第12章 二次根式-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

6 ma+mb 2m = a+b 2 ,x乙= 2nn a+ n b =2aba+b.x甲≥x乙. 理由: x甲-x乙 =a+b2 - 2ab a+b= (a-b)2 2(a+b).∵ a>0,b>0, ∴ 2(a+b)>0,(a-b)2≥0.∴ (a-b)2 2(a+b)≥0.∴ x甲- x乙≥0.∴ x甲≥x乙.【知识迁移】 t1<t2.理由:∵ t1= 2s v ,t2= s v+p+ s v-p= 2sv v2-p2 ,∴ t1-t2= 2s v - 2sv v2-p2 = -2sp 2 v(v2-p2) .∵ v>p>0,s>0,∴ t1-t2<0. ∴ t1<t2. 第11章　反比例函数 一、 1. A 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. B 解答反比例函数中面积问题的策略 解答与反比例函数有关的面积问题的策略:利用 反比例函数中系数k的几何意义求解,也就是在待求 面积的几何图形中寻找或构造出能用|k|表示面积的 几何图形(三角形或矩形),然后将待求图形的面积用 含|k|的式子表示,进而求解. 8. A 9. C 10. D 11. C 12. B 二、 13. 6 14. a>1 15. 3 4 16. y1<y2<y3 因忽视“在同一象限内”这一前提条件而导致错误 反比例函数y= k x 的增减性:当k>0时,在同一 象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一象限 内,y 随x 的增大而增大.但在不同象限内,反比例函 数的增减性却不满足这一性质,因此利用反比例函数 的增减性比较y的大小时,不能忽视前提条件“在同一 象限内”. 17. -14 三、 18. (1) 当0≤x≤8时,设y=k1x+b.将(0,20)、 (8,100)代 入 y=k1x+b,得 20=b, 100=8k1+b, 解 得 k1=10, b=20. ∴ 当0≤x≤8时,y=10x+20.当8<x≤a时, 设y= k2 x. 将(8,100)代入y= k2 x ,得k2=800.∴ 当8< x≤a时,y= 800 x . 综上所述,当0≤x≤8时,y=10x+ 20;当8<x≤a时,y= 800 x . (2) 将y=20代入y= 800 x , 得20=800x ,解得x=40,即a=40.(3) 在y= 800 x 中,当 y=40时,x=20.∴ 要想喝到不低于40℃的水,x 需满 足8≤x≤20,即李老师要在7:38到7:50之间接水. 19. (1) ∵ 反比例函数y= m x 的图像经过点A(-3,2), ∴ m=-6.∴ 反比例函数的表达式为y=- 6 x.∵ 点 B(1,n)在反比例函数的图像上,∴ n=-6.∴ B(1, -6).把A(-3,2)、B(1,-6)代入y=kx+b,得 2=-3k+b, -6=k+b, 解得 k=-2 , b=-4. ∴ 一次函数的表达式为 y=-2x-4.(2) 设直线AB 交y 轴于点C.在y= -2x-4中,令 x=0,得 y=-4,∴ C(0,-4). ∴ S△AOB=S△OCA+S△OCB= 1 2×4×3+ 1 2×4×1=8. (3) 点P 的坐标为(-6,0)或(- 13,0)或( 13,0) 或 -136 ,0 . 第12章　二次根式 一、 1. C 2. C 3. A 4. C 5. B 6. B 7. C 8. B 9. D 10. C 11. D 12. A 13. D 14. D 二、 15. 4 16. 1 2 17. 2 18. 5-2 19. 2 20. 3 75 21. 1 22. 2021 三、 23. ∵ a=7-5,b=7+5,∴ a+b=27,ab= 2.(1) 原 式 =ab(a +b)=4 7.(2) 原 式 = (a+b)2-2ab ab =12. 利用二次根式的和(或差)与积求代数式的值 已知条件中的两个字母的值的乘积如果是有理 数,那么求与这两个字母有关的代数式的值的简便方 法是先计算出这两个字母的和(或差)以及积,再将待 求代数式转化为用和(或差)以及积表示的形式,最后 代入求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 24. (1) 3 4. (2) 3 2m 2 . (3) 43-6.(4) 26-1. 25. ∵ a= 2-1,∴ a-1<0.∴ 原式=a+1- |a-1| a(a-1)- 1 a=a+1. 当a=2-1时,原式=2. 26. ∵ ab=8>0,a+b=-8<0,∴ a<0,b<0. ∴ b a + a b =- 1 a ab- 1 b ab=- a+b ab ab= 22. 因化简二次根式忽视隐含条件而导致错误 对于二次根式的化简,要注意挖掘隐含条件,较为 常见的隐含条件是二次根式的被开方数非负,但有些 问题中还要注意其他隐含条件,例如:a+b<0,ab> 0.由ab>0可知a、b同号,再结合a+b<0可知a<0, b<0. 