第二章 直线与圆的位置关系 单元测试2024-2025学年浙教版九年级数学下册

浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试 一、选择题 1.如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC＝112°，则∠A＝（　 　） A.44° B.45° C.50° D.55° 2.如图，点A、B、C均在⊙O上，连接OA、OB、AB、BC，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，且OB∥CD．若∠D＝60°，AB＝1，则BC的长为（　　） A. B.1 C.2 D. 3.如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，AC⊥OP，BC＝2，AC＝4，则PA长为（　　） A.3.5 B.4 C.2 D.2 4.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P．若四边形ABCD的周长为20，则AB+CD等于（　 　） A.5 B.8 C.10 D.12 5.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 6.“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 7.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 8.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（　　） A.π B. C.1.5π D. 9.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到点E时，点B到达点C；当点A运动到点F时，点B到达点D．若AB＝12，OB＝5，有下列结论：①FC＝2；②EF＝12；③当AB与⊙O相切时，EA＝4；④当OB⊥CD时，EA＝AF．其中结论正确的序号是（　　） A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 10.如图，在△ABC中，∠ABC＝144°，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，若⊙O的半径为1，则的长为（　　） A. B. C. D. 11.如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（　　） A. B. C. D. 12.如图，过点Q1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线y＝4x2于点P1，再过点P1作抛物线的切线，交x轴于点Q2，构建△P1Q1Q2，按上述操作，可继续构建△P2Q2Q3、△P3Q3Q4、…、△PnQnQn+1，那么△PnQnQn+1的面积为（　 　） A. B. C. D. 二、填空题 13.如图，在△ABC中，O是边BC上的一点，以点O为圆心的⊙O与边AC相切于点A，E是半圆BED上的一点，连接AE，DE，若∠C＝32°，则∠AED的度数为 　  　． 14.圆的切线　  　过切点的半径；经过　  　外端，并且　   　这条的直线是圆的切线． 15.如图所示，⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，D，E，F为切点，若∠BOC＝105°，则∠A＝　 　度，∠ABC＝　 　度． 16.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　  　；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 　   　． 17.如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为　　． 三、解答题 18.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．求证：∠ABC＝∠CBD． 19.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围． 20.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，BO＝m，⊙O的半径为，当m为何值时，直线BC与⊙O相切？ 21.如图，已知△ABC的内切圆O切AC于点K，D是AC的中点，求证：直线DO平分线段BK． 22.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点，以点O为圆心的圆与AC相切于点D． （1）如图1，求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O与BC交于点G，过点G作AC的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E，连AE交BC于点H，如图2．求的值． 浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC＝112°，则∠A＝（　 　） A.44° B.45° C.50° D.55° 【答案】A 【解析】由F是△ABC的内心，得到BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，推出∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝2（180°﹣∠BFC），由三角形内角和定理即可求出∠A的度数． ∵点F是△ABC的内心， ∴BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝2（180°﹣∠BFC）， ∵∠BFC＝112°， ∴∠ABC+∠ACB＝2×（180°﹣112°）＝136°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝44°． 