第9章 中心对称图形——平行四边形1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

1 1 复习进阶 第7章　数据的收集、整理、 描述　 　 一、 1. A 2. B 因对概念的理解不准确而导致错误 日常生活中的“考察对象”与总体、个体、样本中的 “考察对象”意义不同,前者指生活中的人或物(如学 生、灯光等),后者指生活中的人或物的某种属性(如学 生的视力、灯泡的使用寿命等).表述总体、个体、样本 时易将统计学中的“考察对象”与日常生活中的“考察 对象”混淆,导致出错.另外,样本容量是指样本中个体 的数目,它是不带单位的. 3. C 4. A 5. B 双统计图问题的求解策略 题目中如果有两幅统计图,那么要抓住在两幅统 计图中量都已知的同一项目,利用“频率= 频数 总数 ”求出 总数,进而求得统计图中其他项目的量. 6. C 7. A 8. D 9. B 二、 10. 20% 11. 57 12. 384 解析:设第三组的数据个数为x,则这组数据的 总个数为250+230-x=480-x.∴ x 480-x=0.25 ,解得 x=96.∴ 所以这组数据的个数为480-96=384. 13. 2020 2019 三、 14. (1) 抽样调查.(2) 样本中的脂肪平均供能比= (36.6%×35+40.4%×25+39.2%×40)÷(35+25+ 40)≈38.6%,碳水化合物平均供能比=(48.0%×35+ 44.1%×25+47.5%×40)÷(35+25+40)≈46.8%. (3) 答案不唯一,如减少脂肪类食物,增加碳水化合物类 食物. 第8章　认识概率 一、 1. D 2. D 3. C 4. B 5. A 6. C 7. D 8. D 因对频率稳定值和概率估计值的 理解不准确而导致错误 在一定条件下,多次重复同一试验,随机事件A 发 生的频率为a%,这里的a%不是指每做100次试验,随 机事件A 就一定有a次发生,而是指平均每做100次 试验,随机事件A 有a次发生,即a是一个平均值. 9. B 运用频率估计概率思想来估计不规则图形的面积 估计不规则图形的面积,常通过做大量重复的试 验,得到试验结果在不规则图形中的频率,再利用所得 频率来估计概率,进而运用概率的意义建立面积之间 的数量关系,从而求得不规则图形的面积. 10. C 二、 11. ③ 12. 1 6 13. ②①③ 14. A 15. 1 三、 16. (1) n为5或6.(2) n为1或2.(3) n为3或4. 17. (1) x=1000-412-388=200.(2) ① B酒店.理由: A酒店:获得良好用餐体验的评价共有412+388= 800(条),B酒店:获得良好用餐体验的评价共有420+ 390=810(条),C酒店:获得良好用餐体验的评价共有 405+375=780(条).∵ A、B、C三家酒店的评价条数都是 1000,∴ 选择B酒店获得良好用餐体验的可能性最 大.② 不一定,只是获得良好用餐体验的可能性大,但不 一定能够获得良好用餐体验. 18. (1) 295;0.745.(2) 0.6;0.6.(3) 360°×(1-0.6)= 144°.∴ 在该转盘中,标有“手工”区域的扇形对应的圆心 角的度数大约是144°. 第9章　中心对称图形—— 　　平行四边形1 一、 1. D 2. B 3. D 4. B 5. A 6. C 因对等腰三角形的问题考虑不全面而导致错误 已知等腰三角形的一条腰,如果没有指明另一条 腰,那么另两条边都有可能是腰,此时要分类求解,这 样思考才全面. 7. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 8. D 解析:连接DN、DB.在Rt△DAB 中,∵ ∠A= 90°,AB=2 3,AD=2,∴ BD= AD2+AB2 =4. ∵ E、F 分别为DM、MN 的中点,∴ EF=12DN. 由题 意,可知当点N 与点B 重合时,DN 的长最大,最大值为 4,∴ EF 长的最大值为2. 9. B 解析:连接DF.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ 点 B 与点D 关于AC 对称.∴ BF=DF.∴ △BFE 的周 长=BF+EF+BE=DF+EF+BE.连接DE,根据“两 点之间,线段最短”可知,当点D、F、E 在同一条直线上 时,DF+EF 的值最小,为DE 的长,此时△BFE 的周长 最小,为DE+BE 的值.∵ 正方形ABCD 的边长为4, ∴ AD=AB=4,∠DAB=90°.∵ 点E 在AB 上且BE= 1,∴ AE=3.在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得 DE= AD2+AE2=5,∴ 此时△BFE 的周长=5+1=6. 利用对称性求最小值 正方形是轴对称图形,对角线所在的直线是它的 对称轴.