13.2 与三角形有关的线段-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

56 13.2　与三角形有关的线段 1. 三角形两边的和 第三边,三角形两 边的差 第三边. 2. 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的 中点D,所得线段AD 叫作△ABC 的边BC 上的 .如图①,AD 是△ABC 的中 线,则BD= . 3. 三角形的三条中线的交点叫作三角形的 . 4. ∠BAC 的平分线AD,交∠BAC 所对的边 BC 于点D,所得线段AD 叫作△ABC 的 .如图②,AD 是△ABC 的角平分 线,则∠BAD=∠ . 5. 从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在 直线画垂线,垂足为D,所得线段AD 叫作 △ABC 的 边 BC 上 的 (简 称 ).如图③,AD 是△ABC 的高,则 AD⊥ . 6. 三角形具有 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 已知三角形的三边长分别为m,n,k,且 m,n满足|n-9|+(m-5)2=0,则这个三角形 最长边的长k的取值范围是 . 根据|n-9|+(m-5)2=0求出m,n 的 值,根据三角形三边的不等关系求出k 的取值 范围,再根据k 为最长边的长即可确定k 的取 值范围. 解答: 解有所悟:根据题意求出m,n的值是解题的关键, 确定k的取值范围时要注意k为最长边的长这一 条件. 典例2 如图,AD,AE 分别是△ABC 的高和中 线,AB=6,AC=8,BC=10,∠BAC=90°.求: (1) AD 的长; (2) △ABE 的面积; (3) △ACE 和△ABE 的周长的差. 典例2图 (1) 利用“面积法”来求线段AD 的长; (2) △AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角 形,它们的面积相等;(3) 因为AE 是中线,所以 △ACE 的周长-△ABE 的周长化简后可等于 AC-AB. 解答: 解有所悟:(1) 利用三角形的中线求面积时,要知道 中线分成的两个三角形的面积等于原三角形面积 的一半;(2) 求三角形的高时,通常采用“面积法”建 立等量关系进行求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 拍 照 批 改 57 [基础过关] 1. (教材P7练习第1题变式)下列长度的三条 线段中,能组成三角形的是 ( ) A. 7,15,8 B. 5,7,11 C. 3,6,10 D. 8,6,14 2. (教材P7练习第2题变式)若一个三角形的 两边长分别为3cm,6cm,则它的第三边的 长可能是 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm 3. (教材P10习题13.2第5题变式)若一个等 腰三角形的周长为20,一边长为8,则它的腰 长为 ( ) A. 6 B. 4 C. 8或6 D. 8或4 4. 如图,AD,AE,AF 分别是△ABC 的中线、 角平分线、高线,则下列结论中,不一定正确 的是 ( ) 第4题 A. CD=12BC B. 2∠BAE=∠BAC C. ∠C+∠CAF=90° D. AE=AC 5. (教材P9习题13.2第3题变式)在△ABC 中,∠A 是钝角.下列图中,画BC 边上的高 线正确的是 ( ) A B C D 6. 如图所示为一座钢架桥,它的支撑部分采用 了三角形结构,起到了坚固和稳定的作用, 这样做的数学依据是 . 第6题 7. (教材P9习题13.2第2题变式) 用长度均 为整厘米数的三根木棒搭一个等腰三角形, 其中两根木棒的长度分别为90cm,10cm, 则第三根木棒的长度为 . 8. 如图,在△ABC 中,D 为AC 上一点,E 为 AB 上一点,BE=2AE,连接BD,CE 交于 点F.若 S△BEF =S△DFC,S△ABC =18,则 △ABD 的面积为 . 第8题 答案讲解 9. [教材P9习题13.2第4题(4)变式] 如图,△ABC 的中线AD,BE 相交 于点F. (1) 图中与△ABE 面积相等的三角形有 个(不含△ABE); (2) 若△ABF 的面积是4cm2,求四边形 FDCE 的面积. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 [综合提升] 10. 如图,将钝角三角形纸片ABC(∠A 是钝 角)折出∠C 的平分线、AB 边上的中线和 高,能折出的是 ( ) A. AB 边上的中线和高 B. ∠C 的平分线和AB 边上的高 C. ∠C 的平分线和AB 边上的中线 D. ∠C 的平分线、AB 边上的中线和高 第10题 第11题 答案讲解 11. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别 为BC,AD,CE 的中点.若△ABC 的面积为60cm2,则涂色部分的 面积为 ( ) A. 10cm2 B. 12cm2 C. 15cm2 D. 20cm2 12. 