专题2 平行线中与角有关的计算问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

29 专题二　平行线中与角有关的计算问题 平行线是初中数学的重要基础知识,运用平行线的性质与判定能解决求角问题以及判断两 条直线是否平行等问题.如果题中有平行线存在,那么总有相等的角存在;如果题中没有平行线, 那么可以通过证明两线平行或者构造平行线得到相等的角. 类型一 平行线的性质与判定的综合应用 1. (长沙中考)如图,在三角形 ABC 中,若 ∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的 度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第1题 第2题 第3题 2. 如图,∠ABD=∠EFD,∠FEC 与∠ECD 互补.若∠FEC=150°,∠ABC =46°,则 ∠BCE 的度数为 . 3. 如图,若∠1+∠2=180°,∠3=∠B=65°, ∠C=52°,则∠FEC 的度数为 . 答案讲解 4. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥ BC,∠B=80°. (1) 求∠BAD 的度数; (2) AE 平 分 ∠BAD,交 BC 于 点 E, ∠BCD=50°,求证:AE∥DC. 第4题 类型二 延长线段构造三线八角 5. 如图,AB∥DE,BC∥DF.若∠ABC=120°, 则∠FDE 的度数为 ( ) A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 第5题 第6题 6. 如图,直线AB∥CD.若∠B=∠HFD= 40°,∠EFH=45°,则∠BEF= . 答案讲解 7. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1= 40°,求∠2的度数. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 30 类型三 过一个拐点作平行线 8. (泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形 ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l,m 上.若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数为 ( ) 第8题 A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 9. (巴中中考)如图,直线m∥n,一块含有30°角 的三角尺按如图所示的方式放置.若∠1= 40°,则∠2的度数为 ( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 第9题 第10题 10. (潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示, 其底部支架AB 与吊线FG 平行,灯杆CD 与底部支架AB 所成锐角∠α=15°.顶部支 架EF 与灯杆CD 所成锐角∠β=45°,则 EF 与FG 所成锐角的度数为 ( ) A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 11. ★ 新考法 过程性学习 两条平行线间的 拐点问题经常可以通过作一条直线的平行 线来解决. 例如:如图①,MN∥PQ,点C,B 分别在直 线MN,PQ 上,点A 在直线MN,PQ 之 间,求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA. 证明:如图①,过点A 作AD∥MN. ∵ MN∥PQ,AD∥MN, ∴ AD∥MN∥PQ. ∴ ∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB. ∴ ∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+ ∠PBA. 已知直线AB∥CD,P 为平面内一点,连接 PA,PD. (1) 如图②.若∠A=50°,∠D=150°,求 ∠APD 的度数. (2) 如图③,设∠PAB=α,∠CDP=β,则 α,β,∠P 之间的数量关系为 . (3) 如图④,AP⊥PD,AN 与DP交于点O, DN 平分∠PDC.若∠PAN+12∠PAB= ∠P,运用(2)中的结论,求∠N 的度数. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 31 类型四 过多个拐点作平行线 答案讲解 12. ★如 图,AB ∥CD,∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN=32∠CDM , 求证:2∠BND+5∠BMD=720°. 第12题 13. 如图,AB∥DF,DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE.若∠DEA=46°,∠ACD=56°, 求∠FDC 的度数. 第13题 答案讲解 14. 已知直线AB∥CD,点E 在直线 AB 上,点F 在直线CD 上,G 是 平面内一点. (1) 如图①,点G 在直线 AB,CD 之间.若 ∠1=30°,∠3=75°,求∠2 的度数. (2) 如图②,点G 在直线 AB,CD 之间, FN 平分∠CFG,延长 GE 交 FN 于点 M, EM 平分∠AEN.当∠FNE+12∠FGE= 54°时,求∠AEN 的度数. (3) 如图③,点G 在直线AB 上方,FK 平 分∠CFG,EL 平分∠AEG,直线 KF 与直 线LE 相交于点 H,试猜想∠EGF 与 ∠EHF 之间的数量关系,并说明理由. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 8 ∴ ∠ABO=135°(不合题意,舍去).综上所述,∠ABO 的 度数为60°或45°. 2 整合提优 专题一　整式加减的化简求值 1. A 2. D 3. ∵ |a-3|-|a-4|=0,∴ |a-3|=|a-4|.