14.2 第2课时“ASA””AAS”-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

69 第2课时 “ASA” “AAS” 1. 两角和 分别对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“ ”或“ ”). 如 图, 在 △ABC 和 △DEF 中, ∠A= , AC= , ∠C= , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF ( ). 2. 两角分别 且其中一组 相等 的 两 个 三 角 形 全 等 (可 以 简 写 成 “ ”或“ ”).如图,在△ABC 和△DEF 中, ∠A= , ∠B= , BC= , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DEF( ). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P35例2变式)如图,AB=AC, AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求 证:BD=CE. 典例1图 先根据同角的余角相等得到∠CAE= ∠BAD,从而由“ASA”得到△ABD≌△ACE, 最后得到BD=CE. 解答: 解有所悟:证明两个三角形全等时常用的等角: ① 公共角;② 对顶角;③ 等角加(或减)等角;④ 同 角或等角的余(或补)角;⑤ 由角的平分线得到的两 个角;⑥ 由垂直得到的角;⑦ 由平行线得到的同位 角或内错角. 典例2(教 材 P36练 习 第1题 变 式)如图, ∠ACB=90°,AC=BC,CD 是经过点C 的一条 直线,过点A,B 分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂 足为E,F.猜想AE,BF,EF 之间的数量关系, 并予以证明. 典例2图 根据BF⊥CD,可得∠BCF+∠B=90°, 进而可得∠ACF=∠B,再利用“AAS”证得 △CAE≌△BCF,即可得出结论. 解答: 解有所悟:证明不在同一条直线上的三条线段的和 差问题时,可以使其中的两条线段等量代换后和第 三条线段在同一条直线上. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 70 [基础过关] 1. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F 是AD 上 两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF= 3,EF=2,则AD 的长为 ( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 第1题 第2题 2. 如图,一块三角形玻璃板破裂成①②③三块 碎片,现需要买另一块同样大小的三角形玻 璃板,为了方便,只需带第 块碎片. 3. 如图,AC 与BF 相交于点E,AB∥CF,E 为 BF 的中点.若CF=6,AD=4,则BD= . 第3题 答案讲解 4. 如图,点C 在BD 上,AB⊥BD, ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求 证:△ABC≌△CDE. 第4题 [综合提升] 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AB>BC,点D 在边BC 上,CD=2BD,点E,F 在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为 21,则△CAF 与△BDE 的面积之和为 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第5题 第6题 6. 如图,把△ABC 放置在平面直角坐标系中, AB=BC,∠ABC=90°,点A,B 的坐标分 别为(3,0),(0,-1),点C 在第四象限,则点 C 的坐标为 . 答案讲解 7. 如图,M 是线段AB 上的一点,ED 是过点M 的一条线段,连接AE, BD,过点B 作BF∥AE,交ED 于 点F,且EM=FM. (1) 求证:AE=BF. (2) C 是线段ED 上一点,连接 AC.若 ∠AEC=90°,∠CAE=∠DBF,CD=4,求 EM 的长. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 20 14.2 三角形全等的判定 第1课时　“SAS” 知识梳理 1. 它们的夹角 边角边 SAS 2. DE ∠D DF SAS 3. 公共边 4. 不一定 典例演练 典例1 ∵ D,E 分别是AC,AB 的中点,∴ AD= 1 2AC ,AE=12AB.∵ AB=AC,∴ AD=AE.在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠A=∠A, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACE.∴ BD= CE. 典例2 ∵ ∠DAB=∠CAE,∴ ∠DAE=∠CAB.在 △ADE 和△ACB 中, AD=AC, ∠DAE=∠CAB, AE=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △ACB.∴ DE=CB. 预学训练 1. B 2. D 3. BC=EC 4. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠A.在△DEB 和△ABC 中, DE=AB, ∠EDB=∠A, BD=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEB≌△ABC. 5. D 6. A 解析:如图,在AC 上截取AE=AB=4,连接 PE.∵ AC=9,∴ CE=AC-AE=9-4=5.∵ P 是 ∠BAC 的平分线AD 上的一点,∴ ∠CAD=∠BAD.在 △APE 和△APB 中, AE=AB, ∠EAP=∠BAP, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APE≌ △APB.∴ PE=PB=2.∵ 在△CEP 中,5-2<PC< 5+2,∴ 3<PC<7.∴ PC 的长不可能为3. 第6题 7. (1) ∵ ∠ABC=90°,∴ ∠CBD=90°.在△ABE 和 △CBD 中, AB=CB, ∠ABE=∠CBD=90°, BE=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CBD. (2) ∵ AB=CB,∠ABC=90°,∴ △ABC 是等腰直角三 角形.∴ ∠BAC=∠ACB=45°.∵ △ABE≌△CBD, ∴ ∠AEB=∠CDB.