第十九讲：多项式（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第十九讲：多项式 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：含字母式子的书写及意义 1. 每个单项式叫做多项式的项. 2. 不含字母的项叫做常数项. 3. 每一项次数是几就叫做几次项. 4. 次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. 5. 多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号. 知识点02：整式 定义总结： 单项式与多项式统称为整式. 知识点03：知识总结 考点1：多项式的判断 【典型例题】 下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 【详解】解：下列式子：，，，，，，，．其中，，，是多项式，共4个． 故选B． 【变式训练1】 在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【答案】A 【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键． 【详解】解：在代数式中， 多项式有：，，共计个， 单项式有：，，，共计个， 故选：A． 考点2：多项式的项、项数或次数 【典型例题】 若的系数为a，的次数是b，则的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】此题考查的是单项式的系数和多项式的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数和单项式的系数的概念分别求出的值，再相加即可． 【详解】解：的系数为a，的次数是b， ， ， 故选：C 【变式训练1】 若是的系数，是多项式的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数、单项式的系数．根据单项式中的数字因数就是单项式的系数可知，根据多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数可知，把和的值代入计算即可． 【详解】解：是的系数， ， 是多项式的次数， ， ． 故选：D． 【变式训练2】 多项式的项数及次数分别是（   ） A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2 【答案】A 【分析】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的相关的定义即可判定． 【详解】解：多项式是三次三项式， 所以项数及次数分别是3，3． 故选：A． 考点3：多项式的系数、指数中字母求值 【典型例题】 已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解． 【详解】解：由题意得：，， 所以，或，， 当，时，； 当，时，． 故选：C． 【变式训练1】 如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的问题．根据多项式的定义以及性质即可求出m的值．b次a项式：一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 【详解】∵是关于x，y的五次三项式， ∴， ∴或，且 ∴． 故选：A． 【变式训练2】 若是一个五次二项式，则（     ） A．0 B．5 C．0或5 D．4或5 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数和项数，由题意知中只含2个单项式，可得，进而可得m的值．掌握多项式的次数和项数的定义是解题的关键． 【详解】解：是一个五次二项式， 中只含2个单项式， ， 时，，不合题意， ． 故选A． 一、单选题 1．下列说法正确的有（    ） A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式、整式、单项式，熟练掌握相关概念是关键．根据整式包括单项式和多项式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、是整式，原说法正确，符合题意； B、是多项式，原说法错误，不符合题意； C、是整式，原说法错误，不符合题意； D、是分式，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 3．多项式的各项分别是（   ） A．，，1 B．，，1 C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据项的定义解答即可． 【详解】解：多项式的各项分别是，，． 故选D． 4．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，，9 C．2，6，9 D．2，， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程相关定义确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数为2，一次项系数为、常数项为， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，熟记一元二次方程的有关概念是解题关键． 5．多项式是关于，的四次二项式，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式的次数及项数得出，，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于，的四次二项式， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】题目主要考查多项式的次数及项数，准确掌握这两个基础知识点是解题关键． 6．若多项式是关于的二次多项式，则的值是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据二次多项式，可得三次项的系数为0，二次项的系数不为0，可得答案． 【详解】解：若多项式是关于的二次多项式， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式，得出三次项的系数为0，二次项的系数不为0是解题关键． 7．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 8．按一定规律排列的多项式：，，，，，，，第10个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，，， ∴的系数是（是正整数），奇数项的符号为正，偶数项的符号为负，的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的符号为负，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． 9．用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，能够根据图形的不同找出规律是解题的关键．对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3个白色正方形．因此第n个图中的白色正方形的个数是，即，据此求解． 【详解】解：根据分析，第n个图中的白色正方形的个数是： ， 当时，， ∴第10个图中有31个白色正方形． 故选：C． 二、填空题 10．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 11．已知多项式的次数为，常数项为，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查多项式，多项式的次数：是字母指数和最大的那个单项式的次数；项数：是单项式的个数（包括不含字母的常数项）；常数项：是不含字母的项． 由多项式的次数，常数项的概念，即可解决问题． 【详解】解：多项式的次数为，常数项为， ，， ． 故答案为：11． 12．多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键． 【详解】解：多项式不含项和项， ， 解得：， 原多项式为， 当时， 原式 ； 故答案：． 14．多项式是关于的四次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数与次数问题，关键掌握多项式的次数是最高次项的次数，会解决绝对值问题是关键． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，解得：， 故答案为：． 