专题3 实数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

10 ∠BAE.∴ ∠DEA=∠DEM +∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+∠FDC= ∠DEA+∠ACD=102°.∵ DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE= 2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+ ∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).∴ ∠BAC+∠FDE= 34°.又∵ ∠BAC+∠FDC=∠BAC+2∠FDE=56°, ∴ ∠FDE=22°.∴ ∠FDC=2∠FDE=44°. 14. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ CD∥GR.∴ ∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.∴ ∠1+∠2= ∠EGR+∠FGR=∠3.∵ ∠1=30°,∠3=75°,∴ ∠2= 45°.(2) ∵ FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,∴ 可设 ∠CFN=∠GFN=β,∠AEM=∠NEM=α.如图②,过 点G 作 GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.∵ AB∥CD, ∴ NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF = ∠CFN =β, ∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM=α,∠PGF= ∠DFG=180°-2β.∴ ∠FNE=∠QNF-∠QNE=β- 2α,∠FGE = ∠PGE + ∠PGF =α+180°-2β.又 ∵ ∠FNE+12∠FGE=54° ,∴ β-2α+ 1 2 (α+180°- 2β)=54°,解 得 α=24°.∴ ∠AEN =2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:∵ FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设∠CFK =∠GFK =n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵ AB∥CD,∴ GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n,∠IHK=∠CFK= n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m- n.∴ ∠EGF=2∠EHF. 第14题 专题三　实数的运算技巧 1. C 2. D 3. (1) 3 (2) -36 4. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. (4) 原 式=-1+6427× 3 4× 3 4÷ -1+ 9 8× 4 9- 1 4 =-1+ 4 3÷ - 3 4 =-279. 5. A 6. B 7. C 8. A 9. (1) 交换律和结合律 (2) 分配律 10. (1) -521 (2) 7 (3) -8700 (4) -6 (5) 458 (6) -5115 (7) -1 (8) -24 (9) 59 (10) 1 11. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314.(3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32.(4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×0=0.(6) 原式= 5×401×3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89=4011599×1599+89=401+89=490. 12. ∵ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷124= 23-34+16-512 × 24=23×24- 3 4×24+ 1 6×24- 5 12×24=-8 ,∴ 1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 13. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 14. (1) 原式= (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045=[(-2022)+ (-2022)+(-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) ∵ 1-122= 1 2× 3 2 ,1- 1 32= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,∴ 原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× …×20202021× 2022 2021× 2021 2022× 2023 2022= 1 2 × 2023 2022= 2023 4044. 专题四　点与坐标结合妙解题 1. C 2. A 3. B 4. B 5. -3 6. 2-2或2+ 2 解析:∵ 点B 到原点的距离为 2, ∴ 点B 表示的数是±2.当点B 表示的数是 2时,点B 在点A 的右侧.∴ AB=2-1.∵ 点B,C 到点A 的距离 相等,∴ AC=AB= 2-1.∴ 点C 表示的数是1- (2-1)=2-2.当点B 表示的数是- 2时,点B 在点 A 的左侧.∴ AB=1-(- 2)=1+ 2.∴ AB=AC= 1+2.∴ 点C 表示的数是1+(1+2)=2+ 2.综上所 述,点C 表示的数是2-2或2+2. 7. (1) ∵ |a|=4,|b|=1,∴ a=4或a=-4,b=1或 b=-1.由数轴,可知a<b<0.∴ a=-4,b=-1.(2) 由 (1),得表示a,b 两数的点之间的距离为(-1)- (-4)=3. (3) 504. 解析:由题意,得点P 每运动8秒为一个周期, 在每个周期内,点 P 前进5-3=2(个)单位长度. ∵ 2016÷8=252,∴ 点 P 一 共 前 进 了252×2= 504(个)单位长度.∴ x2016=504. 8. C 9. B 10. (3,30°) 11. 1 12. -3<m<1 13. A 14. (3,-3) 15. (1) a=-5,b=4.(2) 三角形ABC如图所示.三角形 ABC的面积=12×8×9- 1 2×2×9- 1 2×4×8=11. (3) 三角形A2B2C2 如图所示.A2(5,-4),B2(1,2), C2(-4,4). 第15题 16. D 17. (1) 7.(2) 如图①,过点A 作y 轴的平行线,延长 BC,与平行线交于点P,过点C 作CM⊥PA 于点M,过 点B 作BN⊥PA 于点N.∴ M(-1,3),N(-1,2), CM=2,BN=5,MN=1.