如果两条线段的公共端点在正方形的对角线 上且这两条线段在对角线的同侧,那么这两条线段长 度之和的最小值可利用正方形的对称性求解,即先作 其中任意一条线段的另一端点关于对角线的对称点, 得到这条线段的对称线段,再利用“两点之间,线段最 短”求出最小值. 二、 10. 4a+2b 11. 24 5 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠ABC= 90°,BD=AC,AD=BC=8,AB=CD=6,OA=OC, OB=OD.在 Rt△ABC 中,AC= AB2+BC2 =10, ∴ BD=AC=10.∴ AO=OC=OD=5.∵ AO=OC, ∴ S△AOD= 1 2S△ACD= 1 2× 1 2×6×8=12.∴ S△AOE+ S△OED=12.∴ 1 2AO ·OE+12EF ·OD=12.∵ AO= OD=5,∴ 1 2×5 (OE+EF)=12.∴ OE+EF=245. 12. 40 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=AD= DC=4,AB∥DC.∵ CE=DE,∴ DE=12CD=2. ∵ AE⊥CD,∴ ∠AED=90°.∴ AE2=AD2-DE2= 42-22=12.∵ AB∥DC,∴ ∠BAE=∠AED=90°. ∴ BE2=AB2+AE2=42+12=28.∴ AE2+BE2=12+ 28=40. 13. ①②③④ 14. 12 5 解析:连接AD.∵ ∠BAC=90°,且AB=3, AC=4,∴ 易 得 BC=5.∵ DM ⊥AB,DN ⊥AC, ∴ ∠DMA=∠DNA=90°.∴ 四 边 形 DMAN 是 矩 形.∴ MN=AD.∵ 当AD⊥BC 时,AD 的长最小,此时 △ABC 的面积=12AB ·AC=12BC ·AD,∴ AD= AB·AC BC = 12 5.∴ 线段MN 长的最小值为125. 三、 15. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,∠ABC=∠ADC,AD=CB.∴ ∠DAG=∠BCE. ∵ BE、DG 分 别 平 分 ∠ABC、∠ADC,∴ ∠CBE= 1 2∠ABC ,∠ADG=12∠ADC.∴ ∠CBE=∠ADG.在 △ADG 和△CBE 中, ∠DAG=∠BCE, AD=CB, ∠ADG=∠CBE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌ △CBE.∴ DG=BE,∠DGA=∠BEC.∴ 易得∠DGC= ∠BEA.∴ DG∥BE.(2) 如图,过点E 作EH⊥BC 于点 H.∵ BE 平分∠ABC,EF⊥AB,∴ EH =EF=6. ∵ ▱ABCD 的周长为56,∴ AB+BC=28.∴ S△ABC= 1 2AB ·EF+12BC ·EH=12EF (AB+BC)=12×6× 28=84. 第15题 16. (1) △DEH 为等腰直角三角形.理由:如图,连接 DF.∵ 点A、F 关于DE 对称,∴ AD=FD,AE=FE.在 △ADE 和 △FDE 中, AD=FD, AE=FE, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE ≌ △FDE.∴ ∠A=∠DFE,∠ADE=∠FDE.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A=∠C=∠ADC=90°,AD= CD.∴ ∠DFE= ∠A =90°.∴ ∠DFG =180°- ∠DFE=90°.∴ ∠DFG=∠C.∵ AD=FD,AD=CD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 ∴ FD=CD.在Rt△DCG 和Rt△DFG 中, DG=DG, CD=FD, ∴ Rt△DCG ≌ Rt△DFG.∴ ∠CDG = ∠FDG. ∵ ∠ADC=90°,∴ 2∠FDE + 2∠FDG = 90°. ∴ ∠FDE+∠FDG=45°,即∠EDG=45°.∵ EH⊥DE, ∴ 易得∠EDG=∠DHE=45°.∴ △DEH 为等腰直角 三角形.(2) BH= 2AE.如图,在线段AD 上截取AM, 使AM=AE,连接 ME.∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=AB.∴ 易得DM=EB.由(1),得△DEH 是等 腰直 角 三 角 形,∴ ∠AED + ∠BEH = ∠AED + ∠MDE=90°,DE =EH.∴ ∠BEH = ∠MDE.在 △DME 和△EBH 中, DM=EB, ∠MDE=∠BEH, DE=EH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DME≌ △EBH.