∵ ∠AEB=∠ACB+∠CAE= 45°+30°=75°,∴ ∠CDB=75°. 第2课时　“ASA”“AAS” 知识梳理 1. 它们的夹边 角边角 ASA ∠D DF ∠F ASA 2. 相等 等角的对边 角角边 AAS ∠D ∠E EF AAS 典例演练 典例 1 ∵ AB⊥AC,AD⊥AE,∴ ∠BAC=90°, ∠DAE=90°.∴ ∠BAE + ∠CAE =90°,∠BAE + ∠BAD=90°.∴ ∠BAD=∠CAE.在△ABD 和△ACE 中, ∠ABD=∠ACE, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACE (ASA). ∴ BD=CE. 典例 2 AE=BF+EF.∵ AE⊥CD,BF⊥CD, ∴ ∠AEC=∠BFC =90°.∴ ∠BCF + ∠B =90°. ∵ ∠ACB=90°,∴ ∠BCF+∠ACF=90°.∴ ∠ACF= ∠B.在 △CAE 和 △BCF 中, ∠AEC=∠CFB, ∠ACE=∠B, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CAE≌△BCF(AAS).∴ CE=BF,AE=CF. ∵ CF=CE+EF,∴ AE=BF+EF. 预学训练 1. B 2. ③ 3. 2 4. ∵ AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,∴ ∠B=∠D= ∠ACE=90°.∴ ∠DCE + ∠DEC=90°,∠BCA + ∠DCE=90°.∴ ∠BCA=∠DEC.在△ABC 和△CDE 中, ∠BCA=∠DEC, ∠B=∠D, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△CDE(AAS). 5. B 解析:∵ ∠1=∠ABE+∠BAE,∠1=∠BAC, ∴ ∠BAC=∠ABE+∠BAE.∵ ∠BAC=∠BAE+ ∠FAC,∴ ∠ABE=∠FAC.∵ ∠1=∠2,∴ ∠AEB= ∠CFA.在 △ABE 和 △CAF 中, ∠AEB=∠CFA, ∠ABE=∠CAF, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CAF(AAS).∴ S△ABE=S△CAF.∴ △CAF 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 与△BDE 的 面 积 之 和 =S△CAF +S△BDE =S△ABE + S△BDE=S△ABD.∵ CD=2BD,△ABC 的面积为21,∴ 易 得S△ABD= 1 3S△ABC=7 ,即△CAF 与△BDE 的面积之和 为7. 6. (1,-4) 解析:如图,过点C 作CD⊥y 轴于点D. ∴ ∠BDC =90°.∵ ∠AOB =90°,∠ABC =90°, ∴ ∠OAB+ ∠OBA =90°,∠OBA + ∠DBC =90°. ∴ ∠OAB = ∠DBC. 在 △OAB 和 △DBC 中, ∠AOB=∠BDC=90°, ∠OAB=∠DBC, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAB≌△DBC(AAS). ∴ AO=BD,OB=DC.∵ A(3,0),B(0,-1),∴ AO= BD=3,OB=DC=1.∴ OD=OB+BD=4.∴ 点C 的 坐标为(1,-4). 第6题 7. (1) ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM=∠FBM.在△AME 和 △BMF 中, ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌△BMF (AAS).∴ AE=BF.(2) ∵ △AME≌△BMF,∴ AE= BF,∠AEM =∠BFM =90°.∴ ∠AEC=∠BFD= 90°.在 △AEC 和 △BFD 中, ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△BFD(ASA).∴ EC=FD.∴ EC-CF= FD-CF,即 EF=CD=4.∵ EM =FM,∴ EM = 1 2EF=2. 第3课时　“SSS” 知识梳理 1. 分别相等 边边边 SSS 2. AB=DE AC=DF BC=EF SSS 典例演练 典例1 在△ADB 和△BCA 中, AD=BC, BD=AC, AB=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB≌ △BCA(SSS).∴ ∠D=∠C. 典例2 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, AD=AE, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACE(SSS).∴ ∠BAD =∠CAE=18°,∠ABD = ∠ACE=48°.∴ ∠ADE=∠BAD+∠ABD=66°. 预学训练 1. C 2. B 3. 100° 解析:在△BDA 和△BDE 中, BA=BE, BD=BD, DA=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDA≌△BDE(SSS).∴ ∠A=∠BED.∵ ∠A= 80°,∴ ∠BED=∠A=80°.∵ ∠CED+∠BED=180°, ∴ ∠CED=100°. 4. 合理.理由:∵ a=b,∴ DE=FG.在△BDE 和△CFG 中, BE=CG, BD=CF, DE=FG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌△CFG(SSS).∴ ∠B= ∠C.∴ 他的操作合理. 5. C 解 析:在 △ABC 和 △ADC 中, AB=AD, CB=CD, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADC.∴ ∠ACB= ∠ACD,∠BAC= ∠DAC.∵ ∠BAD=46°,∴ ∠BAC= 12 ∠BAD = 23°.∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-23°-30°= 127°.∴ ∠ACD=127°. 6. ①②④ 7. 如图,连接AC.在△ADC 和△CBA 中, AD=CB, AC=CA, CD=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌ △CBA.∴ ∠DCA = ∠BAC.∴ AB∥ CD.∴ ∠BAD+∠ADC=180°. 第7题 第4课时　尺规作图 知识梳理 1. 等于已知角 2. 内错角相等,两直线平行 3. ① 已 知三边作三角形 ② 已知两边及其夹角作三角形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