专题4 点与坐标结合妙解题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

11 13. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 14. (1) 原式= (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045=[(-2022)+ (-2022)+(-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) ∵ 1-122= 1 2× 3 2 ,1- 1 32= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,∴ 原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× …×20202021× 2022 2021× 2021 2022× 2023 2022= 1 2 × 2023 2022= 2023 4044. 专题四　点与坐标结合妙解题 1. C 2. A 3. B 4. B 5. -3 6. 2-2或2+ 2 解析:∵ 点B 到原点的距离为 2, ∴ 点B 表示的数是±2.当点B 表示的数是 2时,点B 在点A 的右侧.∴ AB=2-1.∵ 点B,C 到点A 的距离 相等,∴ AC=AB= 2-1.∴ 点C 表示的数是1- (2-1)=2-2.当点B 表示的数是- 2时,点B 在点 A 的左侧.∴ AB=1-(- 2)=1+ 2.∴ AB=AC= 1+2.∴ 点C 表示的数是1+(1+2)=2+ 2.综上所 述,点C 表示的数是2-2或2+2. 7. (1) ∵ |a|=4,|b|=1,∴ a=4或a=-4,b=1或 b=-1.由数轴,可知a<b<0.∴ a=-4,b=-1.(2) 由 (1),得表示a,b 两数的点之间的距离为(-1)- (-4)=3. (3) 504. 解析:由题意,得点P 每运动8秒为一个周期, 在每个周期内,点 P 前进5-3=2(个)单位长度. ∵ 2016÷8=252,∴ 点 P 一 共 前 进 了252×2= 504(个)单位长度.∴ x2016=504. 8. C 9. B 10. (3,30°) 11. 1 12. -3<m<1 13. A 14. (3,-3) 15. (1) a=-5,b=4.(2) 三角形ABC如图所示.三角形 ABC的面积=12×8×9- 1 2×2×9- 1 2×4×8=11. (3) 三角形A2B2C2 如图所示.A2(5,-4),B2(1,2), C2(-4,4). 第15题 16. D 17. (1) 7.(2) 如图①,过点A 作y 轴的平行线,延长 BC,与平行线交于点P,过点C 作CM⊥PA 于点M,过 点B 作BN⊥PA 于点N.∴ M(-1,3),N(-1,2), CM=2,BN=5,MN=1.设P(-1,a).∵ S三角形CPM+ S四边形CMNB=S三角形PNB,∴ 1 2×2 (a-3)+12× (2+5)× 1= 12 ×5 (a-2),解 得 a=113.∴ P -1,113 . ∵ S三角形PBD- S三角形PCD = S三角形BCD,S三角形BCD = 1 2S三角形ABC ,∴ 1 2× 5 × m- 11 3 - 1 2 × 2 × m-113 = 1 2×7 ,解得m=6或m=43. (3) 如图②,过 点 B 作 x 轴 的 平 行 线,与 直 线 AC 交 于 点 H. ∵ S三角形ABC=S三角形ABH+S三角形BCH=7,∴ 1 2BH ·(1+ 3)=7,解得BH=72.∴ 7 2÷1= 7 2 (秒).∴ 平移7 2 秒 后该直线恰好经过点B. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 计算平面直角坐标系中的三角形的面积 求三角形的面积的关键是确定某条边的长及这条 边上的高,如果在平面直角坐标系中的某个三角形有 一条边在坐标轴上或平行于坐标轴,那么根据这条边 上的两个顶点的坐标可以求出这条边的长,根据这条 边的相对的顶点的坐标,可以求出这条边上的高,此时 就可以求出这个三角形的面积.如果这个三角形没有 边在坐标轴上,也没有边平行于坐标轴,那么需通过添 加辅助线的方式转化为有边与坐标轴平行或有边在坐 标轴上的图形.本题我们可以用一个小长方形将三角 形围住,然后用小长方形的面积减去三个小直角三角 形的面积和,即可得出三角形ABC 的面积. 专题五　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1. C 2. 0 3. -32 4. B 5. C 6. 1 7. 把 x=2, y=1 代入方程组,得 4+m-1=2, 2n+1=1, 解得 m=-1 , n=0. ∴ (m+n)2 024=1. 8. ∵ 关于 x,y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的解是对称解,∴ 易得方程组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=-112 , y=1. ∴ 第一个方程组的解是 x=- 11 2 , y=1, 第二 个方程组的解是 x=1, y=- 11 2. 把 x=- 11 2 , y=1 代入ax- by=-4,得- 11 2a-b=-4①. 把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ ay=8,得b- 11 2a=8②. 由①②,得 a=-411 , b=6. ∴ a= -411 ,b=6,第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程 组的解为 x=1, y=- 11 2. 9. 把 x=72 , y=-2 代入②,得7+2n=13,解得n=3.把 x=3, y=-7 代 入 ①,得 3m -7=5,解 得 m =4. ∴ m2+n2=5. 10. B 11. 4或-4 12. ∵ 关于x,y的方程组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有 相同的解,∴ 方程组 3x-y=2, x+2y=1 的解也是它们的解,解 得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 将解代入其他两个方程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 13. C 14. m≠-1 15. D 16. B 17. A 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. ∴ 不等式组的解集为m<x<m+1.