第1章 一元二次方程1(九年级上册)-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

23 第1章　一元二次方程1 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共33分) 1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为 ( ) A. 2x2-x-y2=0 B. x(x-2)=0 C. ax2+bx+c=0 D. x-2x=8 2. 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-3x+ m2-1=0有一个根是x=0,则m 的值为 ( ) A. ±1 B. 1 C. -1 D. 1或0 3. (包头中考)若x1、x2是方程x2-2x-3=0 的两个实数根,则x1·x22的值为 ( ) A. 3或-9 B. -3或9 C. 3或-6 D. -3或6 4. 下列一元二次方程无实数根的是 ( ) A. x2+x-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+5=0 D. x2-2x+1=0 5. 学校连续三年组织学生参加义务植树,第一 年共植树400棵,第三年共植树625棵.设该 校植树棵数的年平均增长率为x,根据题意, 所列方程正确的是 ( ) A. 625(1-x)2=400 B. 625x2=400 C. 400(1+x)2=625 D. 400x2=625 6. 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x2+ 2x-3=0有实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≥23 B. m<23 C. m>23 且m≠1 D. m≥23 且m≠1 7. (贵港中考)若x=-2是一元二次方程x2+ 2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及 m 的值分别是 ( ) A. x=0,m=-2 B. x=0,m=0 C. x=-2,m=-2 D. x=-2,m=0 8. (聊城中考)用配方法解一元二次方程3x2+ 6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式, 则a+b的值为 ( ) A. 10 3 B. 7 3 C. 2 D. 4 3 9. 某比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单 循环比赛共进行了45场,则参加比赛的队 伍有 ( ) A. 8支 B. 10支 C. 7支 D. 9支 10. (黔东南中考)已知关于x 的一元二次方程 x2-2x-a=0的两根分别记为x1、x2,若 x1=-1,则a-x21-x22的值为 ( ) A. 7 B. -7 C. 6 D. -6 11. (泸州中考)已知关于x的方程x2-(2m- 1)x+m2=0的两实数根为x1、x2,若 (x1+1)(x2+1)=3,则m 的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3 二、 填空题(每小题3分,共9分) 12. 若方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x 的一元二次方程,则a的值是 . 13. 已知a、b为实数,且满足(a2+b2)2-9=0, 则a2+b2的值为 . 答案讲解 14. ★x1、x2是关于x的方程x2-x+ k-1=0的两个实数根,且x21- 2x1-x2=4,则k的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 24 三、 解答题(共58分) 15. (6分)解下面的方程: (1) (x+5)(x+1)=12; (2) 2(x-2)2=x2-4. 16. (8分)已知关于x的方程kx2-(k-2)x- 2=0. (1) 求证:无论k取什么实数值,方程总有 实数根; (2) 若方程有两个实数根,且都为正整数, 求整数k的值. 17. (10分)新考法 新定义题 如果关于x的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个实数根,且其中一个根比另一个根大1, 那么称这样的方程为“邻根方程”.例如:一 元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0, x2=-1,则方程x2+x=0为“邻根方程”. (1) 通过计算,判断下面的方程是否为“邻 根方程”. ① x2-x-12=0; ② x2-9x+20=0. (2) 已知关于x 的方程x2+(m-1)x- m=0(m 是常数)为“邻根方程”,求 m 的值. 18. (8分)某市建设部门打算对高铁站广场前 一块长为20m、宽为8m的矩形空地进行 绿化,计划在其中间修建两块相同的矩形 绿地(图中涂色部分).若它们的面积之和 为102m2,两块绿地之间及周边留有宽度 相等的人行通道,则人行通道的宽度是多 少米? 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 25 19. ★(8分)(十堰中考)已知关于x 的一元二 次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根 x1、x2. (1) 求k的取值范围; (2) 若x31x2+x1x32=24,求k的值. 