∴ ME=BH.在 Rt△AEM 中,∠A=90°, AM=AE,∴ 易得ME=2AE.∴ BH=2AE. 第16题 17. (1) ∵ D、E、M、N 分别为AC、AB、OB、OC 的中点, ∴ DE∥BC,DE= 12BC ,MN∥BC,MN = 12BC. ∴ DE∥MN,DE=MN.∴ 四边形DEMN 为平行四边 形.∴ OM=OD.∵ M 为OB 的中点,即OM=BM, ∴ OB=2OM=2OD.∴ OB OD=2. (2) 当AB=AC 时,四 边形 DEMN 是 矩 形.∵ D、E 为 AC、AB 的 中 点, ∴ AD=12AC ,AE=12AB.∵ AB=AC,∴ AD= AE.在△ADB 和△AEC 中, AD=AE, ∠A=∠A, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB≌ △AEC.∴ BD=CE.∵ OD=OM =BM,∴ MD= 2 3BD. 同理,可得NE=23CE ,∴ MD=NE.由(1),得 四边形DEMN 为平行四边形,∴ 四边形DEMN 为矩 形.(3) ∵ 四边形 DEMN 是正方形,∴ OE=OD= OM=ON,OE⊥OD.∴ ∠EOD=∠EOB=90°.设OE= OD=OM=ON=x,则OB=2x,ED= OE2+OD2= 2x.在 Rt△BOE 中,由 勾 股 定 理,得 BE = OE2+OB2= 5x,∴ 易得 AB=2 5x.∵ BC= 2ED=22x,∴ AB BC= 25x 22x = 102 . 第9章　中心对称图形—— 　　平行四边形2 一、 1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. C 解决“中点四边形”的一般方法 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做这个 四边形的中点四边形,解答与中点四边形有关问题的 一般方法:先连接中点四边形所在的原四边形的对角 线,构造出三角形,然后利用三角形的中位线定理解 题.特别地,(1) 原四边形的对角线相等,由三角形的中 位线定理可证中点四边形的邻边相等,此时中点四边 形为菱形;(2) 原四边形的对角线互相垂直,由三角形 的中位线定理可证中点四边形的邻边互相垂直,此时 中点四边形是矩形. 7. D 8. C 灵活运用中点构造三角形的中位线 如果题目中有“中点”这一条件,那么可根据其他 条件构造出另一中点,使这两个中点的连线恰好为某 个三角形的中位线,进而运用三角形的中位线定理来 求解. 9. C 二、 10. 6.8 11. 48 12. 34或38 因未对不同长度的线段进行分类讨论而导致错误 某条线(或某个点)把一条线段分成两条不相等的 线段,如果没有明确指出这两条不相等的线段中较长 的线段、较短的线段,而是用不确定性的文字表述,如 “分成长为……的两条线段”,那么要进行分类讨论,即 分成的不相等的两条线段中,任一条线段都有可能是 较长线段,这样求解才全面. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 第9章　中心对称图形——平行四边形1 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题4分,共36分) 1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称 图形的为 ( ) A B C D 2. (乐山中考)如图,在▱ABCD 中,过点D 作 DE⊥AB,垂足为E,过点B 作BF⊥AC,垂 足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF 的长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 5 2 D. 2 第2题 第3题 3. (常德中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,∠ACB=30°,将△ABC 绕点C 按顺时 针方向旋转60°得到△DEC,点A、B 的对应 点分别是D、E,F 是边AC 的中点,连接 BF、BE、FD,则下列结论错误的是 ( ) A. BE=BC B. BF∥DE,BF=DE C. ∠DFC=90° D. DG=3GF 4. 新考法 开放题 (襄阳中考)已知四边形 ABCD 是平行四边形,AC、BD 相交于点O, 则下列结论中,错误的是 ( ) A. OA=OC,OB=OD B. 当AB=CD 时,四边形ABCD 是菱形 C. 当∠ABC=90°时,四边形ABCD 是矩形 D. 当 AC=BD 且AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是正方形 5. (包头中考)如图,在矩形ABCD 中,AD> AB,点E、F 分别在边AD、BC 上,EF∥ AB,AE=AB,AF 与BE 相交于点O,连接 OC.