专题5 “含参”方程(组)和不等式(组)-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

12 计算平面直角坐标系中的三角形的面积 求三角形的面积的关键是确定某条边的长及这条 边上的高,如果在平面直角坐标系中的某个三角形有 一条边在坐标轴上或平行于坐标轴,那么根据这条边 上的两个顶点的坐标可以求出这条边的长,根据这条 边的相对的顶点的坐标,可以求出这条边上的高,此时 就可以求出这个三角形的面积.如果这个三角形没有 边在坐标轴上,也没有边平行于坐标轴,那么需通过添 加辅助线的方式转化为有边与坐标轴平行或有边在坐 标轴上的图形.本题我们可以用一个小长方形将三角 形围住,然后用小长方形的面积减去三个小直角三角 形的面积和,即可得出三角形ABC 的面积. 专题五　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1. C 2. 0 3. -32 4. B 5. C 6. 1 7. 把 x=2, y=1 代入方程组,得 4+m-1=2, 2n+1=1, 解得 m=-1 , n=0. ∴ (m+n)2 024=1. 8. ∵ 关于 x,y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的解是对称解,∴ 易得方程组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=-112 , y=1. ∴ 第一个方程组的解是 x=- 11 2 , y=1, 第二 个方程组的解是 x=1, y=- 11 2. 把 x=- 11 2 , y=1 代入ax- by=-4,得- 11 2a-b=-4①. 把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ ay=8,得b- 11 2a=8②. 由①②,得 a=-411 , b=6. ∴ a= -411 ,b=6,第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程 组的解为 x=1, y=- 11 2. 9. 把 x=72 , y=-2 代入②,得7+2n=13,解得n=3.把 x=3, y=-7 代 入 ①,得 3m -7=5,解 得 m =4. ∴ m2+n2=5. 10. B 11. 4或-4 12. ∵ 关于x,y的方程组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有 相同的解,∴ 方程组 3x-y=2, x+2y=1 的解也是它们的解,解 得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 将解代入其他两个方程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 13. C 14. m≠-1 15. D 16. B 17. A 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. ∴ 不等式组的解集为m<x<m+1.∵ 不等式组的每一 个解都不在 2≤x<5的范围内,∴ m+1≤2或m≥5,即 m≤1或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 23. 记 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ① + ②,得 3x+3y= -3m-3.∴ x+y=-m-1.∵ x+y>-3,∴ -m- 1>-3.∴ m<2.∵ m 是非负整数,∴ m=1或m=0. 利用方程组的解的不等关系求参数的取值范围 由方程组的解的不等关系列出不等式,求出方程 组中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除未 知数以外还含有其他参数的方程组,二是要会根据解 的不等关系列出不等式. 24. 对于方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k, 可得4x+4y=4-k. ∴ x +y =1- k 4.∵ 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,∴ 1-k4>0 ,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 k<4.对于不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 可得 x≥-1,x≤k. ∵ 关 于x的不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴ k≥-1.综上 所述,k的取值范围是-1≤k<4.∴ 符合条件的整数k 的值为-1,0,1,2,3. 专题六　方程（组）与不等式（组） 在实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设该文具店中这种大笔记本每本的价格是x 元,则小 笔记本每本的价格是(x-3)元.由题意,得4x+6(x- 3)=62,解得x=8.∴ 该文具店这种大笔记本每本的价 格为8元. 7. 设天头长为xcm,则地头长为23xcm.∴ 边的宽为 1 10x+ 2 3x =16xcm.∴ 装裱后的长为2 3x+x+ 100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+27= 1 3x+27 cm.由题意,得53x+100= 13x+27 ×4, 解得x=24.∴ 1 6x=4.∴ 边的宽为4cm,天头长为 24cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元、y 元.由题意, 得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单 价分别为100元、20元.(2) 由题意,得80a+15b=1800 (a>15),可购进足球的数量最多为180080 ≈22 (个), ∴ 15<a≤22.∵ a,b为整数,∴ 当a=16时,b=1043 (不 合题意,舍去);当a=17时,b=883 (不合题意,舍去);当 a=18时,b=24;当a=19时,b=563 (不合题意,舍去);当 a=20时,b=403 (不合题意,舍去);当a=21时,b=8;当 a=22时,b=83 (不合题意,舍去).∴ 有两种方案,方案 一:购进足球18个,跳绳24根;方案二:购进足球21个, 跳绳8根.(3) 方案一的利润为(100-80)×18+(20- 15)×24=480(元),方案二的利润为(100-80)×21+ (20-15)×8=460(元).∵ 480>460,∴ 为了获利最多, 商店应选择方案一,即购进足球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均 是整数的解. 9. A 10. B 11. 8.8 12. 设购买这种型号的水基灭火器x 个,则购买这种型 号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的 最大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器 12个. 13. (1) 设A种商品每件的进价是x元,B种商品每件的 进 价 是 y 元.根 据 题 意,得 3x-4y=60, 5x+2y=620, 解 得 x=100, y=60. ∴ A种商品每件的进价是100元,B种商品 每件的进价是60元.