15．观察数列：，…；第30个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给各数发现其分子及分母的变化规律是解题的关键． 根据所给各数，观察其分子及分母的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第奇数个数为正数，第偶数个数为负数． 各数的分子的绝对值依次为：2，4，6，…， 所以第n个数的分子的绝对值可表示为：， 各数绝对值的分母依次为：3，5，7，9，…， 所以第n个数的绝对值的分母可表示为：， 所以第个数可表示为：． 当时， 第20个数为：． 故答案为：． 16．写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，根据题意，结合五次三项式、最高次项的系数为，常数项可写出所求多项式，答案不唯一，只要符合题意即可，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念． 【详解】解：根据题意，此多项式是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 17．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 三、解答题 18．指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 【答案】①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的定义，根据单项式、多项式、整式的定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式：①③⑤⑦， 多项式：②④⑥， 整式：①②③④⑤⑥⑦， 故答案为：①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦． 19．已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的六次四项式， ∴，， 即，， ∴． 20．已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 21．按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼”． (1)搭1条、2条、3条“小鱼”各用多少根火柴棒？ (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用多少根火柴棒？ (3)如果用n表示所搭“小鱼”的条数，那么搭n条这样的“小鱼”需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)搭1条，2条，3条“小鱼”各用8根，14根，20根火柴棒 (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用122根火柴棒 (3)搭n条这样的“小鱼”需要根火柴棒 【分析】本题考查了图形的变化类问题，对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，注意由特殊到一般的分析方法． （1）根据题干内容求解即可； （2）找出规律，得出搭20条这样的小鱼需要的火柴根数即可； （3）根据规律，总结出公式即可． 【详解】（1）搭第1条小鱼需要的火柴棒个数为：； 搭第2条小鱼需要的火柴棒个数为：； 搭第3条小鱼需要的火柴棒个数为：； （2）由（1）得，搭第20条小鱼需要的火柴棒个数为：； （3）由（1）得，搭第n条小鱼需要的火柴棒个数为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第十九讲：多项式 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：含字母式子的书写及意义 1. 每个单项式叫做多项式的项. 2. 不含字母的项叫做常数项. 3. 每一项次数是几就叫做几次项. 4. 次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. 5. 多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号. 知识点02：整式 定义总结： 单项式与多项式统称为整式. 知识点03：知识总结 考点1：多项式的判断 【典型例题】 下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式训练1】 在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 考点2：多项式的项、项数或次数 【典型例题】 若的系数为a，的次数是b，则的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【变式训练1】 若是的系数，是多项式的次数，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 多项式的项数及次数分别是（   ） A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2 考点3：多项式的系数、指数中字母求值 【典型例题】 已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【变式训练1】 如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．不存在 【变式训练2】 若是一个五次二项式，则（     ） A．0 B．5 C．0或5 D．4或5 一、单选题 1．下列说法正确的有（    ） A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 2．在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 3．多项式的各项分别是（   ） A．，，1 B．，，1 C．，， D．，， 4．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，，9 C．2，6，9 D．2，， 5．多项式是关于，的四次二项式，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．若多项式是关于的二次多项式，则的值是（    ） A． B． C． D．不确定 7．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．按一定规律排列的多项式：，，，，，，，第10个多项式是（    ） A． B． C． D． 9．用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 二、填空题 10．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 11．已知多项式的次数为，常数项为，则 ． 12．多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 13．已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 14．多项式是关于的四次三项式，则的值是 ． 15．观察数列：，…；第30个数为 ． 16．写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 17．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 三、解答题 18．指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：_____ ______． 多项式：_____ ______． 整式：____ _______． 19．已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 20．已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 21．按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼”． (1)搭1条、2条、3条“小鱼”各用多少根火柴棒？ (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用多少根火柴棒？ (3)如果用n表示所搭“小鱼”的条数，那么搭n条这样的“小鱼”需要多少根火柴棒？ 学科网（北京）股份有限公司 $$