一个等腰三角形的两边长分别是 a 和 2a+1(a>0),则它的周长为 ( ) A. 3a+1 B. 4a+1 C. 5a+2 D. 4a+1 或 5a+2 13. 若一个三角形的两边长是4和9,且周长是 偶数,则第三边的长为 . 14. 若a,b,c是△ABC 的三边长,则化简|a- b-c|-|b+a-c|的结果为 . 15. 已知a,b,c是△ABC 的三边长. (1) 若a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,试 判断△ABC 的形状; (2) 化简:|b-c-a|+|a-b+c|-|a- b-c|. 答案讲解 16. (教材P21复习题13第3题变式) 已知P 是△ABC 内任意一点. (1) 如图①,求证:AB+AC> PB+PC; (2) 如图②,连接PA,比较12 (AB+BC+ AC)与PA+PB+PC 之间的大小关系. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 16 19. (1) ∵ BC∥DF,∴ ∠D+∠BCD=180°.∵ ∠B= ∠D,∴ ∠B+∠BCD=180°.∴ AB∥CD.∴ ∠A= ∠ACD.(2) ∵ ∠A+∠B=106°,∴ ∠ACB=180°- (∠A+∠B)=74°.∵ FG∥AC,∴ ∠BGF=∠ACB= 74°.∵ BC∥DF,∴ ∠EFG=∠BGF=74°. 20. (1) 450.(2) 36°.(3) 视力情况为“B”的人数为450- 45-117-233=55.补全条形图如图所示.(4) 估计该地 区九年级学生中视力正常的学生人数为25000×45450= 2500. 第20题 21. (1) 根据题意,得 8a+7b=670, 4a+5b=410, 解得 a=40 , b=50. (2) 由 题意可知,购买B种吉祥物的个数为90-x.根据题意,得 x≥43 (90-x), x≤2(90-x), 解得3607 ≤x≤60.由题意,得y=(40- 35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720.∵ 360 7 ≤x≤ 60且x 为整数,∴ 易得当x=52时,y 的值最大,为 -3×52+720=564. 22. (1) 3⊕ (-2)=32×(-2)-3×3×(-2)+ (-2)=-2.(2) ∵ 2⊕(-3a)=a+5,∴ 22×(-3a)- 3×2×(-3a)+(-3a)=a+5,解得a=2.5.∴ a的值 为2.5.(3) P>Q.理由:由题意,得P=m ⊕ 13=m 2· 1 3-3m ·1 3+ 1 3= 1 3m 2-m+13 ,Q=12 ⊕4m= 1 2 2 ×4m-3×12 ·4m+4m=-m.∴ P-Q= 1 3m 2-m+13- (-m)=13m 2+13>0.∴ P>Q. 23. 由题意,得第m 组有m 个连续的偶数.∵ 2020=2× 1010,∴ 2020是第1010个偶数.∵ 1+2+3+…+44= 44×(44+1) 2 =990 ,1+2+3+…+45=45× (45+1) 2 = 1035,∴ 2020是第45组第1010-990=20(个)数. ∴ m=45,n=20.∴ m+n=65. 3 预学储备 第十三章　三 角 形 13.1 三角形的概念 知识梳理 1. 三条线段 顺次相接 △ △ABC a b c 2. 等 边三角形 典例演练 典例1 B 典例2 (1) 题图中共有8个三角形,它们是△ABC, △ABF,△ABE,△ABD,△ACD,△AEF,△BDF, △BEC.(2) △BDF 的三个顶点分别为B,D,F;三条边 分别为BD,DF,BF.(3) 以AB 为边的三角形为△ABC, △ABF,△ABE,△ABD.(4) 以F 为顶点的三角形为 △ABF,△AEF,△BDF. 预学训练 1. B 2. A 3. △ACE 4 4. (1) 以AB为一边的三角形有△ABC,△ABD,△ABE. (2) 以C 为顶点的三角形有△ABC,△ACD,△ACE, △BCD,△BCE,△CDE. 5. C 解析:题图①中,三角形的个数是6+6=6×2,题 图②中,三角形的个数是6+6+6=6×3,题图③中,三角 形的个数是6+6+6+6=6×4……图 中,三角形的个 数是6(n+1). 6. 如图,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画 10个三角形. 第6题 13.2 与三角形有关的线段 知识梳理 1. 大于 小于 2. 中线 DC 3. 重心 4. 角平分线 CAD 5. 高线 高 BC 6. 稳定性 典例演练 典例1 9≤k<14 解析:由题意,得n-9=0,m-5=0, 解得 m=5,n=9.∵ m,n,k为三角形的三边长,∴ 4< k<14.∵ k为三角形的最长边的长,∴ k的取值范围是 9≤k<14. 典例2 (1) ∵ ∠BAC=90°,AD 是边BC 上的高,∴ 易 得1 2AB ·AC= 12BC ·AD.∴ AD=AB ·AC BC = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 6×8 10 =4.8.∴ AD 的长为4.8.