专题8 规律探究型问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

47 专题八　规律探究型问题 解决规律探究型问题要经历实验、观察、分析、比较、判断等过程,从而找出一般规律,经过类 比、归纳推理,猜想得到一般性的结论. 类型一 数式规律的探究 1. (德阳中考)将一组数 2,2,6,8,10, 12,…,2n,…按如图所示的方式进行排 列,则第八行左起第1个数是 ( ) 第1题 A. 98 B. 128 C. 58 D. 112 2. (扬州中考)数学家斐波那契在《计算之书》 中记载了一列数:1,1,2,3,5,….这一列数 从第三个数开始,每一个数都等于它的前面 两个数之和.在这一列数的前2024个数中, 奇数的个数为 ( ) A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350 3. (常德中考)如图,横排为行,竖排为列,按其 中的规律,分数 20 2023 排在第a行第b列,则 a-b的值为 ( ) 第3题 A. 2003 B. 2004 C. 2022 D. 2023 4. 归纳思想 (江 西 中 考)观察a,a2,a3, a4,…,根据这些式子的变化规律,可得第 100个式子为 . 5. (恩施中考)观察下面两行数,探究第②行数 与第①行数的关系: ① -2,4,-8,16,-32,64,…; ② 0,7,-4,21,-26,71,…. 第①行数的第10个数为 ;取每行 数 的第2023个数,则这两个数的和为 . 答案讲解 6. 归纳思想 (聊城中考)如图,图中 的数是从1开始按箭头方向排列的 有序数阵.从3开始,把位于同一列 且在拐角处的两个数提取出来组成有序数 对:(3,5);(7,10);(13,17);(21,26);(31, 37);….单把每个数对中的第一个或第二个 数按顺序排列起来研究,可以发现其中的规 律.请写出第n个数对:( , ). 第6题 类型二 算式运算规律的探究 7. (济宁中考)已知一列均不为1的数a1,a2, a3,…,an 满足如下关系:a2= 1+a1 1-a1 ,a3= 1+a2 1-a2 ,a4= 1+a3 1-a3 ,…,an+1= 1+an 1-an. 若a1= 2,则a2023的值是 ( ) A. -12 B. 1 3 C. -3 D. 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 48 8. (宁夏中考)观察下列等式: 第1个:1×2-2=22×0; 第2个:4×3-3=32×1; 第3个:9×4-4=42×2; 第4个:16×5-5=52×3; …… 按照以上规律,第n个等式为 . 9. 类比归纳思想 (嘉兴中考)观察下列等式: 32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3, 92-72=8×4,…. (1) 计算192-172的结果; (2) 按上面的规律归纳出一个一般性结论 (用含n的式子表示,n为正整数). 类型三 图案规律的探究 10. (重庆A卷中考)用长度相同的木棍按如图 所示的规律拼图案,其中第①个图案用了 9根木棍,第②个图案用了14根木棍,第 ③个图案用了19根木棍,第④个图案用了 24根木棍……按此规律拼下去,则第⑧个 图案用的木棍根数是 ( ) 第10题 A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 11. 类比归纳思想 (牡丹江中考)如图所示为 由相同的三角形按照一定规律组成的图 案,第1个图案中有4个三角形,第2个图 案中有7个三角形,第3个图案中有10个 三角形……按照此规律排列下去,则第 674个图案中三角形的个数是 ( ) 第11题 A. 2022B. 2023 C. 2024 D. 2025 答案讲解 12. (济宁中考)如图,用相同的小正方 形按照一定规律拼正方形.第一幅 图有1个正方形,第二幅图有5个 正方形,第三幅图有14个正方形……按照 此规律,第六幅图中正方形的个数为 ( ) 第12题 A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 13. 如图所示为用图形“”和“”按一定规律摆 成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去, 则第n 个“小屋子”中图形“”的个数为 ,“”的个数为 . 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 49 类型四 坐标规律的探究 14. (烟台中考)如图,在平面直角坐标系中,每 个小正方形的边长均为1,以点P 为正方 形的一个顶点依次作正方形PA1A2A3、正 方形PA4A5A6……按此规律作下去,所作 正方形的顶点均在格点上.已知正方形 PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0), A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则 顶点A100的坐标为 ( ) 第14题 A. (31,34) B. (31,-34) C. (32,35) D. (32,0) 15. (绥化中考)如图,A1(1,- 3),A2(3, -3),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,3), A6(9,3),A7(10,0),A8(11,- 3)…… 依此规律,点A2024的坐标为 . 