故选：A． 2.如图，点A、B、C均在⊙O上，连接OA、OB、AB、BC，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，且OB∥CD．若∠D＝60°，AB＝1，则BC的长为（　　） A. B.1 C.2 D. 【答案】A 【解析】连接OC，由切线的性质得到∠OCD＝90°，由平行线的性质得到∠ABO＝60°，∠BOC＝90°，证明△AOB是等边三角形，得到OB＝OC＝AB＝1，则由勾股定理可得． 如图所示，连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∵OB∥CD， ∴∠ABO＝∠D＝60°，∠BOC＝180°﹣∠OCD＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝OC＝AB＝1， ∴， 故选：A． 3.如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，AC⊥OP，BC＝2，AC＝4，则PA长为（　　） A.3.5 B.4 C.2 D.2 【答案】C 【解析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出AB＝2，从而得到OA＝，再证明Rt△AOP∽Rt△CBA，然后利用相似比计算PA的长． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝＝2， ∴OA＝， ∵OP⊥AC， ∴OP∥BC， ∠AOP＝∠B， ∴Rt△AOP∽Rt△CBA， ∴＝，即＝， ∴PA＝2． 故选：C． 4.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P．若四边形ABCD的周长为20，则AB+CD等于（　 　） A.5 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】由切线长定理，得：AL＝AP，BL＝BM，DN＝PD，CN＝CM；因此四边形ABCD的周长为：AL+AP+BL+BM+CM+CN+DN+DP，可化简为2AB+2CD，已知了四边形的周长，可求出AB+CD的长． 根据圆外切四边形的两组对边和相等得AB+CD＝＝10．故选：C． 5.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【答案】A 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 6.“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 【答案】B 【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 7.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 【答案】B 【解析】由切线的性质得出∠ABO＝90°，由直角三角形的性质得出∠A＝90°﹣∠AOB，即可得出结果． ∵AB和⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°； 故选：B． 8.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（　　） A.π B. C.1.5π D. 【答案】C 【解析】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB，推出四边形ABOC是正方形，求得∠BOC＝90°，OB＝AB＝3，根据弧长公式即可得到结论． 连接OC，OB， ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB， ∵∠CAB＝60°+30°＝90°， ∴四边形ABOC是正方形， ∴∠BOC＝90°OB＝AB＝3， ∴的长度＝＝1.5π， 故选：C． 9.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到点E时，点B到达点C；当点A运动到点F时，点B到达点D．若AB＝12，OB＝5，有下列结论：①FC＝2；②EF＝12；③当AB与⊙O相切时，EA＝4；④当OB⊥CD时，EA＝AF．其中结论正确的序号是（　　） A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】A 【解析】根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论． 如图，由题意可得： ∵AB＝CE＝12，AB+BO＝OE＝17，FD＝AB＝12，OC＝OB＝OD＝5， ∴FC＝FD﹣CD＝12﹣10＝2，故①正确； ∴EF＝CE﹣CF＝12﹣2＝10，故②错误； 如图，当AB与⊙O相切时，∠ABO＝90°， ∴AO＝＝13， ∴EA＝EO﹣AO＝17﹣13＝4，故③正确； 当OB⊥CD时，如图， ∴AO＝＝， ∴AE＝EO﹣AO＝17﹣，AF＝AO﹣OF＝﹣2﹣5＝﹣7， ∴AE≠AF，故④错误； 正确的有2个， 故选：A． 10.如图，在△ABC中，∠ABC＝144°，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，若⊙O的半径为1，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接OB、OC，如图，先根据切线的性质得到∠OBA＝90°，则可计算出∠OBC＝54°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC＝72°，然后根据弧长公式计算． 连接OB、OC，如图， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， ∵∠ABC＝144°， ∴∠OBC＝144°﹣90°＝54°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝54°， ∴∠BOC＝180°﹣54°﹣54°＝72°， ∴的长＝＝π． 