14.1 全等三角形及其性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

65 第十四章　全等三角形 14.1　全等三角形及其性质 1. 能够 的两个图形叫作全等形;全等 图形的形状、大小 ,与图形的位置 . 2. 能够 的两个三角形叫作全等三角 形.重合的顶点叫作 ,重合的边叫 作 ,重合的角叫作 . 3. 全等用符号“ ”表示,读作“ ”. 记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点 的字母写在 .若△ABC 和△DEF 全等,点A 和点D,点B 和点E,点C 和点F 是对应顶点,记作△ABC≌△ . 4. 全等三角形的性质:全等三角形的 相等;全等三角形的 相等. 5. 一个图形经过 、 、 后,位置变化了,但形状、大小 , 即平移、翻折、旋转前后的图形 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 在如图所示的图形中,属于全等形的是 ( ) 典例1图 A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ③和④ 根据全等形的概念,能够完全重合的两个 图形是全等形可得答案. 解答: 解有所悟:一个图形经过平移、翻折、旋转后得到的 新图形与原图形是全等形. 典例2 (教材P30练习第1题变式)如图, △ABF≌△CDE,∠B 和∠D 是对应角,AF 和CE 是对应边. 典例2图 (1) 写出△ABF 和△CDE 的其 他对应角和对应边; (2) 若∠B=30°,∠DCF=40°, 求∠EFC 的度数; (3) 若BD=10,EF=2,求BF 的长. (1) 根据全等三角形的性质即可得出; (2) 先根据全等三角形的性质求出∠D 的度 数,再根据三角形外角的性质即可求出;(3) 根 据全等三角形的性质,得BF=DE,求出BE= DF=4,即可得到答案. 解答: 解有所悟:确定全等三角形对应边、对应角的方法: (1) 字母顺序法:根据书写规范,按照对应顶点确定 对应边、对应角.(2) 图形特征法:① 最长边对应最 长边,最短边对应最短边;② 最大角对应最大角,最 小角对应最小角.(3) 位置关系法:① 公共角或对 顶角为对应角,公共边为对应边;② 对应角所对的 边为对应边,两个对应角所夹的边为对应边;③ 对应 边所对的角为对应角,两条对应边所夹的角为对应角. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 66 [基础过关] 1. (教材P31习题14.1第1题变式)如图, △AOB≌△COD,A 是点C 的对应点.下列 结论中,不一定正确的是 ( ) 第1题 A. ∠B=∠D B. ∠AOB=∠COD C. AC=BD D. AB=CD 2. 如图,点B,D,E,C 在同一条直线上.若 △ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE 的度数为 ( ) 第2题 A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3. (教材P31习题14.1第3题变式)已知 △ABC≌△DEF,点A 与点D,点B 与点E 分别对应. (1) 若△ABC 的周长为32,AB=10,BC= 14,则DF= ; (2) 如果∠A=48°,∠B=53°,那么∠F= . 答案讲解 4. 如 图,AD,BC 相 交 于 点 E.若 △ABE≌△DCE,则有下列结论: ① AB=DC;② AB∥CD;③ E 为 BC 的中点;④ ∠A=∠C.其中,不一定正 确的是 (填序号). 第4题 5. 如图,△ABD≌△CFD,AD⊥BC 于点D, 延长CF,交AB 于点E. (1) 求证:CE⊥AB; (2) 若BC=7,AD=5,求AF 的长. 第5题 [综合提升] 6. 如图,△ABC≌△ADE,BC 的延长线交DE 于点F.若∠D=32°,∠E=103°,∠DFB= 65°,则∠DAC= . 第6题 7. 如图,∠A=∠B=90°,AB=6,E,F 分别是 线段AB 和射线BD 上的动点,且BF= 2BE,点G 在射线AC 上,连接EG,EF.若 △AEG 与△BEF 全等,则线段AG 的长为 . 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 19 忽略三角形的形状与高的位置的关系而致错 三角形的高是三角形中很重要的一条线段,三角 形的高的位置是由三角形的形状决定的.