第9章 中心对称图形——平行四边形2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

10 第9章　中心对称图形——平行四边形2 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题4分,共36分) 1. (丹东中考)如图,在四边形ABCD 中,AB∥ CD,AB=CD,对角线AC 与BD 交于点O, E 是AD 的中点,连接OE,△ABD 的周长 为12cm,则下列结论错误的是 ( ) A. OE∥AB B. 四边形ABCD 是中心对称图形 C. △EOD 的周长为3cm D. 若∠ABC=90°,则四边形ABCD 是轴对 称图形 第1题 第2题 2. (呼和浩特中考)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得 到△EDC,使点B 的对应点D 恰好落在边 AB 上,AC、ED 交于点F.若∠BCD=α,则 ∠EFC 的度数是(用含α的代数式表示) ( ) A. 90°+12α B. 90°-12α C. 180°-32α D. 3 2α 3. (淄博中考)如图,在边长为4的菱形ABCD 中,E 为边AD 的中点,连接CE 交对角线 BD 于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱 形的面积为 ( ) 第3题 A. 16 B. 67 C. 127 D. 30 4. (德州中考)有下列命题:① 一组对边平行, 另一组对边相等的四边形是平行四边形; ② 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; ③ 一个角为90°,且一组邻边相等的四边形 是正方形;④ 对角线相等的平行四边形是矩 形.其中,真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. (陕西中考)如图,在矩形ABCD 中,AB=4, BC=6,O 是矩形的对称中心,点E、F 分别 在边AD、BC 上,连接OE、OF.若 AE= BF=2,则OE+OF 的值为 ( ) A. 22 B. 52 C. 5 D. 25 第5题 第7题 答案讲解 6. ★(菏泽中考)如果顺次连接四边形 的各边中点得到的四边形是矩形, 那么原来四边形的对角线一定满足 的条件是 ( ) A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直且平分 7. (恩施中考)如图,在四边形ABCD 中,∠A= ∠B=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P 从 点D 出发,以1cm/s的速度向点A 运动,点 M 从点B 同时出发,以相同的速度向点C 运动,当其中一个动点到达端点时,两个动 点同时停止运动.设点P 的运动时间为ts, 下列结论正确的是 ( ) A. 当t=4时,四边形ABMP 为矩形 B. 当t=5时,四边形CDPM 为平行四边形 C. 当CD=PM 时,t=4 D. 当CD=PM 时,t=4或6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 11 答案讲解 8. ★(安顺中考)如图,在△ABC 中, AC=22,∠ACB=120°,D 是边 AB 的中点,E 是边BC 上一点.若 DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长为 ( ) A. 5 2 B. 2+1 2 C. 2 D. 3 第8题 第9题 答案讲解 9. (泰州中考)如图,正方形ABCD 的 边长为2,E 为与点D 不重合的动 点,以DE 为一边作正方形DEFG. 设DE=d1,点F、G 与点C 的距离分别为 d2、d3,则d1+d2+d3的最小值为 ( ) A. 2 B. 2 C. 22 D. 4 二、 填空题(每小题5分,共25分) 10. (阜新中考)如图,折叠矩形纸片ABCD,使 点B 的对应点E 落在边CD 上,GH 为折 痕,AB=6,BC=10.当折痕GH 最长时, 线段BH 的长为 . 第10题 第11题 11. (宜昌中考)如图,在矩形ABCD 中,E 是边 AD 上一点,F、G 分别是BE、CE 的中点, 连接 AF、DG、FG.若 AF=3,DG=4, FG=5,则矩形ABCD 的面积为 . 12. ★▱ABCD 一内角的平分线与边相交并把 这条 边 分 成 长 为5、7的 两 条 线 段,则 ▱ABCD 的周长是 . 13. (西宁中考)矩形ABCD 中,AB=8,AD= 7,点E 在边AB 上,AE=5.若P 是矩形 ABCD 边上一点,且与点A、E 构成以AE 为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP 的 底边长是 . 14. 如图,菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交 于点O,H 是线段BC 上的动点,连接OH. 若OB=4,S菱形ABCD=24,则OH 长的最小 值是 . 第14题 三、 解答题(共39分) 15. (12分)如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与 BD 相交于点O,E、F 分别为OB、OD 的中 点,连接AE 并延长至点G,使EG=AE, 连接CG、CF. (1) 求证:△ABE≌△CDF. (2) 当AB 与AC 满足什么数量关系时,四 边形EGCF 是矩形? 