故选：D． 11.如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，进而即可求解． ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积， ∵OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线， ∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°， ∴∠OAB+∠OBA＝∠CAB+∠CBA＝55°， ∴∠AOB＝180﹣（∠OAB+∠OBA）＝125°， ∴S阴影＝S△AOB﹣S扇形＝×10×3﹣×π×32＝15﹣π， 故选：A． 12.如图，过点Q1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线y＝4x2于点P1，再过点P1作抛物线的切线，交x轴于点Q2，构建△P1Q1Q2，按上述操作，可继续构建△P2Q2Q3、△P3Q3Q4、…、△PnQnQn+1，那么△PnQnQn+1的面积为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据已知条件得到P1的纵坐标为1，求得P1（1，4），设直线P1Q2的解析式为y＝kx+b，得到直线P1Q2的解析式为y＝kx+4﹣k，根据一元二次方程根的判别式求得k＝8（负值舍去），得到直线P1Q2的解析式为y＝8x﹣4，根据三角形的面积公式求得△P1Q1Q2的面积＝××4＝1；同理求得△P2Q2Q3的面积为、△P3Q3Q4的面积为…、于是得到结论． ∵点Q1（1，0），P1Q1⊥x轴， ∴P1的纵坐标为1， ∵点P1在抛物线y＝4x2上， ∴P1（1，4）， 设直线P1Q2的解析式为y＝kx+b， ∴k+b＝4， ∴b＝4﹣k， ∴直线P1Q2的解析式为y＝kx+4﹣k， 解得，4x2﹣kx+k﹣4＝0， ∵P1Q2与抛物线y＝4x2相切， ∴△＝k2﹣16k+64＝0， ∴k＝8（负值舍去）， ∴直线P1Q2的解析式为y＝8x﹣4， ∴直线P1Q2与x轴的交点Q2（，0）， ∴△P1Q1Q2的面积＝××4＝1； 同理求得△P2Q2Q3的面积为、△P3Q3Q4的面积为…、 ∴△PnQnQn+1的面积为， 故选：C． 二、填空题 13.如图，在△ABC中，O是边BC上的一点，以点O为圆心的⊙O与边AC相切于点A，E是半圆BED上的一点，连接AE，DE，若∠C＝32°，则∠AED的度数为 　  　． 【答案】29° 【解析】连接OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAC＝90°，则利用互余计算出∠AOC＝58°，然后根据圆周角定理求解． 连接OA，如图， ∵⊙O与边AC相切于点A， ∴OA⊥CA， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C＝32°， ∠AOC＝90°﹣∠C＝58°， ∴∠B＝∠AOC＝29°， ∴∠AED＝∠B＝29°． 故答案为：29°． 14.圆的切线　  　过切点的半径；经过　  　外端，并且　   　这条的直线是圆的切线． 【答案】垂直于；半径的；垂直于这条半径的 【解析】根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的这条直线是圆的切线． 故答案为：垂直于；半径的；垂直于这条半径的． 15.如图所示，⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，D，E，F为切点，若∠BOC＝105°，则∠A＝　 　度，∠ABC＝　 　度． 【答案】30；60 【解析】根据三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，则∠BOC＝90°+∠A，则∠A＝30°，再根据直角三角形的两个锐角互余，得∠ABC＝60°． ∵∠C＝90°，D，E，F为切点， ∴∠BOC＝90°+∠A； ∵∠BOC＝105°， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°． 16.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　  　；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 　   　． 【答案】r＜；6＜r≤8或r＝ 【解析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断． 如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB＝＝＝10， ∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH， ∴CH＝， ∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离， ∴r的取值范围为r＜， ∵⊙C与AB边只有一个公共点， ∴r的取值范围为6＜r≤8或r＝， 故答案为：r＜；6＜r≤8或r＝． 17.如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为　　． 【答案】 【解析】先判断出OP⊥AE时，∠MPN最大，判断出△ABE≌△GCE，求出CG＝4，再用勾股定理求出AE＝5，再判断出△ABE∽△GPO，求出OP，最后用勾股定理求解，即可得出结论． 