直角三角形 的三条高,有两条与直角边重合,还有一条在三角形的 内部;钝角三角形的三条高,有两条在三角形的外部, 有一条在三角形的内部;锐角三角形的三条高都在三 角形的内部. 21. (1) ① 若∠BAC=100°,∠C=30°,则∠B=180°- 100°-30°=50°.∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠C=30°. ∵ AG 平 分 ∠BAC,DF 平 分 ∠EDB,∴ ∠BAG= 1 2∠BAC= 1 2×100°=50° ,∠FDG=12∠EDB= 1 2× 30°=15°.∴ ∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°= 100°.∴ ∠AFD = ∠DGF+ ∠FDG=100°+15°= 115°.若∠B=40°,则∠BAC+∠C=180°-40°=140°. ∵ AG 平 分 ∠BAC,DF 平 分 ∠EDB,∴ ∠BAG= 1 2∠BAC ,∠FDG = 12 ∠EDB.∵ DE ∥ AC, ∴ ∠EDB=∠C.∴ ∠FDG= 12 ∠C.∵ ∠DGF= ∠B+∠BAG,∴ ∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+ ∠BAG+∠FDG=∠B+12 (∠BAC+∠C)=40°+ 1 2×140°=40°+70°=110°.② ∠AFD=90°+12∠B. 理 由:由 ①,得 ∠BAG= 12 ∠BAC ,∠FDG= 12 ∠C. ∵ ∠DGF=∠B + ∠BAG,∴ ∠AFD = ∠DGF + ∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12 (∠BAC+ ∠C)= ∠B + 12 (180°- ∠B)=90°+ 12 ∠B. (2) ∠AFD=90°- 12 ∠B. 理 由:如 图,由 (1),得 ∠EDB=∠C,∠BAG=12∠BAC.∵ DH 平分∠EDB, ∴ ∠BDH=12∠EDB= 1 2∠C.∵ ∠AHF=∠B+ ∠BDH,∴ ∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF=180°- 1 2∠BAC-∠B-∠BDH=180°- 1 2∠BAC-∠B- 1 2∠C=180°-∠B- 1 2 (∠BAC+∠C)=180°-∠B- 1 2 (180°-∠B)=180°-∠B-90°+12∠B=90°- 1 2∠B. 第21题 第十四章　全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 知识梳理 1. 完全重合 相同 无关 2. 完全重合 对应顶点 对应边 对应角 3. ≌ 全等于 对应的位置上 DEF 4. 对应边 对应角 5. 平移 翻折 旋转 都没有改 变 全等 典例演练 典例1 A 典例2 (1) 其他对应角为∠BAF 和∠DCE,∠AFB 和 ∠CED;其 他 对 应 边 为 AB 和 CD,BF 和 DE. (2) ∵ △ABF≌ △CDE,∠B=30°,∴ ∠B= ∠D = 30°.∵ ∠DCF=40°,∴ ∠EFC=∠D+∠DCF=30°+ 40°=70°.(3) ∵ △ABF≌△CDE,∴ BF=DE.∴ BF- EF=DE-EF.∴ BE=DF.∵ BD=10,EF=2, ∴ BE=DF=4.∴ BF=BE+EF=4+2=6. 预学训练 1. C 2. B 3. (1) 8 (2) 79° 4. ④ 5. (1) ∵ AD⊥BC,∴ ∠CDF=90°.∵ △ABD≌ △CFD,∴ ∠BAD = ∠FCD.∵ ∠AFE = ∠CFD, ∴ ∠AEF=∠CDF=90°.∴ CE⊥AB.(2) ∵ △ABD≌ △CFD,∴ AD=CD,BD=FD.∵ BC=7,AD=CD= 5,∴ BD=BC-CD=2.∴ FD=2.∴ AF=AD-FD= 5-2=3. 6. 20° 7. 2或6 解析:设 BE=x,则 BF=2x.△AEG 与 △BEF 全等有两种情况:① AG=BE=x,BF=AE= 2x.∵ AB=6,∴ x+2x=6.∴ x=2,即 AG=2. ② AG=BF=2x,BE=AE=x.∵ AB=6,∴ x+x= 6.∴ x=3.∴ AG=2×3=6.综上所述,AG 的长为2 或6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