∵ 3< a<4,∴ a-3=-(a-4),解得a=72.∴ -4a2+8a- 3=-4× 72 2 +8×72-3=-24. 4. 原式=2a-b+5.∵ 2a=b,∴ 原式=5. 5. D 6. A 7. (1) -(x-y)2.(2) ∵ a2-2b=4,∴ 原式=2(a2- 2b)-21=2×4-21=8-21=-13.(3) ∵ a-5b=3, 5b-3c=-5,3c-d=10,∴ 原式=a-3c+5b-d- 5b+3c=(a-5b)+(5b-3c)+(3c-d)=3-5+10=8. 8. 将x=4,y=-8代入ax3+ 1 2by+5=18 ,得64a- 4b+5=18,即64a-4b=13.将x=-128,y=-1代入 3ax-24by3+10,得-3×128a+24b+10=-6(64a- 4b)+10=-6×13+10=-68. 9. B 10. A 11. -16 12. (1) -49 (2) -3 13. 原式=a2-2ab+b2.当a=23 ,b=-13 时,原式=1. 14. 3B-4A=3(3b2-2a2+5ab)-4(4ab-2b2-a2)= 17b2-2a2-ab.当a=32 ,b=-12 时,原式=17× -12 2 -2× 32 2 -32× - 1 2 =12. 15. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.∵ 化简后不含 x2 项,∴ 2k-2=0,解得 k=1.(2) 2k3-[3k3-(5k- 5)+k]=-k3+4k-5.当k=1时,原式=-1+4- 5=-2. 16. 原式=xy2+xy.记 2x+3y=5①, 3x-6y=11②. ①×2+②,得 7x=21,解得x=3.把x=3代入②,得9-6y=11,解得 y=- 1 3. 当x=3,y=- 1 3 时,原式=3× -13 2 +3× -13 =-23. 17. (1) 当a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y- 7.当x=y=1时,多项式的值为1+4-7=-2.(2) 存 在.这个多项式可化简为(a-2)x2+(b+2)y-7.由题 意,得a-2=0,b+2=0,解得a=2,b=-2.∴ 当a=2, b=-2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常 数-7. 18. (1) ∵ 7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,∴ 该多项式的值为常数,与a 和b 的取值无 关.∴ 小阳的说法正确.(2) 2x2+ax-5y+b-2bx2- 3 2x- 5 2y-3 =(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).∵ 无 论x,y 取何值,多项式2x2+ax-5y+b-2 bx2- 3 2x- 5 2y-3 的值都不变,∴ 2-2b=0,a+3=0. ∴ a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 专题二　平行线中与角有关的 计算问题 1. C 2. 16° 3. 63° 4. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠B+∠BAD=180°.∵ ∠B= 80°,∴ ∠BAD =100°.(2) ∵ AE 平 分 ∠BAD, ∴ ∠DAE=50°.∵ AD∥BC,∴ ∠AEB=∠DAE= 50°.∵ ∠BCD=50°,∴ ∠BCD=∠AEB.∴ AE∥DC. 5. C 6. 135° 解析:延长BE 交CD 于点G.∵ AB∥CD, ∠B=40°,∴ ∠EGF=40°.∵ ∠HFD=40°,∴ ∠EGF= ∠HFD.∴ BE∥HF.∴ ∠BEF+ ∠EFH =180°. ∵ ∠EFH=45°,∴ ∠BEF=135°. 7. 如图,延长 AE 交l2 于点B.∵ l1∥l2,∠1=40°, ∴ ∠3=∠1=40°.∵ ∠α=∠β,∴ AB∥CD.∴ ∠2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 ∠3=180°.∴ ∠2=180°-∠3=140°. 第7题 8. B 9. A 10. A 解析:如图,过点E 作EH∥AB.∵ AB∥FG, ∴ AB∥EH∥FG.∴ ∠BEH=∠α=15°,∠FEH+ ∠EFG=180°.∵ ∠β=45°,∴ ∠FEH=180°-45°- 15°=120°.∴ ∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°= 60°.∴ EF 与FG 所成锐角的度数为60°. 第10题 11. (1) 如图,过点P 作PE∥AB.∵ AB∥CD,PE∥AB, ∴ AB∥PE∥CD.∴ ∠APE=∠A=50°,∠DPE+ ∠D=180°.∴ ∠DPE=180°-150°=30°.∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE=50°+30°=80°.(2) α+β-∠P= 180°.(3) ∵ AP⊥PD,∴ ∠P=90°.∵ ∠PAN + 1 2∠PAB=∠P ,∴ ∠PAN+12∠PAB=90°.∵ ∠POA+ ∠PAN=180°-∠P=90°,∴ ∠POA= 12 ∠PAB. ∵ ∠POA=∠NOD,∴ ∠NOD=12∠PAB.∵ DN 平 分 ∠PDC,∴ ∠ODN= 12∠PDC.∴ ∠N =180°- ∠NOD-∠ODN=180°-12 (∠PAB+∠PDC).由 (2),得∠PDC+∠PAB-∠P=180°,∴ ∠PDC+ ∠PAB=180°+∠P.∴ ∠N =180°- 12 (∠PAB+ ∠PDC)=180°-12 (180°+∠P)=180°-12× (180°+ 90°)=45°. 第11题 利用拐点作辅助线研究角之间的数量关系 当两条平行线之间存在拐点时,通常过拐点作平 行线,构造出同位角、内错角、同旁内角,为运用平行线 的性质创造条件.本题先利用拐点添加辅助线,再计算 角的度数. 12. 过点 M 向右作 ME∥AB,过点 N 向左作 NF∥ AB.