(2) ∵ △ABC 是直角三 角形,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴ S△ABC= 1 2AB · AC=12×6×8=24.∵ AE 是边BC 的中线,∴ BE= CE.∴ 1 2BE ·AD=12CE ·AD,即S△ABE=S△AEC. ∴ S△ABE= 1 2S△ABC= 1 2×24=12.∴ △ABE 的面积是 12.(3) △ACE 的周长-△ABE 的周长=AC+AE+ CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2.∴ △ACE 和△ABE 的周长的差是2. 预学训练 1. B 2. C 3. C 4. D 5. D 6. 三角形具有稳定性 7. 90cm 8. 6 9. (1) 3.(2) ∵ AD,BE 是△ABC的中线,∴ BD=CD, AE=EC.∴ S△ABE =S△ADC = 1 2S△ABC.∴ S△ABE - S△AEF = S△ADC - S△AEF,即 S△ABF = S四边形FDCE. ∵ S△ABF=4cm2,∴ S四边形FDCE=4cm2. 10. C 11. C 12. C 解析:∵ 一个等腰三角形的两边长分别是 a 和 2a+1,∴ 另一边长可能是a 或2a+1,∵ a+a=2a< 2a+1,∴ 第三边的长为2a+1.∴ 周长为a+2a+1+ 2a+1= 5a+2. 13. 7或9或11 14. 2c-2a 15. (1) ∵ (a-b)2+|b-c|=0,∴ (a-b)2=0且|b- c|=0.∴ a=b=c.∴ △ABC 是等边三角形.(2) ∵ a, b,c是△ABC的三边长,∴ b-c-a<0,a-b+c>0, a-b-c<0.∴ 原式=a+c-b+a-b+c-b-c+a= 3a-3b+c. 16. (1) 如图,延长BP 交AC 于点D.在△ABD 中, AB+AD>PB+PD;在△PCD 中,PD+DC>PC. ∴ AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC,即AB+AC> PB+PC.(2) 在△ABP 中,PA+PB>AB.同理,可得 PB+PC>BC,PA+PC>AC.将以上三式分别相加,得 2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC> 1 2 (AB+BC+AC). 第16题 13.3 三角形的内角与外角 知识梳理 1. 三角形的外角 6 2 对顶角 2. ∠ACD=∠A+ ∠B 两个内角的和 3. 大于 4. 180° 5. 互余 6. 互余 典例演练 典例1 ∵ AD是边BC上的高,∴ ∠ADC=90°.∵ ∠C= 50°,∴ ∠DAC=90°-∠C=40°.∴ ∠EAC=∠EAD+ ∠DAC=45°.∵ AE 是∠BAC 的平分线,∴ ∠CAB= 2∠DAC=90°.∴ ∠B=180°-∠CAB-∠C=40°. 典例2 ∵ ∠3是△ABD 的一个外角,∴ ∠3=∠B+ ∠1.∵ ∠3=80°,∠B=∠1,∴ ∠1=12∠3= 1 2×80°= 40°.∵ ∠BAC=70°,∴ ∠2=∠BAC-∠1=70°- 40°=30°. 典例3 设∠ABC=∠ACB=x,则∠BAC=3x.在△ABC 中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.∴ x+x+3x= 180°.∴ x=36°.∴ ∠BAC=3x=108°.∵ CD 是AB 边 上的 高,∴ ∠D =90°.∵ ∠ACD = ∠BAC- ∠D, ∴ ∠ACD=108°-90°=18°. 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. C 5. (1) 65° (2) 60° (3) 67.5° 6. 直角 7. ∵ ∠CEF=∠AED=48°,∠ACB=∠CEF+∠F, ∴ ∠F=∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°. ∴ ∠BDF= 180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°. 8. B 9. D 10. D 解析:∵ ∠B=97°,∠C=40°,∴ ∠A=180°- 97°-40°=43°.由平移的性质,可知AB∥DE.∴ ∠GHC= ∠A=43°. 11. 80°或40° 12. ∵ ∠B=50°,∠ANC=80°,∴ ∠BAN=∠ANC- ∠B=30°.∵ AN 是∠BAC 的平分线,∴ ∠BAC= 2∠BAN=60°.∴ ∠C=180°-∠B-∠BAC=70°. 13. (1) 在△OAB 中,∠A+∠B=180°-∠AOB.在 △OCD 中,∠C+∠D =180°- ∠COD.∵ ∠AOB= ∠COD,∴ ∠A+∠B=∠C+∠D.(2) 题图②中共有 6个“8字”.(3) 在“8字”ABED 中,∠E+∠ADE= ∠A+∠ABE①;在“8字”EBCD 中,∠E+∠EBC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