∵ 不等式组的每一 个解都不在 2≤x<5的范围内,∴ m+1≤2或m≥5,即 m≤1或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 23. 记 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ① + ②,得 3x+3y= -3m-3.∴ x+y=-m-1.∵ x+y>-3,∴ -m- 1>-3.∴ m<2.∵ m 是非负整数,∴ m=1或m=0. 利用方程组的解的不等关系求参数的取值范围 由方程组的解的不等关系列出不等式,求出方程 组中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除未 知数以外还含有其他参数的方程组,二是要会根据解 的不等关系列出不等式. 24. 对于方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k, 可得4x+4y=4-k. ∴ x +y =1- k 4.∵ 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,∴ 1-k4>0 ,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 专题四　点与坐标结合妙解题 数轴上的点与实数之间建立了一一对应关系,平面直角坐标系中的点与坐标之间建立了一 一对应关系.点与坐标结合(数轴上的点对应的实数看成点在数轴上的坐标),用代数方法研 究几何问题,或用几何知识解决代数问题,以形助数,以数辅形,彰显了数形结合的思想方法.通 过点的坐标获知几何图形的形状、大小和位置关系;反过来,将几何图形置于数轴或平面直角 坐标系中,根据给定的条件,可以求出相关点的坐标,在此基础上进一步刻画几何图形的性 质和基本特征. 类型一 数轴上的点 1. (南充中考)如图,数轴上表示2的点可能是 ( ) 第1题 A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. (宁夏中考)已知|3-a|=a-3,则a的取值 范围在数轴上表示正确的是 ( ) A B C D 3. (杭州中考)已知数轴上的点A,B 分别表示 数a,b,其中-1<a<0,0<b<1.若ab=c, 数c在数轴上用点C 表示,则点A,B,C 在 数轴上的位置可能是 ( ) A B C D 答案讲解 4. 数形结合思想 (烟台中考)实数 a,b,c在数轴上的位置如图所示. 下列结论正确的是 ( ) 第4题 A. b+c>3 B. a-c<0 C. |a|>|c| D. -2a<-2b 5. (陕西中考)在如图所示的数轴上,点A 表示 的数是3,点B 与点A 位于原点的两侧,且 与 原点的距离相等,则点B 表示的数是 . 第5题 6. 数轴上点A 表示的数为1,点B,C 分别位于 点A 的两侧,且到点A 的距离相等.已知点 B 到原点的距离为 2,则点C 表示的数是 . 7. 数形结合思想 已知a,b表示两个不同的 有理数,且|a|=4,|b|=1,它们在数轴上的 位置如图所示. 第7题 (1) 求a,b的值. (2) 求表示a,b两数的点之间的距离. (3) 动点P 从数轴上的原点出发,沿数轴的 正方向,以每前进5个单位长度、后退3个单 位长度的程序运动.设点P 每秒前进或后退 1个单位长度,xn 表示第n秒点P 在数轴上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 36 的位置所对应的数,如x4=4,x5=5,x6= 4,则x2016= . 类型二 平面直角坐标系 (一) 点的位置与点的坐标 8. (广西中考)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点P 的坐标为(2,1),则点Q 的坐标为 ( ) 第8题 A. (3,0) B. (0,2) C. (3,2) D. (1,2) 9. (资阳中考)在平面直角坐标系中,将点 (-2,1)向上平移1个单位长度后,得到的 点的坐标为 ( ) A. (-2,0) B. (-2,2) C. (-3,1) D. (-1,1) 答案讲解 10. (甘孜中考)如图,在一个平面区域 内,一台雷达探测器测得在点A, B,C 处有目标出现.按某种规则,点A,B 的位置可以分别表示为(1,90°),(2,240°), 则点C 的位置可以表示为 . 第10题 11. (泸州中考)在平面直角坐标系中,若点 P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原点对称, 则m 的值是 . 12. (日照中考)若点M(m+3,m-1)在第四象 限,则m 的取值范围是 . (二) 图形的变化与点的坐标 13. (自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,点 D 的坐标为(4,-2),将三角形OCD 绕点 O 按逆时针方向旋转90°得到三角形OAB, 则点B 的坐标为 ( ) A. (2,4) B. (4,2) C. (-4,-2) D. (-2,4) 第13题 第14题 14. 三个能够完全重合的正六边形的位置如图 所示.若点B 的坐标为(- 3,3),则点A 的坐标为 . 15. 数形结合思想 如图,在平面直角坐标系 中,若三角形 ABC 的顶点坐标分别是 A(a,-4),B(-1,2),C(4,4). (1) 已知点A(a,-4)的纵坐标乘-1,横坐 标不变后的坐标为(-5,b),直接写出a,b 的值; (2) 画出(1)中的三角形ABC,并求出三角 形ABC 的面积; (3) 若(2)中的三角形ABC 各顶点的横坐 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 37 标都 乘-1,纵 坐 标 不 变,得 到 三 角 形 A2B2C2,画出三角形A2B2C2,并写出各个 顶点的坐标. 第15题 (三) 图形的面积与点的坐标 16. 如图,三角形OAB 的边OB 在x轴的正半 轴上,O 是原点,点B 的坐标为(3,0).把三 角形OAB 沿x轴向右平移2个单位长度, 得到三角形CDE,连接AC,DB.若三角 形DBE 的面积为3,则图中涂色部分的面 积为 ( ) 第16题 A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3 2 答案讲解 17. ★如图①,点 A 的坐标是(-1, -1),点B 的坐标是(4,2),点C 的坐标是(1,3). (1) S三角形ABC= ; (2) 已知点D(-1,m)满足S三角形BCD= 1 2S三角形ABC ,求m 的值; (3) 如图②,把直线AC 以每秒1个单位长 度的速度向右平移,平移多少秒后该直线 恰好经过点B? 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优