1.3.2 空间向量运算的坐标表示（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 掌握空间向量的坐标运算,探索并得出空间两点间的距离公式,培养数学运算的核心素养 掌握空间向量平行、垂直的坐标表示,培养数学运算的核心素养 能利用空间向量的坐标表示解决线线角和线段长度等问题,提升数学运算及逻辑推理的核心素养 新知导入 O x y z A 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 新知探究 问题1 你能类比平面向量的坐标运算，类比出空间向量的坐标运算？ 类 比 你能证明吗？ 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 新知探究 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示 设 为空间的一个单位正交基底,则： 所以, 得到 利用向量数量积的分配律以及 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的． 新知探究 问题2 我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 已知 ,则 当 时 类 比 空间向量坐标运算 已知 ,则 当 时 问题3 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 新知探究 O P2 P1 如图，建立空间直角坐标系 设 是空间中任意两点，则 于是 所以 ——空间两点间的距离公式 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 典例分析 例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明： 新知探究 问题4 你能从上面例题的解答过程中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？ 建系 表示 运算 定结果 建立恰当坐标系 用向量表示元素 进行向量坐标运算 由运算结果定结论 典例分析 A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例2 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. 典例分析 A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例2 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. 课后练习 课本练习 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. 课后练习 课本练习 3. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 课后练习 课本练习 4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，BM=2MC', 求MN的长. A O C B A' D' C' B' M N 课后练习 课本练习 5. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 M 空间向量的坐标运算 题型一 题型探究 【例1】(1)已知向量,若 ,则实数 ( ) A. B. C. 0 D. 1 [解析] 由题意得 , 则 ,故选D. D 【例1】(2)已知向量 ,则向量 ( ) A. B. C. D. A [解析] 由题意得 故选A. 空间向量的坐标运算 题型一 题型探究 【例1】(3)已知点,求点 的坐标. [解析] 设,则 , 又 , 所以 , 所以解得 即 空间向量的坐标运算 题型一 题型探究 提分笔记 空间向量坐标运算的解题方法 （1）直接计算,首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标时,首先把向量用坐标的形式设出来,然后建立方程（组）,解方程（组）求出其坐标. 空间向量平行、垂直的坐标表示 题型二 题型探究 【例2】已知空间中三点 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，设 </m> , <m></m> . (1)若 <m></m> ，且 </m> ，求向量</m>； (2)已知向量 <m></m> 与</m>互相垂直，求实数<m></m>的值. [解析] (1)易知 <m></m> ，因为 <m></m> ， 所以设 <m></m> ， 又 <m></m> ，所以 <m></m> ，即 <m></m> ， 所以 <m></m> 或 <m></m> . (2)易知 <m></m> , <m><m></m> ， 因为 <m></m> 与 <m><m></m> 互相垂直， 所以 <m></m> ，即 <m></m> ， 故 <m></m> ，所以 <m></m> . 空间向量平行、垂直的坐标表示 题型二 题型探究 解题感悟 1.判断空间向量平行或垂直的步骤 （1）将空间中的平行与垂直转化为向量的平行与垂直; （2）写出向量的坐标; （3）对于,根据 , 或均不为0 是否成立判断两向量是否平行.根据 是否等于0判断两向量是否垂直. 2.由空间向量平行或垂直求值 只需根据平行或垂直的条件建立方程（组）求解即可. 夹角和距离的运算 题型三 题型探究 【例3】如图,已知三棱锥满足 底面 为 的中点, . （1）求 的长; （2）求异面直线与 所成角的余弦值. [解析] (1)以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴, 轴 的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 设F的坐标为 ,由,得 , 解得 ,所以 ,所以 , 所以 , 即的长为 . 夹角和距离的运算 题型三 题型探究 【例3】如图,已知三棱锥满足 底面 为 的中点, . （1）求 的长; （2）求异面直线与 所成角的余弦值. [解析](2) 设异面直线与所成的角为 , 易得 , , 异面直线与所成角的余弦值为 . 夹角和距离的运算 题型三 题型探究 解题感悟 1.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; （2）根据已知条件写出有关点的坐标,进而得到相关向量的坐标; （3）利用向量数量积的坐标公式求得异面直线的方向向量的夹角,进而 可得异面直线所成的角. 2.利用向量的坐标求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系; （2）求出线段端点的坐标; （3）利用空间两点间的距离公式求出线段的长. 课堂小结 1.知识清单： (1)向量的坐标的运算. (2)向量的坐标表示的应用. 2.方法归纳：类比、转化. 3.常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 感谢聆听! $$