发现,这种商品的售价每上 涨1元/件,其销售量就减少20件.该商店 计划通过提高商品售价减少销售量的办法 增加利润. (1) 若物价部门规定此种商品每件的利润 不能超过进价的80%,且商店想要获得平 均每天1 080元的利润,则这种商品的售价 应定为多少? (2) 该 商 店 平 均 每 天 的 利 润 能 否 为 1 200元? 答案讲解 23. (10分)阅读材料: 我 们 已 学 完 全 平 方 公 式:a2± 2ab+b2=(a±b)2,观察下面的 式子. ① x2+4x+2=(x2+4x+4)-2= (x+2)2-2,∵ (x+2)2≥0,∴ x2+4x+ 2=(x+2)2-2≥-2.∴ 原式有最小值,是 -2. ② -x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2= -(x-1)2 -2,∵ - (x -1)2 ≤0, ∴ -x2+2x-3=-(x-1)2-2≤-2. ∴ 原式有最大值,是-2. 请根据上面的阅读材料解决问题: (1) 求代数式2x2-4x+1的最值. (2) 如图,在紧靠围墙的空地上,利用围墙 (大于100米)及一段长为100米的木栏围 成一个矩形花圃. ① 若花圃的面积为800平方米,则与围墙 垂直的一边长是多少米? ② 与围墙垂直的一边长为多少米时,花圃 的面积最大? 最大面积是多少平方米? 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 8 △ABC面积的一半.易得CP=(6-x)cm,CQ=2xcm, ∴ 1 2× (6-x)×2x=12× 1 2×6×8. 整理,得x2- 6x+12=0.∵ b2-4ac=(-6)2-4×1×12=-12<0, ∴ 此方程没有实数根.∴ 不存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC面积的一半.(2) 存在.设运动ys时, △PCQ 的面积为Scm2.根据题意,易得S=12× (6- y)×2y=-y2+6y=-(y-3)2+9.∴ 易得当y=3时, S取得最大值,最大值为9.∴ 当运动的时间为3s时, △PCQ 的面积最大,最大面积为9cm2. 第1章　一元二次方程2 一、 1. D 2. D 3. C 4. C 5. C 6. A 7. B 8. A 9. B 10. B 二、 11. 6 12. 8或9 13. x1=-4,x2=1 利用比较法求方程的解 已知关于x的一元二次方程a(x+m)2+b=0的 解,求关于x的一元二次方程a(x+m+1)2+b=0的 解,解答这类问题的方法:仔细比较两个方程中的不同 之处,从中得到两个方程中未知数之间的大小关系,进 而由已知的解求得未知的解. 14. 2 15. -18 16. 4或-1 17. 4 3 构造一元二次方程求代数式的值 根据所给两个等式的整体结构特征,构造出具有 相同结构的一元二次方程,并由所给两个等式确定出 该一元二次方程的两个根,再对要求的代数式进行适 当变形,利用根与系数的关系求出结果. 三、 18. (1) x1= 3 2 ,x2=-1.(2) x1=-4,x2=-5. 19. (1) 当m=0时,该方程为2x+2=0,有实数根.当 m≠0时,b2-4ac=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4= (m-2)2.∵ (m-2)2≥0,∴ b2-4ac≥0.综上所述,不论 m 为何值,方程总有实数根.(2) 由题意,得m≠0,解原方 程,得x=m+2± (m-2)2 2m = m+2±(m-2) 2m ,∴ x1= 2 m ,x2=1.∵ m 为整数,且方程有两个不相等的正整数 根,∴ m=1. 20. 设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.由题意,得 (x-2)(2x-4)=288,解得x1=-10(不合题意,舍去), x2=14.∴ 2x=28.∴ 当矩形温室的长为28m、宽为 14m时,蔬菜种植区域的面积为288m2. 21. (1) 由题意,知x=2是关于x的方程x2-ax+a- 1=0的实数根,∴ 22-2a+a-1=0,解得a=3.∴ 原方 程为x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.∴ AD 的长是 1.(2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∴ 关于x 的方程x2-ax+a-1=0有两个相等的实数根.∴ b2- 4ac=(-a)2-4×1×(a-1)=0,解得a1=a2=2.∴ 原 方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.∴ AB=AD= 1.∴ 此时菱形的周长是1×4=4. 22. (1) 设这种商品的售价定为x 元/件,则每件的销售 利润为(x-10)元,日销售量为220-20(x-14)=(500- 20x)件.根据题意,得(x-10)(500-20x)=1 080,解得 x1=16,x2=19.∵ 10×(1+80%)=18(元/件),16<18, 19>18,∴ x=16.∴ 这种商品的售价应定为16元/件. (2) 设这种商品的售价定为y元/件时,该商店平均每天 的利润为1 200元.根据题意,得(y-10)(500-20y)= 1200.整 理,得 y2-35y+310=0.∵ b2-4ac= (-35)2-4×1×310=-15<0,∴ 该方程无实数根. ∴ 该商店平均每天的利润不能为1200元. 23. (1) 2x2-4x+1=2(x2-2x+1-1)+1=2(x- 1)2-1,∵ (x-1)2≥0,∴ 2x2-4x+1=2(x-1)2- 1≥-1.∴ 原式有最小值,是-1.(2) 设与围墙垂直的一 边长为x 米,则与围墙平行的一边长为(100-2x)米. ① 根据题意,得x(100-2x)=800,解得x1=10,x2= 40,∴ 与围墙垂直的一边长是10米或40米.② 由题意, 得花圃的面积为x(100-2x)平方米.x(100-2x)= -2x2+100x=-2(x-25)2+1250,∵ -2(x-25)2≤ 0,∴ x(100-2x)=-2(x-25)2+1250≤1250.∴ 易得 当x=25时,花圃有最大面积,为1250平方米.∴ 与围墙 垂直的一边长为25米时,花圃的面积最大,最大面积是 1 250平方米. 复习进阶自主检测 一、 1. C 2. C 3. A 4. B 5. B 6. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