答案讲解 20. (8分)(菏泽中考)端午节期间,某 水果超市调查某种水果的销售情 况,下面是调查员的对话: 小王:“这种水果的进价为每千克22元.” 小李:“当销售价为每千克38元时,每天可 售出160千克.若每千克每降低3元,则每 天的销售量将增加120千克.” 根据他们的对话,解决下面的问题:超市每 天要获得销售利润3640元,又要尽可能让 顾客得到实惠,则这种水果的销售价为每 千克多少元? 答案讲解 21. (10分)新考法 探究题 如图,在 △ABC 中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm,点P 从点A 出发沿边 AC 向点C 以1cm/s的速度运动,点Q 从 点C 出发沿边CB 向点B 以2cm/s的速度 运动,一点到达终点,则另一点随之停止 运动. (1) 点P、Q 在运动过程中,是否存在某一 时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC 面积 的一半? 若存在,求出运动的时间;若不存 在,请说明理由. (2) 点P、Q 在运动过程中,是否存在某一 时刻,使得△PCQ 的面积最大? 若存在,求 出运动的时间和最大的面积;若不存在,请 说明理由. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 7 24. (1) 3 4. (2) 3 2m 2 . (3) 43-6.(4) 26-1. 25. ∵ a= 2-1,∴ a-1<0.∴ 原式=a+1- |a-1| a(a-1)- 1 a=a+1. 当a=2-1时,原式=2. 26. ∵ ab=8>0,a+b=-8<0,∴ a<0,b<0. ∴ b a + a b =- 1 a ab- 1 b ab=- a+b ab ab= 22. 因化简二次根式忽视隐含条件而导致错误 对于二次根式的化简,要注意挖掘隐含条件,较为 常见的隐含条件是二次根式的被开方数非负,但有些 问题中还要注意其他隐含条件,例如:a+b<0,ab> 0.由ab>0可知a、b同号,再结合a+b<0可知a<0, b<0. 27. (1) 23 3 ;7- 6.(2) n+1- n.(3) 原式= (2-1+3- 2+ 4- 3+…+ 2025- 2024)× (2025+1)=( 2025-1)×( 2025+1)=2025- 1=2024. 28. (1) m2+5n2;2mn.(2) 答案不唯一,如24;8;2;2. (3) 由(1),得a=m2+5n2,2mn=4,∴ mn=2.∵ m、n 均为正整数,∴ m=2,n=1或m=1,n=2.当m=2,n= 1时,a=m2+5n2=22+5×12=9;当m=1,n=2时,a= m2+5n2=12+5×22=21.综上所述,a的值为9或21. 第1章　一元二次方程1 一、 1. B 2. C 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. B 10. B 11. A 二、 12. -3 13. 3 14. -4 求与两根有关的代数式的值 已知x1、x2 是一元二次方程的两根,求含x1、 x2 的代数式的值,这类问题主要有两种题型:一是代数 式为对称式(x1 与x2 互换后,代数式不发生变化),解 答时先将代数式转化为含x1+x2、x1x2 的式子,然后 利用根与系数的关系将x1+x2、x1x2 的值代入,即可 求解;二是代数式为非对称式(x1 与x2 互换后,代数 式发生变化),解答时先利用根的定义得到一个(或两 个)等式,再将等式变形后代入非对称式,转化为对称 式,进而求解. 三、 15. (1) x1=-7,x2=1 (2) x1=2,x2=6 16. (1) 当k=0时,该方程为2x-2=0,有实数根.当 k≠0时,b2-4ac=[-(k-2)]2-4×k×(-2)=k2- 4k+4+8k=k2+4k+4=(k+2)2≥0.综上所述,无论k 取什么实数值,方程总有实数根.(2) 由题意,得k≠0, ∵ b2-4ac=(k+2)2,∴ x=k-2± (k+2)2 2k = k-2±(k+2) 2k .∴ x1=1,x2=- 2 k.∵ 方程的两个实数 根都为正整数,∴ k=-1或k=-2. 17. (1) ① 原方程可化为(x-4)(x+3)=0,∴ x1=4, x2=-3.∵ 4-(-3)=7≠1,∴ x2-x-12=0不是“邻 根方程”.② 原方程可化为(x-4)(x-5)=0,∴ x1=4, x2=5.∵ 5-4=1,∴ x2-9x+20=0为“邻根方程”. (2) 原方程可化为(x+m)(x-1)=0,∴ x1=-m,x2= 1.由题意,得|-m-1|=1,解得m=0或-2. 18. 设人行通道的宽度是a m.根据题意,得(20- 3a)(8-2a)=102,解得a1=1,a2= 29 3 (不合题意,舍 去).∴ 人行通道的宽度是1m. 19. (1) 由题意,得b2-4ac≥0,∴ (-4)2-4×1× (-2k+8)≥0,解得k≥2.∴ k 的取值范围是k≥2. (2) 由题意,得x1+x2=4,x1x2=-2k+8.∵ x31x2+ x1x32 =24,∴ x1x2 [(x1 +x2)2 -2x1x2]=24. ∴ (-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24,解得k1=3,k2= 1.由(1),知k≥2,∴ k=3. 因忽视根与系数的关系的前提条件而导致错误 一元二次方程的根的情况有三种,而一元二次方 程必须有实数根才能运用根与系数的关系,因此利用 根与系数的关系求字母系数的值,必须检验求得的字 母系数的值代入方程后是否有实数根,若没有实数根, 则必须舍去. 20. 设这种水果每千克降低x元,超市每天可获得销售利 润3640元.根据题意,得(38-x-22) 160+x3× 120 =3640.整理,得x2-12x+27=0.解得x1=3, x2=9.∵ 要尽可能让顾客得到实惠,∴ x=9.∴ 38- 9=29(元).∴ 这种水果的销售价为每千克29元. 21. (1) 不存在.理由:设运动xs时,△PCQ 的面积等于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 △ABC面积的一半.易得CP=(6-x)cm,CQ=2xcm, ∴ 1 2× (6-x)×2x=12× 1 2×6×8. 整理,得x2- 6x+12=0.∵ b2-4ac=(-6)2-4×1×12=-12<0, ∴ 此方程没有实数根.∴ 不存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC面积的一半.(2) 存在.设运动ys时, △PCQ 的面积为Scm2.根据题意,易得S=12× (6- y)×2y=-y2+6y=-(y-3)2+9.∴ 易得当y=3时, S取得最大值,最大值为9.∴ 当运动的时间为3s时, △PCQ 的面积最大,最大面积为9cm2. 第1章　一元二次方程2 一、 1. D 2. D 3. C 4. C 5. C 6. A 7. B 8. A 9. B 10. B 二、 11. 6 12. 8或9 13. x1=-4,x2=1 利用比较法求方程的解 已知关于x的一元二次方程a(x+m)2+b=0的 解,求关于x的一元二次方程a(x+m+1)2+b=0的 解,解答这类问题的方法:仔细比较两个方程中的不同 之处,从中得到两个方程中未知数之间的大小关系,进 而由已知的解求得未知的解. 14. 2 15. -18 16. 4或-1 17. 4 3 构造一元二次方程求代数式的值 根据所给两个等式的整体结构特征,构造出具有 相同结构的一元二次方程,并由所给两个等式确定出 该一元二次方程的两个根,再对要求的代数式进行适 当变形,利用根与系数的关系求出结果. 三、 18. (1) x1= 3 2 ,x2=-1.(2) x1=-4,x2=-5. 19. (1) 当m=0时,该方程为2x+2=0,有实数根.当 m≠0时,b2-4ac=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4= (m-2)2.∵ (m-2)2≥0,∴ b2-4ac≥0.综上所述,不论 m 为何值,方程总有实数根.(2) 由题意,得m≠0,解原方 程,得x=m+2± (m-2)2 2m = m+2±(m-2) 2m ,∴ x1= 2 m ,x2=1.∵ m 为整数,且方程有两个不相等的正整数 根,∴ m=1. 20. 设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.由题意,得 (x-2)(2x-4)=288,解得x1=-10(不合题意,舍去), x2=14.∴ 2x=28.∴ 当矩形温室的长为28m、宽为 14m时,蔬菜种植区域的面积为288m2. 21. (1) 由题意,知x=2是关于x的方程x2-ax+a- 1=0的实数根,∴ 22-2a+a-1=0,解得a=3.∴ 原方 程为x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.∴ AD 的长是 1.(2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∴ 关于x 的方程x2-ax+a-1=0有两个相等的实数根.∴ b2- 4ac=(-a)2-4×1×(a-1)=0,解得a1=a2=2.∴ 原 方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.∴ AB=AD= 1.∴ 此时菱形的周长是1×4=4. 22. (1) 设这种商品的售价定为x 元/件,则每件的销售 利润为(x-10)元,日销售量为220-20(x-14)=(500- 20x)件.根据题意,得(x-10)(500-20x)=1 080,解得 x1=16,x2=19.∵ 10×(1+80%)=18(元/件),16<18, 19>18,∴ x=16.∴ 这种商品的售价应定为16元/件. (2) 设这种商品的售价定为y元/件时,该商店平均每天 的利润为1 200元.根据题意,得(y-10)(500-20y)= 1200.整 理,得 y2-35y+310=0.∵ b2-4ac= (-35)2-4×1×310=-15<0,∴ 该方程无实数根. ∴ 该商店平均每天的利润不能为1200元. 23. (1) 2x2-4x+1=2(x2-2x+1-1)+1=2(x- 1)2-1,∵ (x-1)2≥0,∴ 2x2-4x+1=2(x-1)2- 1≥-1.∴ 原式有最小值,是-1.(2) 设与围墙垂直的一 边长为x 米,则与围墙平行的一边长为(100-2x)米. ① 根据题意,得x(100-2x)=800,解得x1=10,x2= 40,∴ 与围墙垂直的一边长是10米或40米.② 由题意, 得花圃的面积为x(100-2x)平方米.x(100-2x)= -2x2+100x=-2(x-25)2+1250,∵ -2(x-25)2≤ 0,∴ x(100-2x)=-2(x-25)2+1250≤1250.∴ 易得 当x=25时,花圃有最大面积,为1250平方米.∴ 与围墙 垂直的一边长为25米时,花圃的面积最大,最大面积是 1 250平方米. 复习进阶自主检测 一、 1. C 2. C 3. A 4. B 5. B 6. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