请说明理由. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 12 16. (12分)在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,E 是对角线AC 上任意一点,F 是线段BC 延 长线上的一点,且CF=AE,连接BE、EF. (1) 如图①,当E 是线段AC 的中点时,求 证:BE=EF. (2) 如图②,当E 不是线段AC 的中点,且 其他条件不变时,请你判断(1)中的结论是 否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明 理由. 第16题 17. (15分)(泰州中考)如图,正方形ABCD 的 边长为6,M 为AB 的中点,△MBE 为等边 三角形,过点E 作ME 的垂线,分别与边 AD、BC 相交于点F、G,点P、Q 分别在线 段EF、BC 上运动,且满足∠PMQ=60°, 连接PQ. (1) 求证:△MBQ≌△MEP. (2) 当点Q 在线段GC 上时,PF+GQ 的 值是否变化? 如果不变,请求出这个值;如 果变化,请说明理由. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 3 ∴ FD=CD.在Rt△DCG 和Rt△DFG 中, DG=DG, CD=FD, ∴ Rt△DCG ≌ Rt△DFG.∴ ∠CDG = ∠FDG. ∵ ∠ADC=90°,∴ 2∠FDE + 2∠FDG = 90°. ∴ ∠FDE+∠FDG=45°,即∠EDG=45°.∵ EH⊥DE, ∴ 易得∠EDG=∠DHE=45°.∴ △DEH 为等腰直角 三角形.(2) BH= 2AE.如图,在线段AD 上截取AM, 使AM=AE,连接 ME.∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=AB.∴ 易得DM=EB.由(1),得△DEH 是等 腰直 角 三 角 形,∴ ∠AED + ∠BEH = ∠AED + ∠MDE=90°,DE =EH.∴ ∠BEH = ∠MDE.在 △DME 和△EBH 中, DM=EB, ∠MDE=∠BEH, DE=EH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DME≌ △EBH.∴ ME=BH.在 Rt△AEM 中,∠A=90°, AM=AE,∴ 易得ME=2AE.∴ BH=2AE. 第16题 17. (1) ∵ D、E、M、N 分别为AC、AB、OB、OC 的中点, ∴ DE∥BC,DE= 12BC ,MN∥BC,MN = 12BC. ∴ DE∥MN,DE=MN.∴ 四边形DEMN 为平行四边 形.∴ OM=OD.∵ M 为OB 的中点,即OM=BM, ∴ OB=2OM=2OD.∴ OB OD=2. (2) 当AB=AC 时,四 边形 DEMN 是 矩 形.∵ D、E 为 AC、AB 的 中 点, ∴ AD=12AC ,AE=12AB.∵ AB=AC,∴ AD= AE.在△ADB 和△AEC 中, AD=AE, ∠A=∠A, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB≌ △AEC.∴ BD=CE.∵ OD=OM =BM,∴ MD= 2 3BD. 同理,可得NE=23CE ,∴ MD=NE.由(1),得 四边形DEMN 为平行四边形,∴ 四边形DEMN 为矩 形.(3) ∵ 四边形 DEMN 是正方形,∴ OE=OD= OM=ON,OE⊥OD.∴ ∠EOD=∠EOB=90°.设OE= OD=OM=ON=x,则OB=2x,ED= OE2+OD2= 2x.在 Rt△BOE 中,由 勾 股 定 理,得 BE = OE2+OB2= 5x,∴ 易得 AB=2 5x.∵ BC= 2ED=22x,∴ AB BC= 25x 22x = 102 . 第9章　中心对称图形—— 　　平行四边形2 一、 1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. C 解决“中点四边形”的一般方法 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做这个 四边形的中点四边形,解答与中点四边形有关问题的 一般方法:先连接中点四边形所在的原四边形的对角 线,构造出三角形,然后利用三角形的中位线定理解 题.特别地,(1) 原四边形的对角线相等,由三角形的中 位线定理可证中点四边形的邻边相等,此时中点四边 形为菱形;(2) 原四边形的对角线互相垂直,由三角形 的中位线定理可证中点四边形的邻边互相垂直,此时 中点四边形是矩形. 7. D 8. C 灵活运用中点构造三角形的中位线 如果题目中有“中点”这一条件,那么可根据其他 条件构造出另一中点,使这两个中点的连线恰好为某 个三角形的中位线,进而运用三角形的中位线定理来 求解. 9. C 二、 10. 6.8 11. 48 12. 34或38 因未对不同长度的线段进行分类讨论而导致错误 某条线(或某个点)把一条线段分成两条不相等的 线段,如果没有明确指出这两条不相等的线段中较长 的线段、较短的线段,而是用不确定性的文字表述,如 “分成长为……的两条线段”,那么要进行分类讨论,即 分成的不相等的两条线段中,任一条线段都有可能是 较长线段,这样求解才全面. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 13. 52或45 14. 2.4 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD, BO=DO=4,OA=CO.∴ ∠BOC=90°,BD=8. ∵ S菱形ABCD= 1 2AC ·BD=24,∴ AC=6.∴ OA=CO= 3.在Rt△OBC 中,由勾股定理,得BC= CO2+BO2= 32+42=5.由“垂线段最短”可知,当OH⊥BC 时,OH 的长最小,此时S△OBC= 1 2BO ·CO=12BC ·OH, ∴ OH=BO ·CO BC = 4×3 5 =2.4.∴ OH 长的最小值是 2.4. 三、 15. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB= CD,AB∥CD,OB =OD,OA =OC.∴ ∠ABE = ∠CDF.∵ E、F 分别为OB、OD 的中点,∴ BE=12OB , DF= 12OD.∴ BE=DF.在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE=∠CDF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF.(2) 当 AC= 2AB 时,四边形 EGCF 是矩形.理由:∵ AC=2OA, AC=2AB,∴ AB=OA.∵ E 是OB 的中点,∴ AG⊥ OB.同理,可得CF⊥OD,∴ AG∥CF,即EG∥CF.由 (1),知△ABE≌△CDF,∴ AE=CF.∵ EG=AE, ∴ EG=CF.∴ 四边形EGCF 是平行四边形.∵ AG⊥ OB,∴ ∠OEG=90°.∴ 四边形EGCF 是矩形. 16. (1) ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AB=BC.又 ∵ ∠ABC=60°,∴ △ABC 是等边三角形.∴ ∠BCA= 60°.∵ E 是线段AC 的中点,AB=BC,∴ ∠CBE= ∠ABE=30°,AE=CE.∵ CF=AE,∴ CE=CF.∴ 易 得∠F=∠CEF=12∠BCA=30°.∴ ∠CBE=∠F. ∴ BE=EF.(2) 成立.过点E 作EG∥BC,交AB 于点 G.∵ 四边形ABCD 为菱形,∴ AB=BC.又∵ ∠ABC= 60°,∴ △ABC 是等边三角形.∴ AB=AC,∠BCA= ∠BAC=60°.∴ ∠ECF=120°.∵ EG∥BC,∴ ∠AGE= ∠ABC=60°,∠AEG = ∠BCA =60°.∴ ∠BAC = ∠AGE=∠AEG.∴ △AGE 是等边三角形.∴ AG= AE=GE.∴ AB-AG=AC-AE,即 BG=EC. ∵ ∠AGE=60°,∴ ∠BGE=120°.∴ ∠BGE=∠ECF. ∵ CF=AE,AE=GE,∴ GE=CF.在△BGE 和△ECF 中, BG=EC, ∠BGE=∠ECF, GE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGE≌△ECF.∴ BE=EF. 17. (1) ∵ 正方形ABCD 的边长为6,M 为AB 的中点, ∴ ∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD= AD=6,AM =BM =3.∵ △MBE 是等边三角 形, ∴ MB=ME=BE,∠BME=60°.∵ ∠PMQ=60°, ∴ ∠BME=∠PMQ.∴ ∠BME-∠EMQ=∠PMQ- ∠EMQ,即 ∠BMQ = ∠EMP.∵ ME ⊥ FG, ∴ ∠MEP=90°.∴ ∠MBQ=∠MEP.在△MBQ 和 △MEP 中, ∠BMQ=∠EMP. MB=ME, ∠MBQ=∠MEP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MBQ≌△MEP. (2) PF+GQ 的值不变.如图,连接MG,过点F 作FH⊥ BC 于 点 H.由 (1),可 知 ∠MBG = ∠MEG =90°. ∵ MB=ME,MG=MG,∴ Rt△MBG≌ Rt△MEG. ∴ BG=GE,∠BMG=∠EMG=12∠BME=30°.∴ 易 得 ∠BGM = ∠EGM = 60°.∴ ∠FGH = 60°. ∵ ∠BMG=30°,∴ 易 得 MG=2BG.设 BG=x,则 MG=2x.在Rt△MBG 中,由勾股定理,得BG2+BM2= MG2,即x2+32=(2x)2,解得x= 3(负值舍去). ∴ BG= 3.∴ EG= 3.∵ FH ⊥BC,∴ ∠FHC= 90°.又∵ ∠C=∠D=90°,∴ 四边形 DCHF 是矩形. ∴ FH =CD=6.∵ ∠FGH =60°,∴ ∠GFH =30°. ∴ 易得FG=2GH.设GH=a,则FG=2a.在Rt△FGH 中,由勾股定理,得 GH2+FH2=GF2,即a2+62= (2a)2,解得a=23(负值舍去).∴ GH=23,FG= 43.∵ △MBQ≌△MEP,∴ QB=PE.∴ PE=QB= BG+GQ.∵ FG=PF+PE+EG=PF+BG+GQ+ EG=PF+GQ+23,∴ PF+GQ=FG-23=23. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