第15题 16. 类比思想 (枣庄中考)任取一个正整数, 若是奇数,则将该数乘3再加上1;若是偶 数,则将该数除以2.反复进行上述两种运 算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→ 4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角 坐标系中,将点(x,y)中的x,y 分别按照 “冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的 横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如:点 (6,3)经过1次运算后得到点(3,10),经过 2次运算后得到点(10,5)……点(1,4)经过 2024次运算后得到点 . 答案讲解 17. 类比归纳思想 在平面直角坐标 系中,对于点 P(x,y),我们把 P1(-y+1,x+1)叫作点P 的伴 随点.已知点A1 的伴随点为A2,点A2 的 伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这 样依次得到点 A1,A2,A3,…,An.若点 A1的坐标为(3,1),求点A2023的坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 14 值为18,19,20.① 当m=18时,30-m=12,购买总费用 为30×18+20×12=780(元);② 当m=19时,30-m= 11,购买总费用为30×19+20×11=790(元);③ 当m= 20时,30-m=10,购买总费用为30×20+20×10= 800(元).∵ 780<790<800,∴ 购买A种盐皮蛋18箱, B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少,最少费用为780元. 专题七　新定义题 1. C 2. C 3. 8 4. 9 144 5. 6200 9313 6. B 7. 1 8. 0≤m<13 9. (1) 1;2.(2) 当3x+2≥2(x-1),即x≥-4时, (3x+2)-(x-1)=5,解得x=1.当3x+2<2(x-1), 即x<-4时,(3x+2)+(x-1)-6=5,解得x=52 (不 合题意,舍去).综上所述,x=1. 10. B 11. C 12. -4或7 13. (1) 是;不是.(2) ① 由题意,得∠AOC=90°-4t°, ∠AOB=40°.∵ 射线OA 是射线OB,OC 的“双倍和谐 线”,∴ ∠AOC=2∠AOB 或∠AOB=2∠AOC.当 ∠AOC=2∠AOB 时,如图①,则90-4t=2×40,解得 t=52 ;当∠AOB=2∠AOC 时,如图②,则40=2(90- 4t),解得t=352. 综上所述,当射线OA 是射线OB,OC 的 “双倍和谐线”时,t 的值为 52 或35 2.② 由 题 意,得 ∠CON=4t°,∠AON=90°+2t°,∠AOD=12∠AOB= 20°.∴ ∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2t°.∵ 当射线 OC与射线OA 重合时,旋转停止,∴ 此时∠AON= ∠CON.∴ 90+2t=4t.∴ t=45.∴ 当t=45时,旋转停 止,此时∠AON=180°,即射线 OC,OA 均与OM 重 合.∵ 射线OC位于射线OD 的左侧,且射线OC 是射线 OM,OD 的“双倍和谐线”,∴ ∠COM =2∠COD 或 ∠COD=2∠COM.当∠COM=2∠COD 时,如图③,即 180°-∠CON=2(∠CON-∠DON),∴ 180-4t= 2(4t-70-2t),解得t=40.∴ ∠CON =4°×40= 160°.当∠COD=2∠COM 时,如 图④,即∠CON - ∠DON=2(180°-∠CON),∴ 4t-(70+2t)=2(180- 4t),解得t=43.∴ ∠CON=4°×43=172°.综上所述,当 射线OC 位于射线OD 的左侧,且射线OC 是射线OM, OD 的“双倍和谐线”时,∠CON 的度数为160°或172°. 第13题 利用分类讨论思想求角的度数 分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一, 在图形问题中,如果图形中的某些元素的位置是不确 定的,那么需要根据某一位置关系进行分类讨论.如果 图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的, 那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论. 专题八　规律探究型问题 1. C 2. D 3. C 解析:观察题图中的规律发现,分数的分子是几,则 必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致, 故 20 2023 在第20列,即b=20.向前递推到第1列时,分数 为 20-19 2023+19= 1 2042 ,故分数 20 2023 与分数 1 2042 在同一行, 即在第2042行,则a=2042.∴ a-b=2042-20=2022. 4. a100 5. 1024 -22024+2024 6. n(n+1)+1 (n+1)2+1 解析:每个数对的第一个 数分别为3,7,13,21,31,…,即1×2+1,2×3+1,3×4+ 1,4×5+1,5×6+1,…,∴ 第n 个数对的第一个数为 n(n+1)+1,每个数对的第二个数分别为5,10,17,26, 37,…,即22+1;32+1;42+1;52+1;62+1,…,∴ 第n个 数对的第二个数为(n+1)2+1. 7. A 解析:∵ a1=2,∴ a2= 1+2 1-2=-3 ,a3= 1-3 1+3= -12 ,a4= 1-12 1+12 =13 ,a5= 1+13 1-13 =2……由此可得规律 为按2,-3,-12 ,1 3 四个数一循环.∵ 2023÷4= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 505……3,∴ a2023=a3=- 1 2. 8. n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1) 9. (1) 192-172=8×9=72.(2) (2n+1)2-(2n- 1)2=8n. 10. B 11. B 12. B 解析:由题图可知,第一幅图中正方形的个数为 1=12;第二幅图中正方形的个数为5=12+22;第三幅图 中正方形的个数为14=12+22+32;第四幅图中正方形的 个数为30=12+22+32+42……∴ 第n幅图中正方形的 个数为12+22+32+…+n2.当n=6时,12+22+ 32+…+62=91(个).∴ 第六幅图中正方形的个数为91. 13. n(n+1) 2 2n+2 解析:由所给图形可知,第1个 “小屋子”中图形“”的个数为1=1,“”的个数为4=1× 2+2;第2个“小屋子”中图形“”的个数为3=1+2,“” 的个数为6=2×2+2;第3个“小屋子”中图形“”的个数 为6=1+2+3,“”的个数为8=3×2+2;第4个“小屋 子”中图形“”的个数为10=1+2+3+4,“”的个数为 10=4×2+2……∴ 第n个“小屋子”中图形“”的个数为 1+2+3+…+n=n (n+1) 2 ,“”的个数为2n+2. 14. A 15. (2891,-3) 解析:由题意,得点A1 的坐标为(1, -3),点A2 的坐标为(3,-3),点A3 的坐标为(4,0), 点A4 的坐标为(6,0),点A5 的坐标为(7,3),点A6 的 坐标为(9,3),点A7 的坐标为(10,0),点A8 的坐标为 (11,-3),点A9 的坐标为(13,- 3),点A10 的坐标为 (14,0),点A11 的坐标为(16,0),点A12 的坐标为(17, 3),点A13 的坐标为(19,3),点 A14 的坐标为(20, 0),…,由此可见,每隔七个点,点的横坐标增加10,且纵 坐标按- 3,- 3,0,0,3,3,0循环出现.∵ 2024÷ 7=289……1,∴ 1+289×10=2891.∴ 点A2024 的坐标 为(2891,-3). 16. (2,1) 解析:点(1,4)经过1次运算后得到点(4,2), 经过2次运算后得到点(2,1),经过3次运算后得到点(1, 4)……∴ 3次运算为一个循环.∵ 2024÷3=674……2, ∴ 点(1,4)经过2024次运算后得到点(2,1). 17. ∵ 点A1的坐标为(3,1),∴ A2(0,4),A3(-3,1), A4(0,-2),A5(3,1)……以此类推,每4个点为一个循环 组依次循环.∵ 2023÷4=505……3,∴ 点A2023 的坐标 与点A3的坐标相同,为(-3,1). 整合提优自主检测 一、 1. C 2. D 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B 8. B 9. A 10. D 二、 11. 3 12. 2 13. -5<m<1 14. 答案不唯一,如 7 15. (-505,506) 16. 7 3 或1 3 解析:∵ AD∥BC,∴ ∠DAG=∠AGB. ∵ AG 平分∠BAD,∴ ∠BAG=∠DAG.∴ ∠AGB= ∠BAG.① 如图①,当点M 在BP 的下方时,设∠ABC= 3x.∵ ∠ABP=2∠PBG,∴ ∠ABP=2x,∠PBG= x.∵ CH ∥AG,∴ ∠BCH = ∠AGB =180°-3x2 . ∵ ∠BCD= 90°,∴ ∠PBM = ∠DCH = 90° - 180°-3x 2 = 3x 2.∴ ∠ABM=∠ABP+∠PBM=2x+ 3x 2= 7x 2.∴ ∠ABM∶∠PBM=7x2∶ 3x 2= 7 3.② 如图 ②,当点 M 在BP 的上方时.同①,得∠ABP=2x, ∠PBM=32x.∴ ∠ABM=∠ABP-∠PBM=2x- 3 2x= x 2.∴ ∠ABM∶∠PBM=x2∶ 3x 2= 1 3. 综上所 述,∠ABM∶∠PBM 的值是73 或1 3. 第16题 三、 17. 记 x+3>1①, 2x-1≤x②. 解不等式①,得x>-2;解不等 式②,得x≤1.∴ 此不等式组的解集为-2<x≤1.∴ 不 等式组 x+3>1, 2x-1≤x 的整数解为x=-1,0,1. 18. (1) 原式=3+2-2=3.(2) 原式=-2+2-3+3+ 3=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