27. (1) 23 3 ;7- 6.(2) n+1- n.(3) 原式= (2-1+3- 2+ 4- 3+…+ 2025- 2024)× (2025+1)=( 2025-1)×( 2025+1)=2025- 1=2024. 28. (1) m2+5n2;2mn.(2) 答案不唯一,如24;8;2;2. (3) 由(1),得a=m2+5n2,2mn=4,∴ mn=2.∵ m、n 均为正整数,∴ m=2,n=1或m=1,n=2.当m=2,n= 1时,a=m2+5n2=22+5×12=9;当m=1,n=2时,a= m2+5n2=12+5×22=21.综上所述,a的值为9或21. 第1章　一元二次方程1 一、 1. B 2. C 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. B 10. B 11. A 二、 12. -3 13. 3 14. -4 求与两根有关的代数式的值 已知x1、x2 是一元二次方程的两根,求含x1、 x2 的代数式的值,这类问题主要有两种题型:一是代数 式为对称式(x1 与x2 互换后,代数式不发生变化),解 答时先将代数式转化为含x1+x2、x1x2 的式子,然后 利用根与系数的关系将x1+x2、x1x2 的值代入,即可 求解;二是代数式为非对称式(x1 与x2 互换后,代数 式发生变化),解答时先利用根的定义得到一个(或两 个)等式,再将等式变形后代入非对称式,转化为对称 式,进而求解. 三、 15. (1) x1=-7,x2=1 (2) x1=2,x2=6 16. (1) 当k=0时,该方程为2x-2=0,有实数根.当 k≠0时,b2-4ac=[-(k-2)]2-4×k×(-2)=k2- 4k+4+8k=k2+4k+4=(k+2)2≥0.综上所述,无论k 取什么实数值,方程总有实数根.(2) 由题意,得k≠0, ∵ b2-4ac=(k+2)2,∴ x=k-2± (k+2)2 2k = k-2±(k+2) 2k .∴ x1=1,x2=- 2 k.∵ 方程的两个实数 根都为正整数,∴ k=-1或k=-2. 17. (1) ① 原方程可化为(x-4)(x+3)=0,∴ x1=4, x2=-3.∵ 4-(-3)=7≠1,∴ x2-x-12=0不是“邻 根方程”.② 原方程可化为(x-4)(x-5)=0,∴ x1=4, x2=5.∵ 5-4=1,∴ x2-9x+20=0为“邻根方程”. (2) 原方程可化为(x+m)(x-1)=0,∴ x1=-m,x2= 1.由题意,得|-m-1|=1,解得m=0或-2. 18. 设人行通道的宽度是a m.根据题意,得(20- 3a)(8-2a)=102,解得a1=1,a2= 29 3 (不合题意,舍 去).∴ 人行通道的宽度是1m. 19. (1) 由题意,得b2-4ac≥0,∴ (-4)2-4×1× (-2k+8)≥0,解得k≥2.∴ k 的取值范围是k≥2. (2) 由题意,得x1+x2=4,x1x2=-2k+8.∵ x31x2+ x1x32 =24,∴ x1x2 [(x1 +x2)2 -2x1x2]=24. ∴ (-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24,解得k1=3,k2= 1.由(1),知k≥2,∴ k=3. 因忽视根与系数的关系的前提条件而导致错误 一元二次方程的根的情况有三种,而一元二次方 程必须有实数根才能运用根与系数的关系,因此利用 根与系数的关系求字母系数的值,必须检验求得的字 母系数的值代入方程后是否有实数根,若没有实数根, 则必须舍去. 20. 设这种水果每千克降低x元,超市每天可获得销售利 润3640元.根据题意,得(38-x-22) 160+x3× 120 =3640.整理,得x2-12x+27=0.解得x1=3, x2=9.∵ 要尽可能让顾客得到实惠,∴ x=9.∴ 38- 9=29(元).∴ 这种水果的销售价为每千克29元. 21. (1) 不存在.理由:设运动xs时,△PCQ 的面积等于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 第12章　二次根式 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题2分,共28分) 1. 无论x取何实数,下列各式中,一定是二次 根式的为 ( ) A. -x-2 B. x C. x2+2 D. x2-2 2. 式子 -1-x2、18、x2+2x+2中,一定 有意义的式子有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 若式子 x-1 x-2 在实数范围内有意义,则x的 取值范围是 ( ) A. x≥1且x≠2 B. x≤1 C. x>1且x≠2 D. x<1 4. 下列各组二次根式中,不是同类二次根式的 一组为 ( ) A. a b 与 ab3 B. 5 a 与 20a3b2 C. 4ab与 8ab3 D. 4c a3b 与 9a bc 5. 