若BF=2CF,则OC 与EF 之间的数量 关系正确的是 ( ) 第5题 A. 2OC=5EF B. 5OC=2EF C. 2OC=3EF D. OC=EF 6. ★在 矩 形 ABCD 中,点 E 在 边 AD 上, △BCE 是以BE 为一腰的等腰三角形.若 AB=4,BC=5,则线段DE 的长为 ( ) A. 2.5 B. 3 C. 2.5或2 D. 2.5或3 7. (无锡中考)如图,在▱ABCD 中,AD=BD, ∠ADC=105°,点E 在AD 上,∠EBA= 60°,则EDCD 的值是 ( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 2 第7题 第8题 8. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=90°,AB= 23,AD=2,M、N 分别为线段BC、AB 上 的动点(点M 不与点B 重合),E、F 分别为 DM、MN 的中点,则EF 长的最大值为 ( ) A. 3 B. 23 C. 4 D. 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 8 答案讲解 9. ★(恩施中考)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在AB 上且BE= 1,F 为对角线AC 上一动点,则 △BFE 周长的最小值为 ( ) 第9题 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、 填空题(每小题5分,共25分) 10. (江西中考)如图,将▱ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点E 处,CE 交AD 于点F. 若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a, FD=b,则▱ABCD 的周长为 . 第10题 第11题 11. (广州中考)如图,矩形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点O,AB=6,BC=8,过点O 作OE⊥AC,交 AD 于点E,过点 E 作 EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF 的值为 . 12. 如图,在菱形ABCD 中,AB=4,CE=DE, AE⊥CD,E 为垂足,则 AE2+BE2= . 第12题 第13题 答案讲解 13. (攀枝花中考)如图,以△ABC 的 三边为边在BC 上方分别作等边 三角形ACD、等边三角形ABE、 等边三角形BCF,且点A 在△BCF 内部. 给出下列结论:① 四边形ADFE 是平行四 边形;② 当∠BAC=150°时,四边形ADFE 是矩形;③ 当AB=AC 时,四边形ADFE 是菱形;④ 当AB=AC,且∠BAC=150° 时,四边形ADFE是正方形.其中,正确的结 论有 (填序号). 答案讲解 14. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=3,AC=4,D 为斜边BC 上的一个动点,过点 D 分别作 DM⊥AB于点M,DN⊥AC 于点N,连接 MN,则线段MN 长的最小值为 . 第14题 三、 解答题(共39分) 15. (12分)(扬州中考)如图,在▱ABCD 中, BE、DG 分别平分∠ABC、∠ADC,交AC 于点E、G. (1) 求证:DG∥BE,DG=BE. (2) 过点E 作EF⊥AB,垂足为F.若 ▱ABCD 的周长为56,EF=6,求△ABC 的面积. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 9 16. (12分)如图,在正方形ABCD 中,E 是边 AB 上的一动点(不与点A、B 重合),连接 DE,点A 关于直线DE 的对称点为F,连 接EF 并延长,交BC 于点G,连接DG, ∠CGD=∠DGE,过点E 作EH⊥DE,交 DG 的延长线于点H,连接BH. (1) 猜想△DEH 的形状,并说明理由; (2) 猜想BH 与AE 的数量关系,并证明. 第16题 17. (15分)如图,在△ABC 中,BD、CE 分别是 边AC、AB 上的中线,BD 与CE 相交于点 O,M、N 分别为OB、OC 的中点,连接ED、 EM、MN、ND. (1) 求OB OD 的值. (2) 当△ABC 满足什么条件时,四边形 DEMN 是矩形? 给出你的结论并证明. (3) 若四边形 DEMN 是正方形,求ABBC 的值. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