14.3 角的平分线-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

77 14.3　角的平分线 1. 角的平分线的性质:角的平分 线上的 到角的两边的 相等.用符号语言表 示:如图,∵ 点P 在∠AOB 的平分线上, PD⊥OA,PE⊥OB,∴ . 2. 反过来,角的内部到角两边 的点在 角的平分线上.用符号语言表示:如图, ∵ PD ⊥ OA,PE ⊥ OB,PD = PE, ∴ . 3. 三角形的三条角平分线交于三角形内的一 点,并且这一点到三条边的距离 . 4. 证明一个几何命题的步骤: (1) 明确命题中的 和 ; (2) 根据题意,画出图形,并用符号表示 和 ; (3) 经过分析,找出由已知推出要证的结论 的途径,写出证明过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,OC 平分∠AOB,P 是OC 上一 点,PH⊥OB 于点H.若Q 是射线OA 上的一 个 动 点,PH =5,则 PQ 长 的 最 小 值 为 . 典例1图 当PQ⊥AO 时,PQ 的长最小.根据角的 平分线的性质,即可得到PQ 长的最小值. 解答: 解有所悟:利用角的平分线的性质解决问题的关键 是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段: (1) 若已知条件存在这两条垂线段,则直接得出垂 线段相等;(2) 若已知条件存在一条垂线段,则考虑 通过作辅助线补出另一条垂线段;(3) 若已知条件不 存在垂线段,则考虑通过作辅助线补出两条垂线段. 典例2 如图,BF⊥AC 于点F,CE⊥AB 于点 E,BF 和CE 交于点D,且BE=CF.求证:AD 平分∠BAC. 典例2图 先根据“AAS”得出△BDE≌△CDF,即 可得到DE=DF,由此可得出结论. 解答: 解有所悟:证明角的平分线的两种方法:(1) 证明两 个三角形全等,得到对应角相等,可得角的平分线; (2) 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分 线上. 典例3 求证:全等三角形对应角的平分线的长 相等. 首先将文字命题改写成用数学符号语言 表示的已知和求证,然后进行证明. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 78 解答: 解有所悟:1. 为了便于分清命题中的已知和求证, 可以将命题改写成“如果……那么……”或“若…… 则……”的形式.2. 根据命题的题设,结合图形写出 已知;根据命题的结论,结合图形写出求证. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,有下列推理:① ∵ OC 平分∠AOB,点 P,D,E 分别在OC,OA,OB 上,∴ PD= PE;② ∵ 点P 在OC 上,PD⊥OA,PE⊥ OB,∴ PD=PE;③ ∵ 点 P 在OC 上, PD⊥OA,PE⊥OB,且OC 平分∠AOB, ∴ PD=PE.其中,正确的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第1题 第2题 2. 在正方形网格中,M,N,P,Q 均是格点, ∠AOB 的位置如图所示,则到∠AOB 的两 边距离相等的是 ( ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 3. 如 图,DB ⊥AB,DC⊥AC,BD =DC, ∠BAC=80°,则∠BAD 的度数为 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 第3题 第4题 4. 如图,O 是△ABC 内一点,且点O 到△ABC 的三边AB,BC,CA 的距离相等,即OF= OD=OE.若∠BAC=66°,则∠BOC 的度 数为 ( ) A. 120° B. 130° C. 123° D. 125° 5. 如图,点O 在一把直角三角尺ABC 上(其中 ∠ABC=30°),OM⊥AB 于点 M,ON⊥BC 于点N.若OM=ON,则∠ABO= . 第5题 6. 如图,有三条两两相交的公路,要建一个加 油站,使它到三条公路的距离相等,那么加 油站可建的地点有 个. 第6题 7. (北京中考)如图,在△ABC 中,AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则 S△ACD= . 第7题 答案讲解 8. 如图,AB∥CD,O为∠BAC与∠ACD 的平分线的交点,过点O 作OE⊥ AC 于点E,OG⊥CD 于点G,延长 GO 交AB 于点F.若 OE=2,则 FG= . 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 79 9. 如图,P 是OC 上一点,PD⊥OA 于点D, PE⊥OB 于点E,F,G 分别是OA,OB 上的 点,且 PF=PG,DF=EG.求证:OC 是 ∠AOB 的平分线. 第9题 [综合提升] 10. 如图,∠MCB,∠NBC 是△ABC 的外角, BD,CE 分别平分∠NBC,∠MCB,且相交 于点P.若点P 到AM 的距离为3,则点P 到AN 的距离为 ( ) 第10题 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图,△ABC 的三边AB,BC,AC 的长分 别为30,40,50,三条角平分线AO,BO,CO 交于点O,则S△ABO∶S△BCO ∶S△CAO = . 第11题 答案讲解 12. 如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=α,AD,BE 交于点H, 连接CH. (1) 求证:△ACD≌△BCE; (2) 求证:HC 平分∠AHE; (3) 求∠CHE 的度数(用含α 的代数式 表示). 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 22 ③ 已知两角及其夹边作三角形 典例演练 典例 D 预学训练 1. A 2. C 3. 2或-2 4. 如图,△ACD 即为所求作. 第4题 5. 作法不唯一.如图,∠ECM 即为所求. 第5题 6. 由 作 图,知 BD =CD.在 △ABD 和 △ACD 中, AB=AC, BD=CD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACD.∴ ∠BDA=∠CDA.在 △BDE 和△CDE 中, BD=CD, ∠BDE=∠CDE, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌ △CDE.∴ BE=CE. 第5课时　“HL” 知识梳理 1. 一直角边 斜边、直角边 HL 2. A'B' A'C' HL 3. SAS,ASA,AAS,SSS,HL 典例演练 典例1 ∵ AB⊥CF,DE⊥CF,∴ ∠ABC=∠DEF= 90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴ BC=EF.∴ BC- BE=EF-BE,即CE=BF. 典例2 (1) ∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ ∠BEC= ∠CDB=90°.在Rt△BEC 和Rt△CDB 中, BC=CB, BE=CD, ∴ Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).(2) ∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ ∠AEC=∠ADB=90°.在△AEC 和△ADB 中, ∠AEC=∠ADB, AE=AD, ∠A=∠A, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△ADB(ASA).∴ AC= AB.∵ AD=AE,∴ AC-AD=AB-AE,即CD=BE. 预学训练 1. D 2. A 3. ABC DCB HL ABO DCO AAS 4. 59° 5. ∠ABC+∠DFE=90°.理由:由题意,得BC=EF, AC=DF,∠BAC = ∠EDF =90°.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC=EF, AC=DF, ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL).∴ ∠ABC = ∠DEF.∵ ∠EDF = 90°, ∴ ∠DEF+∠DFE=90°.∴ ∠ABC+∠DFE=90°. 6. 55° 解析:∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB= ∠FDC=∠FDB=90°.∵ ∠AFD=145°,∴ ∠CFD= 180°-145°=35°.在 Rt△BDE 和 Rt△CFD 中, BD=CF, BE=CD, ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CFD.∴ ∠BDE = ∠CFD=35°.∴ ∠EDF=90°-35°=55°. 7. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ ∠BDF=∠ADC=90°.在 Rt△BDF 和Rt△ADC 中, BF=AC, FD=CD, ∴ Rt△BDF≌ Rt△ADC.∴ ∠DBF=∠DAC.∵ ∠DAC+∠C= ∠BDF =90°,∴ ∠AEB = ∠DBF + ∠C =90°. ∴ BE⊥AC. 14.3 角的平分线 知识梳理 1. 点 距离 PD=PE 2. 距离相等 点P 在∠AOB 的平分线上 3. 相等 4. (1) 已知 求证 (2) 已知 求证 典例演练 典例1 5 典例2 ∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BED=∠CFD= 90°.在 △BDE 和 △CDF 中, ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ DE=DF.又∵ DE⊥ AE,DF⊥AF,∴ AD 平分∠BAC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 典例3 已知:如图,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别 是∠BAC,∠B'A'C'的平分线.求证:AD=A'D'.证明: ∵ △ABC≌ △A'B'C',∴ ∠B = ∠B',∠BAC = ∠B'A'C',AB=A'B'.∵ AD,A'D'分别是∠BAC, ∠B'A'C'的平分线,∴ ∠BAD=12∠BAC ,∠B'A'D'= 1 2∠B'A'C'.∴ ∠BAD = ∠B'A'D'.在 △ABD 和 △A'B'D' 中, ∠B=∠B', AB=A'B', ∠BAD=∠B'A'D', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △A'B'D'(ASA).∴ AD=A'D'.∴ 全等三角形对应角 的平分线的长相等. 典例3图 预学训练 1. B 2. A 3. D 4. C 5. 15° 6. 4 7. 1 8. 4 解析:∵ AB∥CD,OG⊥CD,∴ OF⊥AB.∵ AO 是∠BAC 的 平 分 线,OF⊥AB,OE⊥AC,OE=2, ∴ OF=OE=2.∵ CO 是∠ACD 的平分线,OE⊥AC, OG⊥CD,∴ OG=OE=2.∴ FG=OF+OG=4. 9. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,∴ ∠PDF=∠PEG=90°.在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中, PF=PG, DF=EG, ∴ Rt△PFD≌ Rt△PGE(HL).∴ PD=PE.∵ P 是OC 上一点,PD⊥ OA,PE⊥OB,∴ OC是∠AOB 的平分线. 10. C 11. 3∶4∶5 解析:如图,过点O 作OD⊥BC 于点D, OE⊥AC 于点E,OF⊥AB 于点F.∵ 三条角平分线AO, BO,CO 交 于 点O,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB, ∴ OD=OE=OF.∵ AB=30,BC=40,AC=50,∴ 易 得S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB∶BC∶AC=3∶4∶5. 第11题 12. (1) ∵ ∠ACB=∠DCE,∴ ∠ACB+∠BCD= ∠DCE+ ∠BCD,即 ∠ACD = ∠BCE.在 △ACD 和 △BCE 中, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD ≌ △BCE (SAS).(2) 如图,过点C 作CM⊥AD 于点M,CN⊥BE 于点N.∴ ∠AMC=∠BNC=90°.∵ △ACD≌△BCE, ∴ ∠CAM= ∠CBN. 在 △ACM 和 △BCN 中, ∠CAM=∠CBN, ∠AMC=∠BNC, AC=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACM ≌ △BCN (AAS). ∴ CM=CN.∵ CM ⊥AD,CN ⊥BE,∴ HC 平 分 ∠AHE.(3) ∵ △ACD ≌ △BCE,∴ ∠CAD = ∠CBE.∴ 易得∠AHB=∠ACB=α.∴ ∠AHE= 180°-α.由(2),得 HC 平 分∠AHE.∴ ∠CHE= 1 2∠AHE=90°- 1 2α. 第12题 第十四章预学检测 一、 1. D 2. D 3. A 4. D 5. D 6. C 7. D 8. C 9. D 解析:① ∵ OC 平分∠AOB,∴ ∠DOP=∠EOP, ∵ PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E,∴ ∠ODP= ∠OEP=90°.∵ OP=OP,∴ △ODP≌△OEP(AAS). ∴ OD=OE.② ∵ △ODP≌△OEP,∴ PD=PE, ∠OPD=∠OPE.∴ ∠DPF=∠EPF.∵ PF=PF, ∴ △DPF≌△EPF(SAS).∴ DF=EF.③ ∵ △DPF≌ △EPF,∴ ∠DFO=∠EFO.④ ∵ △DPF≌△EPF, ∴ S△DFP=S△EFP. 10. A 解 析:∵ ∠AOB = ∠COD,∴ ∠AOB + ∠AOD=∠COD+∠AOD.∴ ∠BOD=∠AOC.在 △AOC 和△BOD 中, OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC≌ △BOD(SAS).∴ AC=BD.∴ ①正确.∵ △AOC≌ △BOD,∴ ∠OCM=∠MDO.∵ ∠MDC=∠MDO+ ∠ODC,∠OCD=∠OCM+∠MCD,∠COD=180°- (∠OCD + ∠ODC),∠CMD =180°- (∠MDC + ∠MCD),∴ ∠CMD =180°-(∠MDO+∠ODC+ ∠MCD),∠COD =180°- (∠OCM + ∠MCD + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