(2) 设购进m 件 A种商品,则 购 进 (60 - m)件 B 种 商 品.根 据 题 意,得 60-m≥2m, (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770, 解 得 19≤ m≤20.∴ m 的最大值为20.∴ 购进A种商品的件数最 多为20. 14. (1) 设每箱A种盐皮蛋的价格是x元,每箱B种盐皮 蛋的 价 格 是 y 元.由 题 意,得 9x+6y=390, 5x+8y=310, 解 得 x=30, y=20. ∴ 每箱A种盐皮蛋的价格是30元,每箱B种盐 皮蛋的价格是20元.(2) 设购买A种盐皮蛋m 箱,则购 买B种盐皮蛋(30-m)箱.由题意,得 m-(30-m)≥5, m≤2(30-m), 解得35 2≤m≤20. 又∵ m 为正整数,∴ m 所有可能的取 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 38 专题五　“含参”方程（组）和不等式（组） “含参”方程(组)与不等式(组)是学习中的难点也是重点.解这类问题要注意以下三点: (1) 紧紧围绕方程(组)与不等式(组)的有关概念,从定义出发寻求解决问题的方法;(2) 要辩证 看待问题中的参数与未知数,根据解题的需要,灵活变更主元;(3) 涉及不等式的问题,要充分利 用数轴,从数形结合的角度思考与解决问题. 类型一 “含参”方程(组) (一) 根据一次方程(组)的定义求参数 1. 若(k-2)x+1=0是关于x 的一元一次方 程,则k的值不可能是 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -2 2. 若xm-2-yn+4=21是关于x,y的二元一次 方程,则m+n值为 . 3. 已知3x2m+1-4y3m+2n=1是关于x,y 的二 元一次方程,则2m-3n= . (二) 根据一次方程(组)解的定义求参数 4. (眉山中考)已知关于x,y 的二元一次方程 组 3x-y=4m+1, x+y=2m-5 的解满足x-y=4,则 m 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若x=1是关于x 的方程-2mx+n-1=0 的解,则2024+n-2m 的值为 ( ) A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 如果 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 x+y=3, 2x-ay=5 的解是 x=b , y=1, 那么ab 的值为 . 7. 已知 x=2, y=1 是关于x,y 的二元一次方程组 2x+(m-1)y=2, nx+y=1 的 解,求 (m +n)2 024 的值. 答案讲解 8. 新考法 新定义题 如果关于x,y 的二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 与 a3x+b3y=c3, a4x+b4y=c4 的解分别是 x=x0 , y=y0 与 x=y0, y=x0, 那么称这两个二元一次方程组的解 是 对 称 解.已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23 , bx+ay=8 的解是对称 解,求a,b的值及两个方程组的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 拍 照 批 改 39 (三) 根据一次方程(组)的错解求参数 答案讲解 9. 新考法 阅读理解 甲、乙两人同 时解方程组 mx+y=5①, 2x-ny=13②, 甲看 错了①中的m,解得 x=72 , y=-2; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 乙看错了②中 的n,解得 x=3, y=-7. 求 m2+n2的值. (四) 根据一次方程(组)的解求参数 10. 若 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 ax+2y=1, 3x+y=3 有唯一解,则下列结论正确 的是 ( ) A. a≠0 B. a≠6 C. a=0 D. a为任意数 11. 已知m 为整数,关于x,y的二元一次方程 组 4x-3y=6, 6x+my=26 有正整数解,则m 的值为 . 12. 若关 于 x,y 的 方 程 组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,求a,b的值. 类型二 “含参”不等式(组) (一) 根据一次不等式(组)的定义求参数 13. 已知4x2k+3+11+k2>4是关于x 的一元 一次不等式,则k的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 14. 已知关于x的不等式2m-mx2 > 1 2x-1 是 一元一次不等式,则 m 的取值范围是 . (二) 根据一次不等式(组)的解集求参数 15. 若关于x 的一元一次不等式m-2x3 ≤ -2的解集为x≥5,则m 的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 16. 已 知 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 2+2(1-x)>13-5x, x-k>-2 的解集是x>3,则 k的取值范围是 ( ) A. k<5 B. k≤5 C. k>5 D. k≥5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 答案讲解 17. 若关于x的不等式组 x-2>2a, -12+4x<10+ x 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解集为-2< x<3,则a的取值范围是 ( ) A. a=-2 B. a=12 C. a≥-2 D. a≤-1 18. 若 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 x-a>0, 1-x>x-1 无 解,则a 的 取 值 范 围 是 . 19. 已知关于x 的不等式组 x-m>0, x-m<1 有解, 且它的每一个解都不在 2≤x<5的范围 内,求m 的取值范围. (三) 根据一次不等式(组)的整数解求参数 20. 若x=3是关于x 的不等式2x-m>4的 一个整数解,而x=2不是其整数解,则m 的取值范围是 ( ) A. 0<m<2 B. 0≤m≤2 C. 0≤m<2 D. 0<m≤2 答案讲解 21. 若关于x 的一元一次不等式组 x-1>0, 2x-a<0 有2个整数解,则a的 取值范围是 . (四) 一次方程(组)与一次不等式(组)结合求参数 22. 若关于x的方程2x-m=4x-3+m 的解 为非负数,则m 的取值范围是 . 23. ★已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x-y=4m-5, x+4y=-7m+2 的解满足x+y>-3, 其中m 是非负整数,求m 的值. 答案讲解 24. 已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y> 0,且关于x 的不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,求符合条件的整数k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版)