∵ AB∥CD,∴ ME∥AB∥CD∥NF.∴ ∠BME= ∠ABM,∠DME=∠CDM,∠BNF+∠ABN=180°, ∠DNF+ ∠CDN =180°.∴ ∠BMD = ∠BME + ∠DME = ∠ABM + ∠CDM,∠BNF + ∠ABN + ∠DNF + ∠CDN =360°,即 ∠BND + ∠ABN + ∠CDN=360°.∵ ∠MBN=32∠ABM ,∠MDN=32∠CDM , ∴ ∠ABN=52∠ABM ,∠CDN=52∠CDM.∴ ∠BND+ 5 2 ∠ABM + 5 2 ∠CDM = 360°.∴ ∠BND + 5 2 (∠ABM+∠CDM)=360°.∴ ∠BND+52∠BMD= 360°.∴ 2∠BND+5∠BMD=720°. “凹凸形”的平行线问题的求解方法 如图①,解答“内凹形”的平行线问题时有以下结 论:若∠B+∠D=∠BPD,则AB∥CD;若AB∥CD, 则∠B+∠D=∠BPD.其方法是过点P 作PE∥AB 或作PE∥CD,利用“内错角相等,两直线平行”或“两直 线平行,内错角相等”来解答.如图②,解答“外凸形”的 平行线问题时有以下结论:若∠B+∠BED+∠D= 360°,则 AB∥CD;若 AB∥CD,则∠B+∠BED+ ∠D=360°.其方法是过点E 作EF∥AB 或作EF∥ CD,利用“同旁内角互补,两直线平行”或“两直线平 行,同旁内角互补”来解答. 13. 过点C 向右作CN∥AB,过点E 向右作EM∥AB. ∵ AB∥DF,∴ AB∥CN∥EM∥DF.∴ ∠BAC= ∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 ∠BAE.∴ ∠DEA=∠DEM +∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+∠FDC= ∠DEA+∠ACD=102°.∵ DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE= 2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+ ∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).∴ ∠BAC+∠FDE= 34°.又∵ ∠BAC+∠FDC=∠BAC+2∠FDE=56°, ∴ ∠FDE=22°.∴ ∠FDC=2∠FDE=44°. 14. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ CD∥GR.∴ ∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.∴ ∠1+∠2= ∠EGR+∠FGR=∠3.∵ ∠1=30°,∠3=75°,∴ ∠2= 45°.(2) ∵ FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,∴ 可设 ∠CFN=∠GFN=β,∠AEM=∠NEM=α.如图②,过 点G 作 GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.∵ AB∥CD, ∴ NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF = ∠CFN =β, ∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM=α,∠PGF= ∠DFG=180°-2β.∴ ∠FNE=∠QNF-∠QNE=β- 2α,∠FGE = ∠PGE + ∠PGF =α+180°-2β.又 ∵ ∠FNE+12∠FGE=54° ,∴ β-2α+ 1 2 (α+180°- 2β)=54°,解 得 α=24°.∴ ∠AEN =2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:∵ FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设∠CFK =∠GFK =n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵ AB∥CD,∴ GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n,∠IHK=∠CFK= n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m- n.∴ ∠EGF=2∠EHF. 第14题 专题三　实数的运算技巧 1. C 2. D 3. (1) 3 (2) -36 4. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. (4) 原 式=-1+6427× 3 4× 3 4÷ -1+ 9 8× 4 9- 1 4 =-1+ 4 3÷ - 3 4 =-279. 5. A 6. B 7. C 8. A 9. (1) 交换律和结合律 (2) 分配律 10. (1) -521 (2) 7 (3) -8700 (4) -6 (5) 458 (6) -5115 (7) -1 (8) -24 (9) 59 (10) 1 11. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314.(3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32.(4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×0=0.(6) 原式= 5×401×3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89=4011599×1599+89=401+89=490. 12. ∵ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷124= 23-34+16-512 × 24=23×24- 3 4×24+ 1 6×24- 5 12×24=-8 ,∴ 1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