精品解析：广东省湛江市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷

湛江市2024—2025学年度第二学期高二年级期末调研测试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．本卷考试内容:高中数学人教版选择性必修一、二、三． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参. 【详解】已知，， 因为， 则，. 故选：A. 2. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得即可判断焦点坐标. 【详解】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求. 【详解】因为为等差数列，故， 故选：C. 5. 函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于的方程，可求出的值. 【详解】函数的导函数为 ， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 故选：C 6. 某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（ ） 附：. A. 3.622 B. 4.502 C. 5.921 D. 6.634 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的观测值区间即可判断. 【详解】由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关， 得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622. 故选：A 7. 已知随机变量，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的概率性质得出，再应用二项分布的数学期望公式计算即可. 【详解】因为，且， 所以，得， 则，． 故选：C. 8. 设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）. A. (10)=2. B. (16n+5)=ω(4n+3). C. (8n+5)=ω(4n+5). D. 若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的定义可判断A、B的正误，用特殊值代入可判断C，列举法可判断D的正误，即可得正确答案. 【详解】，所以，故A项正确， ， 所以，， 所以 ，所以， 故B项正确; ， ，故， 即时，，故C项错误， 若且，由 ， 可知，时，有个，时，有个，时， 有个，…，时，有个， 共有，故D项正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 10. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：BC 11. 已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则是等差数列 B. 若，，则是等差数列 C. 若，，则是等比数列 D. 若，，则是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AD直接求出，然后根据定义判定等差数列、等比数列即可，对于BC，算出前三项即可判断BC错误. 【详解】对于A，当时，若，则， 事实上，，注意到，即是常数数列， 所以，数列是等差数列，故A正确； 对于B，当时，若， 所以数列不是等差数列，故B错误； 对于C，当时，若， 所以不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，有， 因为，所以，即， 因为， 所以是等比数列，故D正确； 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面的距离公式直接计算. 【详解】由已知，， 则， 则， 故答案为：. 13. 已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，结合等腰三角形和相似比性质来求解各线段长度，最后根据勾股定理找到等式关系，从而可求离心率. 【详解】 如图，由于，可作轴，垂足为，可知为中点， 由，可知， 由，可知， 令，则，即， 根据双曲线定义：， 即，， 再由勾股定理可得：， 即， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图所示，平面，四边形为矩形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过证明面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用法向量求空间中两个面的夹角的余弦值，进而得到正弦值. 【小问1详解】 证明：四边形为矩形，. 又平面平面平面. 又，平面，平面， ∴平面. 又平面 平面平面. 又平面平面. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， . 设是平面的一个法向量，则 即,令，解得, 所以平面的一个法向量 又是平面的一个法向量， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 15. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明：设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且， 所以 ， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可； （2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可. 【小问1详解】 由题意得 ，得， 故的方程为； 【小问2详解】 略 16. 已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义写出的通项公式，由等差中项的性质有，应用等比数列的通项公式求公比，进而确定的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求. 【小问1详解】 因为，又， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中，则，解得或 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； 【小问2详解】 由（1）， . 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设，当时，求函数的最大值； （3）讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】（1） （2） （3）当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）由题意得，通过求导分析的单调性，进而求得函数的最大值； （3）联立得，结合（2）知问题等价于“函数的零点个数”.分、和三种情况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数的零点的个数. 【小问1详解】 若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． 【小问2详解】 ， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． 【小问3详解】 联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 18. 我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下： 关于x的恒等式满足， 对等式两边求导可得． 移项得． 某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X． （1）若，，求的概率； （2）求，，的概率，并写出随机变量X的分布列； （3）用微分恒等式法求随机变量X的数学期望，并据此估计当，时每位参与该项活动的师生的积分． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）；9 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可； （2）结合二项分布求解概率并列分布列即可； （3）根据微分恒等式，结合概率性质求导函数从而整理可得，由，，转换可得结论. 【小问1详解】 若，则表示总共套了4次，其中前3次套中，第4次没有套中， 因此概率为； 【小问2详解】 表示总共套了k次，其中前k次均没有套中， 因此概率为， 表示总共套了次，其中前k次中套中了1次，第次没有套中， 因此概率为， …… 表示总共套了次，其中前次中套中了n次，第次没有套中， 因此概率为， 因而分布列为 X 0 1 … n … P … … 【小问3详解】由（2）可得，， 由于分布列的概率和为1，即， 等式关于p恒成立，两边求导得 ， 分组求和可得， 移项得， 变形得， 注意到，， 代入上式得． 当，时，， 因此估计每位参与该项活动的师生的积分为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2024—2025学年度第二学期高二年级期末调研测试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．本卷考试内容:高中数学人教版选择性必修一、二、三． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 2. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 5. 函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 6. 某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（ ） 附：. A. 3.622 B. 4.502 C. 5.921 D. 6.634 7. 已知随机变量，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）. A. (10)=2. B. (16n+5)=ω(4n+3). C. (8n+5)=ω(4n+5). D. 若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则是等差数列 B. 若，，则是等差数列 C. 若，，则是等比数列 D. 若，，则是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 13. 已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图所示，平面，四边形为矩形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 15. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 16. 已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设，当时，求函数的最大值； （3）讨论函数与函数的图象的交点个数． 18. 我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下： 关于x的恒等式满足， 对等式两边求导可得． 移项得． 某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X． （1）若，，求的概率； （2）求，，的概率，并写出随机变量X的分布列； （3）用微分恒等式法求随机变量X的数学期望，并据此估计当，时每位参与该项活动的师生的积分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $