14.2 第5课时“HL”-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

75 第5课时 “HL” 1. 斜边和 分别相等的两个直角三 角形全等(可以简写成“ ”或 “ ”). 2. 用符号语言表示:如图,在Rt△ACB 和 Rt△A'C'B'中, AB= , AC= , ∴ Rt△ACB≌Rt△A'C'B'( ). 3. 判定两个直角三角形全等的方法有 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P42例6变式)如图,点C,E,B,F 在一条直线上,AB⊥CF 于点B,DE⊥CF 于 点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF. 典例1图 由AB⊥CF,DE⊥CF,可知在Rt△ABC 和Rt△DEF 中,AC=DF,AB=DE,利用 “HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEF,可得BC= EF,进一步得出CE=BF. 解答: 解有所悟:(1) “HL”只适用于直角三角形,对于 一般三角形不适用;(2) 用“HL”证明两个直角 三角形全等,在书写时,两个三角形符号“△”前 要加上“Rt”. 典例2 如图,BD,CE 是△ABC 的高. (1) 若BE=CD,求证:Rt△BEC≌Rt△CDB; (2) 若AD=AE,求证:CD=BE. 典例2图 (1) 根 据 高 的 定 义,得 出 ∠BEC = ∠CDB=90°,根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 “HL”推出Rt△BEC≌Rt△CDB 即可;(2) 欲 证CD=BE,已知AD=AE,只需证AC=AB, 根据“ASA”可知△AEC≌△ADB,从而解决 问题. 解答: 解有所悟:判定两个直角三角形全等的方法有 “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”,要根据所给条件 灵活选用适当的方法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 [基础过关] 1. 如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据 “HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要 添加的一个条件是 ( ) 第1题 A. ∠A=∠D B. ∠B=∠C C. AE=BF D. AB=DC 2. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等 的是 ( ) A. 两个锐角对应相等 B. 一个锐角和斜边对应相等 C. 两条直角边对应相等 D. 一条直角边和斜边对应相等 3. 如图,在Rt△ABC 和Rt△DCB 中,AB= DC,∠A=∠D=90°,AC 与BD 交于点O, 则有Rt△ ≌Rt△ ,其判定 依据 是 ,还 有△ ≌ △ ,其判定依据是 . 第3题 第4题 答案讲解 4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD= AC,DE⊥AB 交BC 于点E.若 ∠B=28°,则∠AEC= . 5. 如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯BC 的高度AC 与右边滑梯EF 水平方向的长度 DF 相等,则两个滑梯的倾斜角∠ABC 和 ∠DFE 之间有什么关系? 请说明理由. 第5题 [综合提升] 6. 如图,点 D 在BC 上,DE⊥AB 于点E, DF⊥BC,交AC 于点F,BD=CF,BE= CD.若∠AFD=145°,则∠EDF= . 第6题 答案讲解 7. 如图,AD 是△ABC 的高,E 为AC 上一 点,BE 交 AD 于 点 F,且 BF=AC,FD=CD.试探究BE 与 AC 之间的位置关系. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 22 ③ 已知两角及其夹边作三角形 典例演练 典例 D 预学训练 1. A 2. C 3. 2或-2 4. 如图,△ACD 即为所求作. 第4题 5. 作法不唯一.如图,∠ECM 即为所求. 第5题 6. 由 作 图,知 BD =CD.在 △ABD 和 △ACD 中, AB=AC, BD=CD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACD.∴ ∠BDA=∠CDA.在 △BDE 和△CDE 中, BD=CD, ∠BDE=∠CDE, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌ △CDE.∴ BE=CE. 第5课时　“HL” 知识梳理 1. 一直角边 斜边、直角边 HL 2. A'B' A'C' HL 3. SAS,ASA,AAS,SSS,HL 典例演练 典例1 ∵ AB⊥CF,DE⊥CF,∴ ∠ABC=∠DEF= 90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴ BC=EF.∴ BC- BE=EF-BE,即CE=BF. 典例2 (1) ∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ ∠BEC= ∠CDB=90°.在Rt△BEC 和Rt△CDB 中, BC=CB, BE=CD, ∴ Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).(2) ∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ ∠AEC=∠ADB=90°.在△AEC 和△ADB 中, ∠AEC=∠ADB, AE=AD, ∠A=∠A, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△ADB(ASA).∴ AC= AB.∵ AD=AE,∴ AC-AD=AB-AE,即CD=BE. 预学训练 1. D 2. A 3. ABC DCB HL ABO DCO AAS 4. 59° 5. ∠ABC+∠DFE=90°.理由:由题意,得BC=EF, AC=DF,∠BAC = ∠EDF =90°.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC=EF, AC=DF, ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL).∴ ∠ABC = ∠DEF.∵ ∠EDF = 90°, ∴ ∠DEF+∠DFE=90°.∴ ∠ABC+∠DFE=90°. 6. 55° 解析:∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB= ∠FDC=∠FDB=90°.∵ ∠AFD=145°,∴ ∠CFD= 180°-145°=35°.在 Rt△BDE 和 Rt△CFD 中, BD=CF, BE=CD, ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CFD.∴ ∠BDE = ∠CFD=35°.∴ ∠EDF=90°-35°=55°. 7. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ ∠BDF=∠ADC=90°.在 Rt△BDF 和Rt△ADC 中, BF=AC, FD=CD, ∴ Rt△BDF≌ Rt△ADC.∴ ∠DBF=∠DAC.∵ ∠DAC+∠C= ∠BDF =90°,∴ ∠AEB = ∠DBF + ∠C =90°. ∴ BE⊥AC. 14.3 角的平分线 知识梳理 1. 点 距离 PD=PE 2. 距离相等 点P 在∠AOB 的平分线上 3. 相等 4. (1) 已知 求证 (2) 已知 求证 典例演练 典例1 5 典例2 ∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BED=∠CFD= 90°.在 △BDE 和 △CDF 中, ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ DE=DF.又∵ DE⊥ AE,DF⊥AF,∴ AD 平分∠BAC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