估计(25+52)× 15 的值应在 ( ) A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. (河北中考)下列计算正确的是 ( ) A. 4+9=2+3 B. 4×9=2×3 C. 94=32 D. 4.9=0.7 7. (包头中考)若x= 2+1,则代数式x2- 2x+2的值为 ( ) A. 7 B. 4 C. 3 D. 3-22 8. 满足 (a-3)2=3-a的正整数a的所有值 的和为 ( ) A. 3 B. 6 C. 10 D. 15 9. 两个最简二次根式32m+5与24m-4可 以合并,合并后的结果是 ( ) A. 35 B. 57 C. 523 D. 514 10. 有下列二次根式: a b 、3 ab、a2+b2、 12、91、a2-b2、n2+2n+1.其中,是 最简二次根式的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11. 化简b -1b 的结果是 ( ) A. b B. -b C. -b D. - -b 12. 已知-1<a<0,化简 a+1a 2 -4- a-1a 2 +4的结果为 ( ) A. 2a B. -2a C. -2a D. 2 a 13. 化简 1-6x+9x2-(3x-5)2的结果是 ( ) A. 6x-6 B. -6x+6 C. -4 D. 4 14. 若x 3x- 3x+3 x 3=3 ,则x的值为 ( ) A. ±1 B. 1 C. ±3 D. 3 二、 填空题(每小题3分,共24分) 15. 若△ABC 的面积为 12,边BC= 3,则边 BC 上的高AD 的长为 . 16. 已知x、y 是实数,且满足y= x-2+ 2-x+18 ,则 x· y的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 21 17. (遂宁中考)实数a、b在数轴上的位置如 图所 示,化 简:|a+1|- (b-1)2 + (a-b)2= . 第17题 18. 已知a=5+2,b=2- 5,则a2025b2026的 值为 . 答案讲解 19. (荆州中考)若3- 2的整数部分 为a,小数部分为b,则代数式(2+ 2a)·b的值是 . 20. (随州中考)已知m 为正整数,若 189m 是 整数,则根据 189m = 3×3×3×7m = 33×7m,可知m 有最小值3×7=21.设 n为正整数,若 300n 是大于1的整数,则n 的最小值为 ,最大值为 . 21. 若a、b是有理数,且 116+ 524 2 -3 2 3= a+b6,则ab= . 答案讲解 22. 已知实数a 满足|2021-a|+ a-2021=a,则a-20212= . 三、 解答题(共48分) 23. ★(6分)已知a=7-5,b=7+5,求下 面各式的值: (1) a2b+ab2; (2) b a+ a b. 24. (12分)计算: (1) 318× 36÷26 ; (2) 0.5m+1m 8m 3-m 2m (m>0); (3) (6-2)×32-6 13 ; (4) (5+1)×(5-1)-(3-2)2. 25. (5分)先化简,再求值:a 2-1 a-1- a2-2a+1 a2-a - 1 a ,其中a=2-1. 答案讲解 26. ★(6分)已知a+b=-8,ab=8, 求 b a+ a b 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 22 27. (9分)我们知道,(2)2=2,(3+2)×(3- 2)=32-(2)2=7……如果两个含有二次 根式的非零代数式相乘,它们的积不含有二 次根式,那么说这两个非零代数式互为有理 化因式.如3+2与3-2互为有理化因式, 5+2与5-2互为有理化因式.利用这 种方法,可以将分母中含有二次根式的代数 式化为分母是有理数的代数式,这个过程称 为分母有理化.例如:1 2 = 2 2×2 = 22 , 1 3+2 = 3-2(3+2)×(3-2) =3-23-2 = 3-2. (1) 2 3 分母有理化的结果是 , 1 7+6 分母有理化的结果是 ; (2) 1 n+1+ n 分 母 有 理 化 的 结 果 是 ; (3) 求 12+1+ 13+2+ 14+3+…+ 1 2025+ 2024 ×(2025+1)的值. 28. (10分)转换法 阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含 根号的式子可以写成另一式子的平方,如 4+23=(1+ 3)2,然后小明进行了以下 探索:设a+b3=(m+n 3)2(其中a、b、 m、n 均为整数),则有a+b3=m2+ 3n2+2mn 3.∴ a=m2+3n2,b=2mn.这 样小明找到了一种将类似a+b 3的式子 化为完全平方式的方法. 请仿照小明的方法解决下列问题: (1) 当a、b、m、n均为整数时,若a+b5= (m +n 5)2,则 a= ,b= ; (2) 请找一组正整数,填空: + 5=( + 5)2; (3) 若a+45=(m+n 5)2,且a、m、n 均为正整数,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A