如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4， 连接OP，OM， ∵PM，PN是⊙O的切线， ∴∠OPM＝∠MPN， 要∠MPN最大，则∠OPM最大， ∵PM是⊙O的切线， ∴∠OMP＝90°， 在Rt△PMO中，OM＝OD＝CD＝2， ∴sin∠OPM＝＝， ∴要∠OPM最大，则OP最短， 即OP⊥AE， 如图2，延长DC交直线AE于G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠G， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝BC＝3， ∴△ABE≌△GCE（AAS）， ∴CG＝AB＝4， ∵CD是⊙O的直径， ∴OC＝CD＝2， ∴OG＝OC+CE＝6， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， ∴AE＝5， ∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE， ∴△ABE∽△GPO， ∴， ∴， ∴OP＝， 在Rt△PMO中，PM＝＝＝， 故答案为：． 三、解答题 18.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．求证：∠ABC＝∠CBD． 【答案】证明：连接OC，如图， ∵MN为⊙O的切线， ∴OC⊥MN， ∵BD⊥MN， ∴OC∥BD， ∴∠CBD＝∠BCO， 又∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC． 【解析】 19.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围． 【答案】解：过点C作CD⊥AB于点C， ∵Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴CD＝， ∴以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，r的取值范围是：r≥2.4． 【解析】 20.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，BO＝m，⊙O的半径为，当m为何值时，直线BC与⊙O相切？ 【答案】解：作OD⊥BC于D， 当OD＝时，直线BC与⊙O相切， ∵∠C＝90°，OD⊥BC， ∴OD∥AC， ∴∠DOB＝∠A＝30°， ∴cos30°＝， 解得，m＝， ∴当m＝时，直线BC与⊙O相切． 【解析】 21.如图，已知△ABC的内切圆O切AC于点K，D是AC的中点，求证：直线DO平分线段BK． 【答案】证明：设△ABC的内切圆O切BC于点D，过点D作⊙O直径DE，连接AE， 并延长交BC于点F，则BF＝CD，令⊙O分别切AB、AC于点M、N， 过点E作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H， 则GH切⊙O于点E， 且△AGE∽△ABF，△AGH∽△ABC， 记△AGH与△ABC的周长分别为：2p′，2p， 则AG+GE＝AG+GM＝AM＝AN＝AH+HN＝AH+HE＝p′， 于是：＝＝＝＝＝， 即有p＝AB+BF， 故BF＝p﹣AB＝CD， 过点K作直径KE，连接BE，并延长交AC于点F，由上述定理知AF＝KC， ∴AC的中点D也是FK的中点， 又∵O是KE的中点， ∴DO∥EF， ∴直线DO平分线段BK． 【解析】 22.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点，以点O为圆心的圆与AC相切于点D． （1）如图1，求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O与BC交于点G，过点G作AC的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E，连AE交BC于点H，如图2．求的值． 【答案】（1）证明：连接OD，OA，过点O作OM⊥AB于M，如图1所示： ∵AB＝AC，点O为边BC中点， ∴OA平分∠BAC， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴OD为⊙O的半径，且OD⊥AC， 又∵OM⊥AB， ∴OM＝OD， ∴OM为⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线， （2）解：连接OA，OD，DG，OE，DE，设DE交OG于T，如图2所示： ∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点， ∴OA平分∠BAC，OA⊥BC， ∴∠OAC＝∠BAC＝60°，∠AOC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠OAC＝30°， ∵OD⊥AC， ∴∠AOD＝90°﹣∠OAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOG＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣30°＝60°， ∵OD＝OG＝OE， ∴△ODG为等边三角形， ∴OD＝OG＝DG，∠ODG＝60°， ∵∠C＝30°，GF⊥AC， ∴∠OGE＝∠CGF＝90°﹣∠C＝60°， ∴△OEG为等边三角形， ∴OE＝OG＝EG，∠OEG＝60°， ∴OD＝DG＝OE＝EG＝OG， ∴四边形ODGE为菱形， ∴DE⊥OG，∠DEG＝∠OEG＝30°， ∵OD⊥AC，∠ODG＝60°， ∴∠GDC＝90°﹣∠ODG＝30°， ∴∠GDC＝∠C， 又GF⊥AC， ∴GD＝CG＝GE＝OD， 设GF＝a， 在Rt△CGF中，∠C＝30°， ∴CG＝2a， ∴OD＝CG＝EG＝2a， 在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OD＝2a，cos∠AOD＝， ∴OA＝＝＝， 在Rt△EGT中，∠DEG＝30°，EG＝2a，cos∠DEG＝， ∴ET＝EG•cos∠DEG＝2a•cos30°＝， ∵DE⊥OG，AO⊥BC， ∴ED∥AO， ∴△EHT∽△AHO， ∴EH：AH＝ET：AO＝， ∴＝． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$