1.1 集合的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 什么是集合？ 1 看下面的例子： (1)1~11之间的所有偶数； (2)方程 x2-2x-3=0 的所有实数根； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有的点； (5)立德中学今年入学的全体高一学生. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element）； 把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集) 以上例子中，我们研究的对象分别是什么？ 抽象与概括 思考 概念 1)确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的. 也就是说，给定一个集合，那么一个元素 在或不在这个集合中就确定了. “我们班的所有高个子男同学构成一个集合”这个说法对吗？ 为什么？ “我们班的所有男同学构成一个集合”这个说法对吗？为什么？ 对！ 满足确定性 不对！ 不满足确定性 元素的特性 用数学眼光看问题 集合中元素的特性 2 2)互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 元素的特性 用数学眼光看问题 集合中元素的特性 2 3)无序性 同一个集合中的元素列举时无需讲究先后顺序. 特别地，只要构成两个集合的元素相同，就称这两个 集合相等，与元素出现顺序无关. 2)单词“eat”所含字母构成的集合与单词“tea”所含字母 构成的集合是否相等？为什么？ 1)电话号码“120”所含字符构成的集合与号码“122”所含 字符构成的集合是否相等？为什么？ 不相等！元素不完全相同 相等！元素完全相同 元素的特性 用数学眼光看问题 集合中元素的特性 2 微清单 元素的特性 集合相等 两个集合所含元素相同 集合中元素的特性 2 给定集合，它的元素必须是确定的.也就是说给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了. 确定性 互异性 无序性 一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合中的元素没有前后顺序. 练一练 1.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由. (1)大于0且小于10的奇数； (2) 我国境内的高山. （1）是，确定由1，3，5，7，9五个元素组成的集合. (1)错误！不满足集合元素的互异性． 2.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)由0，∣ ∣，1 , 0.5 组成的集合包含4个元素； (2)由3，1，4与1，4，3分别组成的集合是不同的集合. (2)错误！依据元素的无序性，这两个集合相等． （2）否，“高山”不具有确定性. 我们通常用大写拉丁字母A、B、C…表示集合； 用小写拉丁字母a、b、c、…表示集合中的元素. 元素、集合的表示及关系 3 如果a是集合A中的元素，就说a属于A. 记作a∈A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A. 记作a ∉A 练一练 ∈ ∉ ∉ ∈ 用符号“∈”或“ ∉”填空： 1）若所有奇数组成集合A,则 2 A， 3 A； 2）若所有小于4的实数组成集合B，则 B, B. N* N Z Q R 数学中一些常用的数集及其记法 自然数集 N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R venn图 常用数集 4 文字语言 符号语言 图形语言 Administrator (A) - 练一练 用符号“∈”或“ ∉”填空： 0 N; -3 N; 0.5 Z； Z； Q; π R . 提醒：0∈N, 但 0 ∉N*. ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ 新知探究 5 探究一：列举法 探究二：描述法 一 二 探究问题 1 探究一：列举法 提出问题 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 如：中国的“五岳”组成的集合M可表示为 M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山} 2 探究一：列举法 突破问题 列举法表示集合，集合中的相同元素只能列举一次，元素与元素之间用“，”隔开. 列举法是把集合中的元素一一列举出来，所以一个集合能不能用列举法先要满足集合里面的元素可以一一列举. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同 的列举方法.例如，A={2,3,4,5,6}=B={6,5,4,3,2} 3 探究一：列举法 升华问题 列举法优点：方便，快捷，集合中的元素一目了然.适用于表示元素个数较少的集合. 列举法缺点：不宜看出元素所具有的特征. 列举法直观、明了地体现元素的个体，但有局限性，多适用于元素个数较少的有限集. 4 探究一：列举法 及时训练 1 探究二：描述法 提出问题 你能用列举法表示不等式x-7<3 的解集吗? 提示：不等式x-7<3 的解是x<10, 因为满足 x<10 的实数有无数个，所以x-7<3 的 解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即： x 是实数，且x<10, 把解集表示为{x∈R|x<10}. 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x) 的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}, 这种表示集合的方法称为描述法. 2 探究二：描述法 突破问题 描述法是要找到集合中元素的共同特征P(x)，然后再用{x∈A|P(x)}形式写出来. 竖线前面是研究对象，即元素，竖线后面是元素满足的共同特征. 如：奇数集可以表示为{x ∈Z|x=2k+1,k∈Z}.偶数集可以表示为{x ∈Z|x=2k,k∈Z}. 有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}. 通常我们用{x∈A|P(x)}. 我们约定，如果从上下文的关系看， x∈R,x∈Z 是明确的，那么x∈R,x∈Z可以省略，只写其元素 x. 例如，集合D={x∈R |x<10} 也可表示为D={x |x<10}; 集合 E={x∈Z |x=2k+1,k∈Z} 也可表示为E={x |x=2k+1,k∈Z}. 3 探究二：描述法 升华问题 描述法优点：省时省力 概括性强. 描述法缺点：较为抽象,不利于判断选择. 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显共同特征，不能用描述法. 有限集：元素是有限个的集合称为有限集, 无限集：元素是无限个的集合称为无限集. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 课堂小结 一、本节课学习的新知识： 元素及其表示 集合及其表示 元素与集合的关系 元素的特性 集合相等 课堂小结 二、本节课提升的核心素养： 数学运算 直观想象 逻辑推理（有序思考 分类讨论 反证法） 数据分析 课堂小结 三、本节课训练的数学思想方法： 分类讨论 递推思想 数形结合 方程思想 例1：（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A．方程的解集 B．最小的两个质数 C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解 解析：对于A，方程的解集为，不符合； 对于B，最小的两个质数构成的集合，符合； 对于C，大于1小于4的整数构成的集合，符合； 对于D，由，可得，即，故整数解集为，符合. 故选：BCD $$