第1章 一元二次方程（高效培优单元测试·提升卷）数学苏科版九年级上册

第1章 一元二次方程（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 【答案】C 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 2．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 3．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ． 题目给出根的积为 ，因此有： 解得： 验证判别式： 当 时，，方程有实根，符合条件． 故选B． 4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 5．我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方，得， ∴， ∴， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． A. ，∴A正确； B. ，∴B不正确； C. ，∴C不正确； D. ，∴D不正确． 故选：A． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【答案】 【详解】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 8．已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ． 【答案】 【详解】解：把代入一元二次方程， 得． ． 当时，方程不是一元二次方程，不合题意． ． 当时，． ， 或． 故答案为：． 9．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 10．已知、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，即；； ∴ ． 11．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是 ． 【答案】 【详解】解：从水池边到圆周，每边相距3步远，且正方形的边长是步， 圆的直径为步． 根据题意得：． 故答案为：． 12．若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 根据根与系数的关系得, ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 13．如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ，得， 整理得，， ∵方程组无实数解， ∴一元二次方程无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 14．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】2或5 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 总有两个不相等的实数根， ， 解得， 是正整数， ，2，3，4，5，6， 方程是“倍根方程”， 能被整除或能被3整除， ∴或6或 或5或0(舍去)． 故答案为：2或5． 15．如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得： ∵各位数字之和大于小于， 或， 又∵， (舍去)或， 若则，该数为， 若则，该数为， 答： 这个“勤劳数” 432或630， 满足条件的所有“勤劳数”的和是， 故答案为：． 16．若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，的解是一切实数， 当时，，符合题意； 当时，则有：， ∴， ， 解得：； 时，， 当， ， ， ， 不满足“自变量的取值范围是一切实数”，故此种情况舍去； 综上，． 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 18．（8分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ∴， ，． （2）解： ∴   ∴ ∴ 解得：， （3）解： ∴   ∴或 ，． 19．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意得： 方程总有两个实数根； （2）解： ， 方程有一个根是正数， ． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 21．（8分）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)场地的宽为8米 【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 22．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【详解】（1）证明：， ∵，，， ∴ ， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵是直角三角形，且斜边长， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∵和是直角边， ∴和是正数， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴的周长为． 23．（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 (4)15 【详解】（1）解：∵位置C的数字为x， ∴位置B的数字为， 位置A的数字为， 位置D的数字为， 位置E的数字为． 故答案为：，，， （2）解：规律为：； 故答案为： （3）解：； （4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴． 即中间C位置上的数为15． 故答案为：15 24．（8分）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 25．（8分）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 26．（8分）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 27．（10分）如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ， ∴， ∴， ， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∴， ∴， ①当四边形为平行四边形时， ， ∴， ∴， ②当四边形为平行四边形时， ， ∴， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：①当在边上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 解得 (舍去)， ②当在边上时， ， 解得； 综上所述或时，平行四边形的面积为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 2．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 5．我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 8．已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ． 9．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 10．已知、是方程的两根，则的值为 ． 11．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是 ． 12．若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 13．如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是 ． 14．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 15．如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 16．若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 18．（8分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 19．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 21．（8分）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 22．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 23．（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 24．（8分）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 25．（8分）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 26．（8分）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 27．（10分）如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$