专题02不等式 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题02不等式 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1不等式的性质（5年1考） 2022年作差法比较代数式的大小；利用不等式求值或取值范围 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法是必考内容，常以填空题形式出现。 不等式常与函数、数列、解析几何等交叉考查，形成综合题型。 试卷难度呈现 “基础题占比稳定，综合题适度创新” 的特点。基础题侧重公式应用和基本运算，如解不等式、比较大小等；综合题则强调思维深度，如不等式证明、多变量最值问题等。 2024 年高考改革后，原 “不等式选讲” 变为必考内容，绝对值三角不等式等成为新增重点。 考点2一元二次不等式（5年3考） 2025年解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 2024年解不含参数的一元二次不等式 2021年解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 考点3基本不等式（5年2考） 2025年基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 2021年基本（均值）不等式的应用 考点4绝对值不等式（5年2考） 2023年公式法解绝对值不等式 2021年公式法解绝对值不等式 考点01 不等式的性质 1．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 考点02 一元二次不等式 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 5．（2021·上海·高考真题）不等式的解集为 . 6．（2021·上海·高考真题）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，则（    ） A．A⊆B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R 考点03 基本不等式 7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 8．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则 . 考点04 绝对值不等式 9．（2023·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 10．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 一、单选题 1．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 二、填空题 5．（2025·上海杨浦·三模）已知，则的范围是 ． 6．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ． 7．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是 . 8．（2025·上海·模拟预测）不等式：的解集是 . 9．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 10．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 11．（2025·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 12．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 13．（2025·上海·模拟预测）已知集合，则 . 14．（2025·上海·三模）对于实数，若，则的最大值为 . 15．（2025·上海松江·二模）如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 16．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 三、解答题 17．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 18．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 19．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02不等式 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1不等式的性质（5年1考） 2022年作差法比较代数式的大小；利用不等式求值或取值范围 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法是必考内容，常以填空题形式出现。 不等式常与函数、数列、解析几何等交叉考查，形成综合题型。 试卷难度呈现 “基础题占比稳定，综合题适度创新” 的特点。基础题侧重公式应用和基本运算，如解不等式、比较大小等；综合题则强调思维深度，如不等式证明、多变量最值问题等。 2024 年高考改革后，原 “不等式选讲” 变为必考内容，绝对值三角不等式等成为新增重点。 考点2一元二次不等式（5年3考） 2025年解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 2024年解不含参数的一元二次不等式 2021年解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 考点3基本不等式（5年2考） 2025年基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 2021年基本（均值）不等式的应用 考点4绝对值不等式（5年2考） 2023年公式法解绝对值不等式 2021年公式法解绝对值不等式 考点01 不等式的性质 1．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 2．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 考点02 一元二次不等式 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 5．（2021·上海·高考真题）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【详解】． 故答案为：． 6．（2021·上海·高考真题）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，则（    ） A．A⊆B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合中不等式，计算，依次判断即可 【详解】由题意，或 由 和不存在包含关系， 故选：D 考点03 基本不等式 7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 8．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】配方得，结合基本不等式即可求解 【详解】，当且仅当时等号满足， 故答案为：9 考点04 绝对值不等式 9．（2023·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】利用绝对值不等式的解法求解. 【详解】由得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 10．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数与方程的综合应用、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）解绝对值不等式即可得答案； （2）利用有两个不同的实数根，转化为有两个根，利用换元法可求实数a的取值范围； （3）分与两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的取值范围. 【详解】解：（1），∴，解得； 所以函数的定义域为. （2）由题知有2个不同实数根， 所以，， 设，∴有2个不同实数根， ∴整理得，有2个不同实数根，同时， ∴； （3）当，，在递减， 此时需满足，即时，函数在上递减； 当，，在上递减， ∵， ∴，即当时，函数在上递减； 综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减. 所以的取值范围是 【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为，有2个不同实数根，进而求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解. 一、单选题 1．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、绝对值三角不等式 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 2．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由基本不等式比较大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 3．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较函数值的大小关系 【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断. 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 4．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【知识点】由基本不等式比较大小、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 二、填空题 5．（2025·上海杨浦·三模）已知，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 6．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 故答案为：. 7．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为, 所以原不等式的解集为：. 故答案为： 8．（2025·上海·模拟预测）不等式：的解集是 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】移项通分，利用因式分解法求解不等式. 【详解】不等式， 而恒成立，解得，且， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 9．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 10．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 【答案】 【知识点】条件等式求最值、指定区间的概率 【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 11．（2025·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 12．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 13．（2025·上海·模拟预测）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题可求集合B，接着求即可. 【详解】由题知，又, 所以 故答案为： 14．（2025·上海·三模）对于实数，若，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】解绝对值不等式得出，，再利用不等式的性质求出即可求出最值. 【详解】由题意可得，，， 则，，则，得， 故，则的最大值为. 故答案为：. 15．（2025·上海松江·二模）如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式的恒成立问题、锥体体积的有关计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定的信息求出三棱锥的体积，进而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解. 【详解】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ，又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 16．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】作出函数的图象，令，即，设为方程的两个根，且，分、两种情况进行讨论，从而可得以及实数a的取值范围，则的范围可求. 【详解】作出函数的图像，如图所示，    有，， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 由于，则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最大值为， 当时，，此时， 即； 故答案为：. 三、解答题 17．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 18．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即的面积最大值为. 19．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】简单的指数方程、基本不等式求和的最小值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$