设P(-1,a).∵ S三角形CPM+ S四边形CMNB=S三角形PNB,∴ 1 2×2 (a-3)+12× (2+5)× 1= 12 ×5 (a-2),解 得 a=113.∴ P -1,113 . ∵ S三角形PBD- S三角形PCD = S三角形BCD,S三角形BCD = 1 2S三角形ABC ,∴ 1 2× 5 × m- 11 3 - 1 2 × 2 × m-113 = 1 2×7 ,解得m=6或m=43. (3) 如图②,过 点 B 作 x 轴 的 平 行 线,与 直 线 AC 交 于 点 H. ∵ S三角形ABC=S三角形ABH+S三角形BCH=7,∴ 1 2BH ·(1+ 3)=7,解得BH=72.∴ 7 2÷1= 7 2 (秒).∴ 平移7 2 秒 后该直线恰好经过点B. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 专题三　实数的运算技巧 实数的运算主要是实数的加、减、乘、除、乘方以及开方运算.实数运算就是根据实数的运算 律和运算法则进行数的运算.在运算过程中根据算理对题中的数进行恰当的分组或组合,并合理 运用运算律是解题的关键.运算时要注意加减法之间、乘除法之间、小数和分数之间的相互转化, 从而减少运算量,提高运算速度与正确率. 类型一 直接计算 1. (营口中考)有下列算式:① (-5)+(+3)= -8;② -(-2)3=6;③ +56 + -16 = 2 3 ;④ -3÷ -13 =9.其中,正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. (大连中考)下列计算正确的是 ( ) A. (2)3=6 B. 23+33=56 C. 8=42 D. 3×(23-2)=6-23 3. 计算: (1) (包头中考)38+(-1)2024= ; (2) -32-0.75÷13× [4-(-2)3]= . 4. 计算: (1) -12025+ 25× (-10)-42 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷(-5); (2) 3125+ 259+ 3-8× 42+32; (3) -32+1÷4×14- -1 1 4 × (-0.5)2; (4) -12×(-1)2- -113 3 ÷43× 3 4÷ -12024-1.125÷ - -32 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 - -13- 16 2 . 类型二 利用运算律简化运算 5. 计算(-8)×3÷(-2)2的结果是 ( ) A. -6 B. 6 C. -12 D. 12 6. 计算47× -18 +81×18+26×(-0.125)的 结果是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7. 下列算式中,运用分配律可以简便运算的是 ( ) A. 60÷ 13- 1 4+ 1 12 B. 1 3- 1 4+ 1 12 ÷60 C. 1 3- 1 4+ 1 12 ÷160 D. 1 3- 1 4+ 1 12 ×160 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 拍 照 批 改 33 8. 计算 -12 +14+ -25 + +310 时,下列运 用的运算律合适的是 ( ) A. -12 +14􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -25 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B. 1 4+ - 2 5 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C. -12 + 14+ -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + +310 D. 1 4+ + 3 10 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 9. 指出下列变形中用到的运算律: (1) (-2)+9+(-3)+2=[(-2)+2]+ 9+(-3)利用的是加法的 ; (2) (―3)×(―8+2-3)= (―3)× (―8)-3×2+3×3利用的运算律是 . 10. 计算: (1) 1 6 + - 2 7 + -56 + +57 = ; (2) -2.5+(-3.26)+5.5+(+7.26)= ; (3) (-25)×(-87)×(-4)= ; (4) -67 × (-15)× -76 × 25 = ; (5) -92223× (-46)= ; (6) -651315÷13= ; (7) -81÷16÷ -214 ÷ -214 = ; (8) -16+ 3 4- 1 12 × -48 = ; (9) 11.8×334- (-11.8)×1.7-11.8×34- 11.8×(-0.3)= ; (10) 28 5÷ (-2)× -514 = . 11. 计算: (1) -556-9 2 3+17 3 4-3 1 2 ; (2) -3.14×35+6.28×(-23.3)- 15.7×3.68; (3) 7 9- 5 6+ 3 18 ÷ -118 -6×1.05- 3.95×6; (4) -32-7× 27-3 +12÷ 12-13- 1 4 ; (5) 3.59× -47 +2.41× -47 -6× -47 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 (6) 5×401×3021599+ (1599+401)× 89 1599. 类型三 构造符合运算律的模型简化运算 (一) 倒数法 答案讲解 12. ★计算:1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 . (二) 拆项法与裂项法 答案讲解 13. 计算:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72+ 1 90. 14. 阅读下面的计算方法,解决问题: -556+ -9 2 3 +1712 + -312 = (-5)+ -56 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + (-9)+ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 -23 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 + 17+ 1 2 + (-3)+ -12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =[(-5)+(-9)+ 17+(-3)]+􀭠􀭡 􀪁􀪁 -56 + -23 +12+ -12 􀭤􀭥 􀪁􀪁 =0+ -112 =-112. (1) 计 算:-202256 + -202223 + -112 +4045; (2) 已知1-122= 1 2× 3 2 ,1-132= 2 3× 4 3 , 1- 142 = 3 4 × 5 4 ,…,计 算:1-122 × 1-132 ×…× 1- 120212 ×1- 120222 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版)